直角坐標系中平移變換與伸縮變換

1、1.1直角坐標系中的平移變換與伸縮變換目標：平移變換與伸縮變換的應用與理解一.直角坐標系1.直線上，取定一個點為原點，規(guī)定一個長度為單位長度，規(guī)定直線的一個方向為正方向。這樣我們就建立了直線上的坐標系(即數(shù)軸)。它使直線上任意一點P都可以由獨一的實數(shù)x來確定。2.平面上，取定兩條互相垂直的直線作為x、y軸，它們的交點作為坐標原點，并規(guī)定好長度單位和這兩條直線的正方向。這樣我們就建立了平面直角坐標系。它使平面上任意一點P都可以由獨一的二元有序實數(shù)對(x,y)來確定。3.在空間中，選擇三條兩兩垂直且交于一點的直線，以這三條直線分別作為x、y、z軸，它們的交點作為坐標原點，并規(guī)定好長度單位和這三條直

2、線的正方向。這樣我們就建立了空間直角坐標系。它使空間中任意一點P都可以由獨一的三元有序實數(shù)對(x,y,z)來確定。事實上，直線上所有點的會集與全體實數(shù)的會集一一對應；平面上所有點的會集與全體二元有序數(shù)對(x,y)的會集一一對應；空間中所有點的會集與全體三元有序數(shù)對(x,y,z)的會集一一對應.平面直角坐標系中圖形的平移變換1.平移變換在平面內，將圖形F上所有點依照同一個方向，搬動同樣長度，稱為圖形F的平移。若以向量a表示搬動的方向和長度，我們也稱圖形F按向量a平移F上任意一點P的坐標為(x,y)，向量在平面直角坐標系中，設圖形(h,k)，平移后的對應點為P(x,y).則有：(x,y)(h,k)

3、(x,y)xhx即有：yky.因此，我們也可以說，在平面直角坐標系中，由xhx所確定的變換yky是一個平移變換。因為平移變換僅改變圖形的地址，不改變它的形狀和大小因此，在平移變換作用下，曲線上任意兩點間的距離保持不變。例1.已知點P(4,3)按向量a(1,5)平移至點Q，求點Q的坐標；.求直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移后的方程。一般地我們有以下關于平移變換的結論：.將點P(x,y)按向量a(x0,y0)平移，所得點P的坐標為：P(xx0,yy0).將曲線C:f(x,y)0按向量a(x0,y0)平移，所得曲線C的方程為C:f(xx0,yy0)0.注：點P(4,3)按向量a(1,5)

4、平移，得點P(41,35)，即：P(3,8)；直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移，得直線l:3(x2)2(y3)120，即：l:3x2y0.2.有關曲線平移的一般性結論.直線l:axby0，按向量a(x0,y0)平移后得.直線:()(0)0.過點byy(x0,y0)laxx0.曲線C:x2y2r2，按向量a曲線C:(xx0)2(yy0)2r2.曲線C:x2y21，按向量a22ab曲線C:(xx0)2(yy0)21a2b2.曲線C:x222y21，按向量aab曲線C:(xx0)2(yy0)21a2b2(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0).(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0)

5、.(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0).曲線C:y22px，按向量a(x0,y0)平移后得.曲線C:(yy0)22p(xx0)極點為00(x,y)例2.說明方程4x29y216x18y110表示什么曲線，求這個曲線的極點、中心、焦點、漸近線和離心率.三.平面直角坐標系中的伸縮變換伸縮變換3.我們已經知道，方程ysin2x所表示的曲線可以看作由方程ysinx所表示的曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?得2到的曲線；同理，將方程ysin2x所表示的曲線上所有點的縱坐標保持不變，而橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，也可以獲取方程ysinx所表示的曲.這也就是說，方程ysin2x所表示的曲線可以經過

6、伸縮變換獲取方程ysinx所表示的曲線實質上，設2xx,yy，則ysin2x可以化為ysinx.由2xx，所確定的變換，是曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)閥y向著y軸的伸縮變換(這里原來的2倍，也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為2P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點)一般地，由xyxy，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為向著y軸的伸縮變換(當1時，表示伸長；當有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?時，表示伸長；當1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?這里P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).由xyxy，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)向著x軸和按

7、伸縮系數(shù)向著y軸的伸縮變換(當1時，表示伸長，1時，表示壓縮；1時，表示伸長，當1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的橫坐標和縱坐標分別變?yōu)樵瓉淼谋逗捅?這里P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).在伸縮變換中，曲線上任意兩點間距離的不變性已不存在那么縮變換有什么特色呢?我們來察看直線與圓在伸縮變換作用下的變化例4.對以下曲線向著x軸進行伸縮變換，伸縮系數(shù)是k14.2x3y60；.x2y216.(設P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).注：.直線2x3y60經過伸縮變換后的方程為x6y30，它依舊表示一條直線；.圓x2y216經過伸縮變換后的方程為x2y21，它變?yōu)闄E

8、圓.162.有關曲線伸縮變換的一般性結論.直線經過伸縮變換后，仍是直線因此，在伸縮變換作用下，點的共線性質保持不變。.曲線C:f(x,y)0在伸縮變換xx（或xx或xx）作用yyyyyy下（,1時表示拉伸，,1時表示壓縮），所得曲線C的方程為：C:f(1x,y)0（或f(x,1y)0或f(1x,1y)0）.曲線C:f(x,y)0上各點的橫坐標（或縱坐標、或橫坐標和縱坐標）壓縮為原來的1，可得曲線C:f(x,y)0（或f(x,y)0或f(x,y)0，1時表示壓縮，1時表示拉伸）.例5.設曲線C:ylog2x，12x，C2:y2log2x，C:ylog13C3:y2log2xlog29.由曲線C經

9、過何種變換可以獲取曲線C1、C2、C3.例6.設M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點，經過伸縮變換k1xx后，它k2yy們分別為M2,A2,B2，求證：M2是A2B2的中點(設P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).四.典型例題1.兩個定點的距離為則點M的軌跡是A.圓4，點B.橢圓M到這兩個定點的距離的平方和為C.雙曲線16，（D.拋物線）2.將函數(shù)y為原來的sinx圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，獲取的函數(shù)圖象的剖析式為2倍，縱坐標拉伸（）A.y12sin2xB.y12sin12xC.y2sin2xD.y2sin12x3.將點P(2,2)變換為點P(6,1)

10、所用的伸縮變換公式是（）A.x1B.x1C.x3xD.x3x3x2x1y2yy3yy2yy2y4.已知點P(2,3)按向量a(1,4)平移至點Q，求點Q的坐標;已知點P(3,2)按向量a平移至點Q(2,0)，求平移向量a.5.將對數(shù)函數(shù)ylog3x曲線的橫坐標拉伸為原來的2倍，求所得曲線的方程.x3x6.在同素來角坐標系中，已知伸縮變換:2yy.求點A(1,2)經過變換所獲取的點A的坐標；31.點B經過)，求點B的坐標變換獲取點B(3,2.求直線l:y6x經過變換后所獲取的直線l的方程；.求雙曲線C:x2y21經過變換后所獲取的曲線C的焦點坐標.647.在平面直角坐標系中求將曲線C:x2y21

11、變?yōu)榍€C:x2y2194的伸縮變換.8.方程C:3x24y218x16y70表示何種曲線，求它的中心坐標、焦點坐標、準線方程、離心率五.課外練習六.補充練習1.將點P(x,y)的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標壓縮為原來的1，獲取點P的坐標為3（）yxyxA.(2,3y)B.(2x,3)C.(3x,2)D.(3,2y)xx2.曲線C經過伸縮變換y1y后獲取曲線C的方程為ylog2(x2),則曲線C的方程為3（）A.y1log2(x2)B.y3log2(x2)31xC.ylog2(2)D.ylog2(3x2)33.已知點P(3,2)按向量a(1,4)平移至點Q，求點Q的坐標;已知點P(1,3)按向量a平移至點Q(3,1)，求向量a.4.寫出曲線按向量(4,3)平移后的方程.3x4y50；.y28