等效法處理“填補(bǔ)法”類(lèi)題目

1、等效法處理“填補(bǔ)法”類(lèi)題目湖北省恩施高中陳恩譜在萬(wàn)有引力和靜電場(chǎng)一章，有一類(lèi)題目，在物質(zhì)或電荷的幾何分布出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)的破缺后，若直接 用微元法和平行四邊形定則求解，數(shù)學(xué)計(jì)算繁復(fù)。對(duì)這類(lèi)題目，大多資料介紹的方法是填補(bǔ)法：若 填補(bǔ)這些空缺后，使得原來(lái)不對(duì)稱(chēng)的分布變成對(duì)稱(chēng)的分布，從而根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，用現(xiàn)有的物理規(guī)律即 可獲得待求的物理量。不過(guò)，“填補(bǔ)法”思路實(shí)際上打的是迂回戰(zhàn)術(shù)，需要先填回去再挖掉，這樣 的反復(fù)對(duì)學(xué)生提出了較高的思維能力要求，致使其掌握效果不佳。2R筆者為克服“填補(bǔ)法”的這個(gè)缺陷，在總結(jié)了大量類(lèi)似題目后，提出了一種更直接的方法一一 等效法，這種方法從數(shù)學(xué)角度講和“填補(bǔ)法”是等價(jià)的，但是因?yàn)樗?/p>

2、路直接，對(duì)學(xué)生思維能力要求 低，所以學(xué)生掌握起來(lái)就相對(duì)容易一些。特此介紹，并期與同行交流。2R【例1】如圖所示，陰影區(qū)域是“質(zhì)量為M、半徑為R的球體”挖去 一個(gè)小圓球后的剩余部分.所挖去的小圓球的球心。和大球體球心間的 距離是R/2.求球體剩余部分對(duì)球體外離球心O距離為2R、質(zhì)量為m的質(zhì) 點(diǎn)P的引力F。【解析】填補(bǔ)法分析：先將挖去部分填補(bǔ)回去，則可得到填補(bǔ)后的球體對(duì)m的引力F合=G(R-，這個(gè)體對(duì)m的引力F合=G(R-，這個(gè)F合實(shí)際上是如圖陰影部分和挖去部分對(duì)m的引力的矢量和，即七=F + F ；而挖去部分對(duì)m的引力為F = GX ，聯(lián)立解得F = G君零合(2 R + 十 R )2100 R

3、 2M M ,M ,日等效法分析：空腔部分可看做是質(zhì)量為商和-商的均勻球體組成*，其中頑部分與陰影部分OOO_ Mm對(duì)m的引力F = G k，_ Mm對(duì)m的引力F = G k，1(2 R)2日日日 23GMmF = F1 -F2 = 1O0RT。【例2】如圖所示，A、B、-M對(duì)m的斥力為F = G切X?，兩力的矢量和為82(2 R + 十 R )2C、D、E是半徑為r的圓周上等間距的五個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)上各固定)A一個(gè)點(diǎn)電荷，除A點(diǎn)處的電荷量為一q外，其余各點(diǎn)處的電荷量均為+q，則圓心O處(場(chǎng)強(qiáng)大小為號(hào)，方向沿OA方向場(chǎng)強(qiáng)大小為籍，方向沿AO方向場(chǎng)強(qiáng)大小為羅，方向沿OA方向 r2場(chǎng)強(qiáng)大小為誓，方向

4、沿AO方向 r2A.B.C.D.+q Eo :、+q E /【解析】填補(bǔ)法分析：先將A點(diǎn)處一q換成+q，這時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知，O點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，這個(gè)零 場(chǎng)強(qiáng)實(shí)際上是B、C、D、E四點(diǎn)的電荷的合場(chǎng)強(qiáng)E1與A點(diǎn)處+q的場(chǎng)強(qiáng)E2的矢量和，由E1+E2=0 可知，E1方向向上，大小為q；然后將A點(diǎn)處+q換回成一q，則一q在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E；方向向上， 大小為巖，E；與E1的疊加，得到C答案。等效法分析：將A處的一q看做是+q和一2q組成，A點(diǎn)處+q與B、C、D、E四點(diǎn)的+q在O 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，這時(shí)，只需要考慮一2q在O點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)，直接選C。【總結(jié)】“等效法”的思路就是將“導(dǎo)致不對(duì)稱(chēng)的那個(gè)部分”視為“兩個(gè)相反部分”

5、疊合在一 起形成的，其中一部分與原來(lái)的其余部分組合形成對(duì)稱(chēng)分布，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。【例3】如圖1所示，半徑為R均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為。，其軸線上任意一點(diǎn)P（坐標(biāo)為X）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出：E=2兀Kb 1- 一土十， _ 【例3】如圖1所示，半徑為R均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為。，其軸線上任意一點(diǎn)P（坐標(biāo)為X）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出：E=2兀Kb 1- 一土十， _ T 2 + X 2 人 _方向沿X軸。現(xiàn)考慮單位面積帶電量為b的無(wú)限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板， 如圖2所示。則圓孔軸線上任意一點(diǎn)2

6、（坐標(biāo)為X）的電場(chǎng)強(qiáng)度為2 + X 2B, 2 兀Kb0X2 兀Kb 0 rr2 兀Kb 0 X【解析】等效法分析：將圖2中空白部分看做是電荷面密度分別為b和-b的兩部分的組合， .00.其中面密度分別為b0的部分與灰色部分組合在一起后在Q點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E=2兀Kb。（分析：r *，=1），而面密度分別為-b的部分在Q點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為E2=2兀Kb0與E2方向相反，則兩者的矢量和為2兀k b0 （）,，本題選A。【例4】如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油。 假定區(qū)域周?chē)鷰r石均勻分布，密度為P ；石油密度遠(yuǎn)小于P，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒(méi) 有這一空腔，則該地區(qū)重力

7、加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和 方向會(huì)與正常情況有微小偏離。重力加速度在原豎直方向（即PO方向）上的投影相對(duì)于正常值的偏離 叫做“重力加速度反?！薄Ｒ阎Τ?shù)為G。設(shè)球形空腔體積為機(jī)球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），P = X，求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重 力加速度反常。【解析】等效法分析：空腔部分可看做是密度為P和-P兩部分的組合，其中密度為P的部分與周?chē)鷰r石、整個(gè)地球形成所謂正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那個(gè)密度為-P的部分，這個(gè)部分在Q處產(chǎn)生的“引力加速度”為Mg七，方向沿OQ斜向上其中 M = p V， r = y：d2 + x2 .重力加速度反常是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影 d .g=Agr