課時考點(diǎn)空間向量及應(yīng)用

1、文檔編碼 : CN6T7A10W8Z2 HS4Z4O4T9D8 ZK9Q10N10M4H1課時考點(diǎn) 17 空間向量及其應(yīng)用 高考考綱透析：線線 ,線面 ,面面的平行與垂直 高考熱點(diǎn)：,空間角與距離 ,棱柱 ,棱錐 ,球 ,空間向量異面直線所成的角,直線和平面平行,垂直的判定與性質(zhì),兩個平面垂直的判定與性質(zhì),直線和平面所成的角 ,二面角及其平面角,點(diǎn)到平面的距離學(xué)問整合 : 用空間向量可以解決的立體幾何問題有: ,可以證明有關(guān)線線平行,線面平行 ,面面平行問題利用兩個向量共線的條件和共面對量定理利用兩個向量垂直的充要條件可以證明有關(guān)線線 利用兩個向量的夾角公式可以求解有關(guān)角的問題,線面 ,面面垂

2、直問題利用向量的模及向量在單位向量上的射影可以求解有關(guān)的距離問題熱點(diǎn)題型 1 求異面直線所成的角已知直四棱柱ABCDA B C D 中,AA 12,底面 ABCD 是直角梯形,A90o,AB/CD ,AB4,AD2,DC1,求異面直線（結(jié)果用反三角函數(shù)表BC 與 DC 所成的角的大小示）A1D1C1B1DCA B 解 由題意 AB CD, C1BA是異面直線 得 AC= 5 . 又在 Rt ACC 1中, 可得 AC1=3.BC1 與 DC 所成的角 . 連結(jié) AC1 與 AC, 在 Rt ADC中, 可在梯形 ABCD中 , 過 C作 CH AD交 AB于 H, 得 CHB=90 , CH=

3、2, HB=3, CB=13 . 317又在 Rt CBC 1中, 可得 BC1= 17 , 在 ABC 1中,cos C1BA=317, C1BA=ar ccos1717異面直線 BC1與 DC所成角的大小為ar ccos317A1D1zC1B117另解 : 如圖 , 以 D為坐標(biāo)原點(diǎn) , 分別以 DA、DC、DD1所在直線為 x、y、z 軸建立直角坐標(biāo)系.就 C10,1,2,B2,4,0, BC = 2, 3,2, A xDCy BCD =0, 1,0, 設(shè)BC 與 CD 所成的角為 ,就 cos =BC 1CD=317, = ar ccos317. BC 1CD1717異面直線 BC1與

4、 DC所成角的大小為ar ccos31717熱點(diǎn)題型 2求直線與平面所成的角如圖,在三棱錐PABC中, ABBC,ABBC1 2PA,點(diǎn) O、D分別是 AC、PC的中點(diǎn), OP底面 ABC 求證 OD 平面 PAB 求直線 OD 與平面 PBC所成角的大?。籔DAOCB解：方法一：P O、D 分別為 AC、 PC 中點(diǎn),ODPAAODECFB又 PA 平面 PABOD平面 PAB Q AB BC,OA OC,OA OB OC,又 Q OP 平面 ABCPA PB PC .取BC中點(diǎn) ,連結(jié) PE,就 BC 平面 POE作 OF PE 于 ,連結(jié) DF,就 OF 平面 PBCODF 是 OD 與

5、平面 PBC 所成的角 .在 Rt ODF 中,sin ODF OF 210 ,OD 30OD 與平面 PBC 所成的角為 arcsin 210 .30方法二：QOP平面ABC,OAOC,ABBC,Oxyz如圖 ,PDCOAOB,OAOP,OBOP .以O(shè)為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABa,就A2a,0,0 ,B0,2a,0 ,C2a,0,0222z設(shè)OPh,就P0,0,h.QD為PC的中點(diǎn),uuur OD2a,0,1h,又uuur PA2a ,0,h,422uuur OD1uuur PA .uuur ODuuur PA .OD平面PAB .2QPA2 ,h7 , 2xA

6、OByOD uuur 2 a ,0, 14 a ,4 4可求得平面 PBC 的法向量 rn 1,1, 1 ,7cos OD n uuur ruuur OD n uuur rr 210 .OD n 30設(shè) OD 與平面 PBC 所成的角為,就 sin cos OD n uuur r 210 ,30210OD 與平面 PBC 所成的角為 arcsin30熱點(diǎn)題型 3 二面角及點(diǎn)到面的距離的求法如圖,直二面角DAB E 中,四邊形ABCD 是邊長為 2 的正方形, AE=EB ,F 為 CE 上的點(diǎn),且 BF 平面 ACE. （）求證AE平面 BCE；DFC（）求二面角BAC E 的大??；（）求點(diǎn)D

7、 到平面 ACE 的距離 . ABE（I）QBF平面ACE,BFAE,平面ABE,Q 二面角D-AB-E為直二面角,平面ABCD又BCAB,BC平面ABE,BCAE,BCE；又BF平面BCE,BFIBC=B,AE平面（II ）連結(jié) AC 、BD 交于 G,連結(jié) FG, ABCD 為正方形, BDAC, BF平面 ACE ,FG AC, FGB 為二面角 B-AC-E 的平面角,由（I）可知, AE平面 BCE, AEEB,又AE=EB ,AB=2 ,AE=BE= 2 ,在直角三角形 BCE 中, CE= BC 2BE 26, BF BC BE 2 2 2CE 6 3在 正 方 形 中 , BG

8、=2 , 在 直 角 三 角 形BFG中 ,2sinFGBBF36DGCBG23二面角 B-AC-E 為arcsin6AFOB的 距3（III ）由（ II）可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG ,D 到平面 ACBE就 是 2 3 3離等于 B 到平面 ACE 的距離, BF平面 ACE ,線段 BF 的長度點(diǎn) B 到平面 ACE 的距離,即為D 到平面 ACE 的距離 所以 D 到平面的距離為23另法： 過點(diǎn) E 作EOAB交 AB 于點(diǎn) O. OE=1. 二面角 DAB E 為直二面角,EO平面 ABCD. 設(shè) D 到平面 ACE 的距離為 h,VDACEVEACD,1SACBh1S

9、ACDEO.33AE平面 BCE ,AEEC.h1ADDCEO1221233.221AEEC12622點(diǎn) D 到平面 ACE 的距離為233.解法二：（）同解法一. y 軸,過 O 點(diǎn)平C（）以線段AB 的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE 所在直線為x 軸, AB 所在直線為行于 AD 的直線為 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖 . AE面 BCE,BE面 BCE,AEBE,在RtAEB 中 ,AB2 ,O 為AB的中點(diǎn),OE1 .A ,0,10 ,E0,1 0, ,C 2,1,0 .AE ,1,1 0 ,AC 0 , 2 2, .設(shè)平面 AEC 的一個法向量為nx ,y ,z ,就AEn0 ,即x

10、yy0 ,0 .ACn22 x0 ,解得yx ,DzMzx ,令x,1得n ,11,1 是平面 AEC 的一個法向量 . ByAFOx E又平面 BAC 的一個法向量為m ,1,00 ,n|AD|n|223.cosm ,n|m ,n|13.m|n33二面角 BAC E 的大小為arccos3.3（III ） AD/z 軸, AD=2 ,AD ,0 0 2, ,點(diǎn) D 到平面 ACE 的距離d|AD|cosAD|n33樣題 4 如圖,已知長方體ABCDA B C D 1,AB2,AA 11,直線 BD 與平面AA B B 所成的角D 1為0 30 , AE 垂直 BD 于E F 為A B 的中點(diǎn)

11、（）求異面直線AE與BF所成的角；（）求平面BDF 與平面AA B 所成二面角（銳角）的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)A到平面BDF的距離A1FB1AC1DEB C解法一：（向量法）在長方體ABCDA B C D 中,以 AB 所在直線為x 軸, AD 所在直線為y 軸,AA 1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖的角即為由已知AB2,AA 11,可得A0,0,0,B2,0,0,F1,0,1A1 zC1ED 1y又 AD平面AA B B ,從面 BD 與平面AA B B 所成DBA300FADB1又AB2,AEBD AE1,AD2 3xB3C1 3 2 3從而易得 E , ,0, D 0, ,02 2 3

12、（）Q uuurAE 1 , 3 ,0, uuurBF 1,0,12 2cos uuur uuurAE BF uuur uuur uuur uuurAE BF 12 2AE BF 2 4即異面直線 AE 、 BF 所成的角為 arccos 24（）易知平面 AA B的一個法向量 mr 0,1,0設(shè) n r , , 是平面 BDF 的一個法向量uuurBD 2, 2 3,03n r uuurBF n BF rg uuur0 x x 0 x z由n r uuurBD n BD rg uuur0 2 x 2 3 y 0 3 x y3取 nr 1, 3,1cos m n r rm n m nr r r

13、r1 35 155即平面 BDF 與平面 AA B 所成二面角（銳角）大小為 arccos 155uuur（）點(diǎn) A 到平面 BDF 的距離,即 AB 在平面 BDF 的法向量 nr上的投影的確定值所以距離uuur uuur rd | AB | cos AB n| uuurAB | g uuur uuur rAB nr| AB | | n | uuur r AB n | 2 2 5| n r | 5 5所以點(diǎn) A 到平面 BDF 的距離為2 55解法二： 幾何法 （）連結(jié)B D ,過 F 作B D 的垂線,垂足為K,B1A1C1ED1D1BB 與兩底面 ABCD ,A B C D 都垂直,FK

14、ADFBBB 1FKB D 1FB平面 BDD 1B 1B3 1EB D 1BB 1B 1CAEBB 1又AEBDAE平面 BDD 1 B 1BB 1BDB因此FK/AEBFK為異面直線BF與AE所成的角2連結(jié) BK ,由 FK面BDD B 得 FKBK ,從而BKF 為 Rt在Rt B KF 和Rt B D A 中,由FKA D 1得FKA D 1g B FAD1 g2AB13B FB D 1B D 1BD2322223又BF2, cosBFKFK2BK4B1SA1異面直線 BF 與 AE 所成的角為arccos24（）由于 AD面AA B 由 A作 BF 的垂線 AG ,垂足為 G ,連結(jié) DG ,由三垂線定理知BGDGFGAGD即為平面BDF與平面AA B 所成二面角的平AD面角且DAG90o ,在平面AA B 中,延長 BF 與AA ；交C1于點(diǎn) S F 為A B 的中點(diǎn)A F/1AB A F1AB ,BC221A 、 F 分別為 SA、 SB 的中點(diǎn)即SA2A A2AB , Rt BAS為等腰直角三角形,垂足G點(diǎn)實(shí)為斜邊SB的中點(diǎn) F,即 F、G 重合易得AGAF1SB2,在 Rt BAS中,AD23D1D23tanA