專題11 立體幾何計(jì)算：求體積歸類2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊(cè))（解析版）

1、 專題11 立體幾何大題計(jì)算：求體積歸類 目錄TOC o 1-3 h u 一、 HYPERLINK l _Toc3402 熱點(diǎn)題型歸類 PAGEREF _Toc3402 1 HYPERLINK l _Toc2260 【題型一】 體積1：常規(guī)型（直接法） PAGEREF _Toc2260 1 HYPERLINK l _Toc18228 【題型二】 體積2：體積轉(zhuǎn)化（等體積型，夾縫體積型） PAGEREF _Toc18228 6 HYPERLINK l _Toc4174 【題型三】 體積3：多面體型（切割與補(bǔ)形） PAGEREF _Toc4174 10 HYPERLINK l _Toc8894 【

2、題型四】 體積4：異形體積比 PAGEREF _Toc8894 15 HYPERLINK l _Toc29417 【題型五】 體積應(yīng)用1：點(diǎn)到面的距離 PAGEREF _Toc29417 19 HYPERLINK l _Toc14823 【題型六】 體積應(yīng)用2：最值（難點(diǎn)） PAGEREF _Toc14823 22 HYPERLINK l _Toc5278 【題型七】 體積應(yīng)用3：翻折型 PAGEREF _Toc5278 29 HYPERLINK l _Toc13013 【題型八】 體積綜合型 PAGEREF _Toc13013 33 HYPERLINK l _Toc21702 二、最新?？碱}

3、組練 PAGEREF _Toc21702 38【題型一】 體積1：常規(guī)型（直接法）【例1】如圖，在圓錐中，為底面圓上的三個(gè)點(diǎn)，且，(1)證明：平面(2)求四棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)線段上靠近的三等分點(diǎn)為，連接，再結(jié)合條件證明四邊形為平行四邊形，分析求解即可；（2）作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，再求出梯形的面積，由圓錐性質(zhì)得到平面的距離為，再利用公式求解即可.(1)如圖，設(shè)線段上靠近的三等分點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，所以，且，因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?2)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，所以梯形的面積為，因?yàn)?，所以到平面的距離為，所

4、以四棱錐的體積為【例2】已知正三棱柱中，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用線面角的定義可求得的長(zhǎng)，分析可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，可得出，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，故平面.(2)解：因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，平面，平面，則，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等

5、于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則.【例3】已知四棱錐的底面是菱形，平面，F(xiàn)，G分別為，中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求證：與不垂直. 【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）連接，證明平面，平面后由面面平行的判定定理得證；（2）由體積公式變換，然后計(jì)算可得；（3）假設(shè)，由線面垂直的判定定理得線面垂直，然后又得線線垂直，得出矛盾，從而可得結(jié)論(1)證明：如圖，連接，O是中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，平面，平面，則平面.O是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，平面，平面，則平面.又，平面，平面平面，又平面，則平面.(2)證明：底面，底面，又四邊形為菱形，又，、平面，平面，且，而F為

6、的中點(diǎn)，；(3)證明：假設(shè)，底面，底面，且，平面，平面，而平面，則，與矛盾.假設(shè)錯(cuò)誤，故與不垂直.【例4】在如圖所示的幾何體中，底面四邊形ABEF為等腰梯形，側(cè)面四邊形ABCD是矩形，且平面ABCD平面ABEF，BCBE2(1)求證：AF平面BCE；(2)求三棱錐ACEF的體積 【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，證明平面，原題即得證；（2）利用計(jì)算即得解.(1)證明：取的中點(diǎn)為，連接 ，因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面, 平 面,所以平面,平面所以平面.平面(2)解：【題型二】 體積2：體積轉(zhuǎn)化（等體積型，夾縫體積型）（重點(diǎn)）授課時(shí)歸納基本變化型等體積轉(zhuǎn)化，多為三棱錐點(diǎn)轉(zhuǎn)

7、化型：（1）同底等高：平行線轉(zhuǎn)化：（2）同底不等高：比列線段轉(zhuǎn)化；（3）“夾縫型”【例1】如圖所示，在正方體中，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積. 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD交AC于O，連接OE，即可得到，從而得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)及計(jì)算可得；(1)證明：連接BD交AC于O，連接OE，所以O(shè)E是的中位線，所以，又面，面，所以平面；(2)解：正方體中，平面，所以；【例2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，設(shè)是的中點(diǎn).(1)過點(diǎn)，且與平面平行的平面與此正方體的面相交，交線圍成一個(gè)三角形，在圖中畫出這個(gè)三角形（說明畫法，不用說明理由）；(2)

8、求四棱錐的體積. 【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)三棱錐的體積比可得再計(jì)算即可.(1)取的中點(diǎn)，連接，易知為所作三角形.(2)因?yàn)榍?，四邊形為平行四邊?，故四棱錐的體積為.【例3】如圖，在三棱錐中，PA平面ABC，是直角三角形，D，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)(1)證明：平面PAC平面ADE(2)求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意易知，從而可證平面PAC，而由中位線定理可得，于是平面PAC，最后由面面垂直的判定定理可證得平面PAC平面ADE（2）由等體積法可知三棱錐與三棱錐的體積相等，求出三棱錐的體積即可求出

9、答案,(1)證明，因?yàn)槭侵苯侨切?，且，所以因?yàn)槠矫鍭BC，且平面ABC，所以因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，且，所以平面PAC因?yàn)镈，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面平面ADE(2)解：因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫鍭BC，且，所以三棱錐的體積連接CD，因?yàn)镈是棱PB的中點(diǎn)，所以三棱錐的體積因?yàn)镋是棱PC的中點(diǎn)，所以三棱錐的體積因?yàn)槿忮F與三棱錐是同一個(gè)三棱錐，所以的體積為【例4】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)F為線段PC上的點(diǎn)，過A，D，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)E(1)證明：平面ABCD；(2)若E為PB中點(diǎn)，且，求四棱錐的

10、體積 【答案】(1)證明見解析；(2)1.【分析】（1）利用線面平行的判定證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.（2）利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面，進(jìn)而證得平面，再借助錐體體積公式計(jì)算作答.(1)正方形中，而平面，平面，平面，又平面，平面平面，則有，而平面，平面，所以平面.(2)因平面ABCD，平面，則，又，平面，則平面，平面，于是得，因，E為PB中點(diǎn)，則，而，平面，因此，平面，由（1）知，則有，梯形面積，所以四棱錐的體積.【題型三】 體積3：多面體型（切割與補(bǔ)形）規(guī)律：多面體切割，多從表面四邊形對(duì)角線處“下刀”【例1】如圖，在四棱柱中，點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).

11、(1)設(shè)G為棱上的一點(diǎn)，問：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面平面？(2)設(shè)三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求. 【答案】(1)G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面；(2)【分析】（1）G為中點(diǎn)時(shí)，先證平面，再證平面，即可證得平面平面；（2）由，結(jié)合平面得即可求得.(1)G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，理由如下：連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，同理可得，平面，平面，則平面，又，平面，則平面平面；(2)由F是的中點(diǎn)得，又，平面，平面，則平面，又點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，則，則.【例2】七面體玩具是一種常見的兒童玩具.在幾何學(xué)中，七面體是指七個(gè)面組成的幾何體，常見的七面體有六棱錐、五棱柱、正三角

12、錐柱、Szilassi多面體等.在拓?fù)鋵W(xué)中共有34種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)差異的凸七面體，它們可以看成由一個(gè)棱柱經(jīng)過簡(jiǎn)單的切割而得到.在如圖所示的七面體中平面，.(1)求二面角的正切值；(2)求該七面體的體積. 【答案】(1)(2)8【分析】（1）在平面中，作，連接，由線面垂直得到，即可得到平面，即二面角的平面角是，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；（2）將七面體補(bǔ)成直四棱柱，則，從而計(jì)算可得；(1)解：在平面中，作，連接.平面，平面，又，平面，所以平面.二面角的平面角是，因?yàn)?，所以，所以中?(2)解：依題意將七面體補(bǔ)成直四棱柱，。又，【例3】如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知，.(

13、1)求證：平面；(2)連接，求多面體的體積. 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，即可得到平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，平面，再根據(jù)計(jì)算可得；(1)證明：由正方形與梯形，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又由，且平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?(2)解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面，同理可證平面，連接，故多面體的體積故多面體的體積為.【例4】如圖所示，在以、為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，且.(1)求證：；(2)若，求此五面體的體積. 【答案】(1)證明見解析(2)【分

14、析】（1）過作交于，根據(jù)面面垂直可得平面，根據(jù)三角形全等可得，于是，從而平面，于是；（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)即可得出答案(1)證明：過作交于，連接，由平面平面，平面平面，得平面，又平面，由已知得為等腰直角三角形，又，平面，平面，又平面，；(2)解：取中點(diǎn)，連接、，由（1）可知，又，四邊形為平行四邊形，棱柱為斜棱柱且為此斜棱柱的直截面，在四棱錐中，由（1）知，平面，.【題型四】 體積4：異形體積比【例1】如圖所示的五面體中，平面平面，四邊形為正方形，.(1)求證：平面；(2)若，求多面體的體積. 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（

15、2）把多面體拆成一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐即可求體積.(1)證明：如圖，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?在中，因?yàn)?，故，不妨設(shè)，所以由余弦定理，得，則，所以，所以，又，所以平面.(2)如圖，若，則，由（1）知平面，所以為三棱錐的高，而三棱錐的高為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到直線的距離，故.【例2】如圖，ABCD為矩形，點(diǎn)A、E、B、F共面，和均為等腰直角三角形，且若平面平面(1)證明:平面平面ADF(2)問在線段EC上是否存在一點(diǎn)G，使得BG平面若存在，求出此時(shí)三棱錐與三棱錐的體積之比，若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】(1)證明見解析；(2)存

16、在，G是線段EC的靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，.【分析】（1）利用面面垂直、線面垂直的性質(zhì)證得，再利用線面垂直、面面垂直的判斷推理作答.（2）延長(zhǎng)EB至H，使，連CH，過B作交CE于G，再利用點(diǎn)G，C到平面的距離關(guān)系及底面積關(guān)系，結(jié)合體積計(jì)算作答.(1)矩形中，又平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，因此，因，即，而，平面，則平面，又平面，所以平面平面.(2)因和均為等腰直角三角形，且，則，即有，并且有，延長(zhǎng)EB至H，使，連CH，如圖，由知，四邊形為平行四邊形，則有，且，于是得四邊形是平行四邊形，有，在平面內(nèi)過點(diǎn)B作交CE于G，因此，而平面，平面，從而得平面，顯然，則，即點(diǎn)G是線段CE的靠近點(diǎn)

17、C的一個(gè)三等分點(diǎn)，于是得點(diǎn)G到平面的距離h是點(diǎn)C到平面的距離BC的，即，而，即，所以線段EC的靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)G，能使平面，三棱錐與三棱錐的體積之比為.【例3】如圖所示，斜三棱柱中，點(diǎn)為上的中點(diǎn)(1)求證：平面(2)設(shè)多面體的體積為，三棱柱的體積為，求 【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1，可得OD1BC1，由線面平行的判定定理即可證明BC1平面AB1D1；（2）由， 可得答案(1)證明：連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1，則在平形四邊形ABB1A1中，點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)D1為A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1BC1，又OD1平面AB1D1

18、，B1C平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1(2)因?yàn)椋?，所以所以【例4】如圖四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，E是PB的中點(diǎn)，過A，D，E的平面與平面PBC的交線為l(1)證明：平面PAD；(2)求平面截四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，得到平面，根據(jù)平面與平面的交線為，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得平面；（2）設(shè)l與PC交于點(diǎn)F，則F為PC的中點(diǎn)，連接DF，DE，DB，EC，設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，得到，進(jìn)而求得平面截四棱錐P-ABCD所得的下面部分的幾何體的體積，求得上、下兩部分幾何體的體積之比(1)

19、證明：因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，又平面與平面的交線為，且平面，則，又平面，平面，故平面.(2)解：設(shè)l與PC交于點(diǎn)F，則F為PC的中點(diǎn)，連接DF，DE，DB，EC，設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，則又由，則，所以平面截四棱錐P-ABCD所得的下面部分的幾何體的體積為，所以上面部分幾何體的體積為，故平面截四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為【題型五】 體積應(yīng)用1：點(diǎn)到面的距離【例1】在如圖所示的長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).(1)若，求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長(zhǎng). 【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）證明，可證得平面，從而可得，

20、再利用勾股定理證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)求得的面積，再根據(jù)結(jié)合已知求得的值，即可得出答案.(1)證明：四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，平面，平面，又，平面，而，當(dāng)時(shí)，又，平面，平面；(2)解：由（1）可知，平面，.【例2】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，平面ABCD，點(diǎn)E是棱PC上的一點(diǎn).(1)證明：平面平面PBC；(2)是否存在一點(diǎn)E，使得平面BDE？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)E的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若三棱錐的體積是，求點(diǎn)D到平面PAB的距離. 【答案】(1)證明見解析；(2)存在，證明見解析；(3)【分析】（1）由線面垂直性質(zhì)知；取的中點(diǎn)，由長(zhǎng)度

21、和平行關(guān)系可證得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而利用勾股定理證得，由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由三角形相似，則只需即可根據(jù)平行線分線段成比例得到，由線面平行的判定知平面，從而確定存在.（3）利用三棱錐的體積公式及等體積法求出點(diǎn)D到平面PAB的距離即可.(1)平面，平面，設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又四邊形是平行四邊形，則，平面，平面平面，平面平面(2)當(dāng)點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)（即）時(shí)，平面理由如下：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，平面，平面，平面(3)因?yàn)?，所? 故,又，解得，因?yàn)?所以平面PAD，所以,設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離，由，解得.即點(diǎn)D到平面PAB的距離為.【例3】如圖，四棱錐P

22、ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)AP1，AD，三棱錐PABD的體積V，求A到平面PBC的距離 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)線面平行的證明，面外的直線與面內(nèi)的直線平行，PB與平面AEC中的OE平行，利用中位線即可.(2)點(diǎn)到面的距離法一是直接法，法二是等體積法.(1)證明：如圖，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)又點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，所以EOPB因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)作AHPB于點(diǎn)H PA平面ABCD, 又ABCD為矩形，, AP1，

23、AD, 由，可得AB 由題設(shè)知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，即AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面PBC的距離因?yàn)?，所以 .【題型六】 體積應(yīng)用2：最值（難點(diǎn)）【例1】如圖，等腰梯形ABCD中，ADDCBC2，AB4，E為AB的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起、得到四錐PDEBC，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，M為EB的中點(diǎn)(1)證明：FM平面PDE；(2)證明：DEPC；(3)當(dāng)四棱錐PDEBC的體積最大時(shí)，求三棱錐EDCF的體積 【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于，在中，根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形、為等邊三角形且

24、，進(jìn)而可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)證明結(jié)論.（3）首先確定四棱錐PDEBC的體積最大時(shí)面面，再確定PDEBC的體高，并求得到面的距離，由及棱錐的體積公式求體積.(1)連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于，則在面內(nèi)，M為EB的中點(diǎn)，則為中點(diǎn)，在中，又面，面，所以FM平面PDE.(2)若為中點(diǎn)，連接，由題設(shè)且，即為平行四邊形，則，所以為等邊三角形，故，又ABCD為等腰梯形，則所以，又，易知：，又，則面，面，故.(3)當(dāng)四棱錐PDEBC的體積最大時(shí)，面面，則的高即為四棱錐PDEBC的體高，又F為PC的中點(diǎn)，所以到面的距離，由（2）易知為邊長(zhǎng)為2的菱形，又，所以.【例2】已知：直四棱柱所有棱長(zhǎng)均為2，.在該棱

25、柱內(nèi)放置一個(gè)球，設(shè)球的體積為，直四棱柱去掉球剩余部分的體積為.(1)求三棱錐的的表面積；(2)求的最大值.（只要求寫出必要的計(jì)算過程，不要求證明） 【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出三棱錐的的各個(gè)面的面積即得解；（2）設(shè)直四棱柱的體積為，當(dāng)球半徑R最大時(shí)，最大時(shí)，取到最大值，求出最大值即得解.(1)解：因?yàn)橹彼睦庵?，所?，為三棱錐的的高， 由，所有棱長(zhǎng)為2，為等邊三角形，所以，中，中，過作于，.(2)解：設(shè)直四棱柱的體積為，所以,所以當(dāng)最大時(shí)，取到最大值，即求棱柱內(nèi)放置一個(gè)球體積最大，即球半徑R最大，若球與棱柱側(cè)面相切，則半徑R即為菱形的內(nèi)切圓半徑，連接與交于點(diǎn)，中，若球與棱柱上、下

26、底面相切，則半徑為，所以球半徑最大為，此時(shí)球體積最大，.，此時(shí).【例3】如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，EF是圓柱上異于AD，BC的母線，P，Q分別為線段BF，ED上的點(diǎn)(1)若P，Q分別為BF，ED的中點(diǎn)，證明：平面CDF；(2)若，求圖中所示多面體FDQPC的體積V的最大值 【答案】(1)證明見解析(2)最大值【分析】（1）連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，即可得到為的中點(diǎn)，從而得到，即可得證；（2）設(shè)，即可得到，再根據(jù)比例關(guān)系，表示出，表示出三棱錐與三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式得到，令，則，再令，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；(1)證明：如圖連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得且，所以四

27、邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)解：中，設(shè)，則，所以，所以，設(shè)三棱錐高為，設(shè)三棱錐高為，由比例關(guān)系，可知，所以，設(shè)，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則又關(guān)于在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即，即時(shí)，取到最大值【例4】如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線. (1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再證明，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）先推出三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，由此再求二面角的余弦值；法一：通過證線面垂直可說明是二面角的平面角，解直角

28、即可求得答案；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.(1)證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為的直徑，所以.因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線，所以且,所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以 ,所以.因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以平面ABE,又因?yàn)槠矫鍭BE，所以.又因?yàn)椋珼F，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱錐底面DEF上的高，由（1）知，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.設(shè)，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大,下面求二面角的余弦值：法一：由（1）得平面DEF，因?yàn)?/p>

29、平面DEF，所以.又因?yàn)?，所以平面BEF.因?yàn)槠矫鍮EF，所以,所以是二面角的平面角,由（1）知為直角三角形，則.故,所以二面角的余弦值為.【題型七】 體積應(yīng)用3：翻折型【例1】如圖1，有一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形，將四邊形沿著翻折到四邊形的位置，連接，形成的多面體如圖2所示(1)證明：(2)若，M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M與C，G不重合），試問四棱錐與的體積之和是否為定值？若是，求出這個(gè)定值若不是，請(qǐng)說明理由， 【答案】(1)證明見解析；(2)是定值，定值為24【分析】（1）作，垂足為，連接，證明平面可得結(jié)論成立；（2）類似點(diǎn)的形成得出點(diǎn)，平面與與平面和平面都垂直，過作交線的垂線，得其為平面的垂線，

30、在中證明為定值，然后由棱錐體積公式計(jì)算可得(1)作，垂足為，連接，因?yàn)椋?，所以，即，平面，所以平面，又平面，所以?2)實(shí)際上是由原正六邊形中對(duì)角線折疊過來的，同理原正六邊形中對(duì)角線折疊之后形成，如圖，同理有平面，又在平面和平面上，所以平面與平面和平面都垂直，平面與平面和平面的交線分別是，因此在平面內(nèi)過作，作，分別是垂足，則平面，平面，因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，又，所以，所以，即是等腰直角三角形，則，都是等腰直角三角形，是矩形，所以， 【例2】如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn).(1)求證:；(2)求三棱錐的體積. 【答案】(1)證明見

31、解析(2)【分析】（1）由已知可得，從而有平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由勾股定理可得，從而易得的面積，又由（1）知平面，從而根據(jù)即可求解(1)證明：由正方形知，、平面，平面，又平面，(2)解：，可得，的面積為，又由（1）平面，是三棱錐的底面上的高線，所以三棱錐的體積為：.【例3】如圖1，在等腰梯形中，將與分別沿，折起，使得點(diǎn)、重合（記為點(diǎn)），形成圖2，且是等腰直角三角形(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】(1)先證平面,即可證明面面垂直.(2)證明即為二面角的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面積和高，

32、即可求解.(1)解：由題意得：又,故平面；又平面,故平面平面；(2)如圖，連接,分別為的中點(diǎn)，由（1）知,故,又,所以，故即為二面角的平面角，由(1)知, 平面,又平面,故平面平面,又平面平面,所以平面,設(shè)，則,故二面角的正弦值為：.(3)由(2)得, 平面,又，所以,故四棱錐的體積為.【例4】如圖，在直角梯形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐(1)求證：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小為60，求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明平面，得到，再證明平面，得到證明.（2）分別為的中點(diǎn)，證明為二面角的平面角，設(shè)，根據(jù)等面

33、積法得到，計(jì)算體積得到答案.(1)，故平面，平面，故，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.(2)如圖所示：分別為的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，故，平面，故平面，平面，故.分別為中點(diǎn)，故，故，故平面，故為二面角的平面角，即，設(shè)，則，根據(jù)的等面積法：，解得.【題型八】 體積綜合型【例1】求一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體的體積，常有如下解法：構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，我們稱之為該四面體的“生成正方體”（如圖一），則四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，四面體的體積(1)求四面體的體積；(2)模仿（1），對(duì)一個(gè)已知四面體，構(gòu)造它的“生成平行六面體”，記兩者的體積依次為和，試給出這兩個(gè)體積之間的一個(gè)關(guān)系式，不必證明；(3)一個(gè)

34、相對(duì)棱長(zhǎng)都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體（如圖二），其三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為，求此四面體的體積 【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果；（3）構(gòu)造該四面體的“生成長(zhǎng)方體”可求出結(jié)果.(1)）(2)設(shè)生成平行六面體的底面積為，高為，則其體積為，則則，即.(3)如圖，構(gòu)造該四面體的“生成長(zhǎng)方體”，設(shè)棱長(zhǎng)分別為，則有，解得：則有【例2】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面ABCD，若點(diǎn)E為線段PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，且(1)求證：；(2)若線段AB上存在一點(diǎn)F，使得EF平行于平面PBC，求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析；(

35、2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可證平面PAD，從而證得；（2）如圖分別取AB、CD的三等分點(diǎn)F、G，即可證明平面平面PBC，結(jié)合錐體的體積公式進(jìn)而求解三棱錐的體積(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則，因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，又平面PAD，所以(2)如圖分別取AB、CD的三等分點(diǎn)F、G，結(jié)合題意可得：，又因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC，同理平面PBC因?yàn)槠矫鍱FG，平面EFG，平面，所以平面平面PBC，又因?yàn)槠矫鍱FG所以平面PBC，此時(shí)F為AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).所以【例3】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，平面底面ABCD

36、，M是棱PC上的點(diǎn).(1)證明：底面；(2)若三棱錐的體積是四棱錐體積的，設(shè)，試確定的值. 【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，然后利用線面垂直的判定定理即證；（2）由題可得，進(jìn)而可得，即得.(1)，平面底面ABCD，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，平面，平面，PD，又，底面；(2)設(shè)，M到底面ABCD的距離為，三棱錐的體積是四棱錐體積的，又，故，又，所以.【例4】已知三棱柱，底面，D為線段的中點(diǎn). (1)證明：平面；(2)平面把三棱柱分成了兩部分，求三棱錐和剩下部分幾何體的體積比. 【答案】(1)證明過程見解析；(2).【分析】（1）利用線面

37、平行的判定定理即可證明；（2）利用錐體和柱體的體積公式分別求出三棱錐和三棱柱的體積，進(jìn)而求出體積比.(1)證明：連接交于E，連接，如圖所示由題知，三棱柱側(cè)面為平行四邊形則，又D為中點(diǎn)在中，又平面，且平面平面.(2)解：由題意，設(shè)因?yàn)榈酌?，D為線段的中點(diǎn).所以所以三棱錐和剩下部分幾何體的體積比為：即體積比為.1.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)(1)求三棱錐的體積；(2)點(diǎn)E，F(xiàn)，確定的平面為，試作出平面截長(zhǎng)方體的截面圖，并計(jì)算該截面的面積（不必寫出畫法和理由） 【答案】(1)(2)作圖見解析，【分析】（1）由直接求解，（2）延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)，交與點(diǎn)M，交

38、于點(diǎn)N，則五邊形為求的截面，(1)，三棱錐是體積為(2)延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)，交與點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，平面截正方體的截面圖為五邊形（如圖所示）由相似三角形的知識(shí)可知，同理，易求得，該截面的面積為2.如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過MN構(gòu)造平面平行于平面PAB即可；（2）根據(jù)題中條件，求出底面積及高即可求出體積.(1)取BC中點(diǎn)E，連接EN，EM，N為PC的中點(diǎn)，NE是PBC的中位線N

39、EPB，又ADBC，BEAD，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，BEBCAM2，四邊形ABEM是平行四邊形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB(2)取AC中點(diǎn)F，連接NF，NF是PAC的中位線，NFPA，NF2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如圖，延長(zhǎng)BC至G，使得CGAM，連接MG，AMCG且，四邊形ACGM是平行四邊形，ACMG3，又ME3，ECCG2，MEG的高h(yuǎn)，SBCM2，四面體NBCM的體積VNBCM3.已知在四棱錐中，為的中點(diǎn)，若正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，四棱錐的正視圖為三角形(1)證明：平面；(2)若三角形為直角三角

40、形，求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得出平面，利用線面垂直的定義可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，分析可知，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.(1)證明：因?yàn)檎晥D方向與向量的方向相同時(shí)，四棱錐的正視圖為三角形，則平面，平面，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，平面.(2)解：因?yàn)榍胰切螢橹苯侨切?，則，又因?yàn)?，平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.4.如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2.ABCDBC120，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn).(1)求證：EF平面BCG；(2)求三棱錐

41、DBCG的體積. 【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件可得ACDC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AD平面BGC，又EFAD，即可證明EF平面BCG.（2）以BCD為底，過A點(diǎn)做底面BCD的垂線為高，利用錐體的體積公式即可求解.(1)（1）證明：ABBCBD2，ABCDBC120，ABCDBC，ACDC.G為AD的中點(diǎn)，CGAD.同理BGAD，CGBGG，CG，BG平面BGC，AD平面BGC.又E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點(diǎn)，EFAD，EF平面BCG.(2)解：在平面ABC內(nèi)，作AOCB，交CB的延長(zhǎng)線于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，平面平面BCDBC，且平面ABC，AO平

42、面BCD.G為AD的中點(diǎn)，G到平面BCD的距離h是AO長(zhǎng)度的一半.在AOB中，.在BCD中，故.5.在正三棱錐中，O，E，F(xiàn)分別是線段AC，AD，BD的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，且.(1)在BC上是否存在一點(diǎn)H？使得平面平面BOE；(2)若點(diǎn)M是FG的靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)，求三棱錐的體積. 【答案】(1)存在為中點(diǎn)，使面面BOE；(2).【分析】（1）為中點(diǎn)，連接，由中位線性質(zhì)及線面、面面平行的判定證得面面BOE，即可判斷存在性.（2）由（1）易得面BOE，根據(jù)已知中點(diǎn)有，應(yīng)用錐體的體積公式求體積即可.(1)若為中點(diǎn)，連接，又O，E，F(xiàn)，G分別是AC，AD，BD，OC的中點(diǎn)，則，故，且，而面，面，則

43、面，又面，面，則面，由，則面面BOE，所以，存在為中點(diǎn)，使面面BOE；(2)由（1）知：面面BOE，而面，則面BOE，所以，在正三棱錐中，即，所以，則面，面，所以面面，故三棱錐的體高即為底邊上的高，而，又底面ABC為等邊三角形，則在底面的投影為底面中心在OB上且到各頂點(diǎn)距離，即外接圓半徑，所以，又，所以.6.如圖所示，在三棱錐中，平面，平面平面(1)求證：；(2)若分別為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積 【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過 作 的垂線交 與 點(diǎn)，然后證明 ，從而得到 （2） ,計(jì)算三棱錐 的體積即可得出答案(1)如圖所示，過 作 的垂線交 與 點(diǎn)， 平面平面, 且 , ,且 ,(

44、2)由（1）知， ,且 分別為的中點(diǎn)7.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑(1)若，求圓錐側(cè)面積與底面積的比和圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角的弧度數(shù)；(2)經(jīng)過圓錐的高PO的中點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面，記圓臺(tái)的體積為，以PO為直徑的球的體積為，且，求APB的余弦值 【答案】(1)圓錐側(cè)面積與底面積的比為3，圓心角的弧度為；(2).【分析】（1）若圓錐側(cè)面積、底面積分別為，結(jié)合圓錐的表面積公式可得，根據(jù)圓錐側(cè)面展開扇形弧長(zhǎng)與底面周長(zhǎng)關(guān)系求圓心角的弧度數(shù).（2）利用圓臺(tái)、球的體積公式求得底面半徑與圓錐體高的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用余弦定理求APB的余弦值(1)若圓錐側(cè)面積、底面積分別為

45、，則，設(shè)展開圖扇形的圓心角為，由圓錐的側(cè)面展扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面圓周長(zhǎng)，所以，故.(2)設(shè)截面圓半徑為r，下底面圓的半徑為2r，圓臺(tái)的高為h，所以，又，可得，即，在中，余弦定理得.8.已知在正方體中，截下一個(gè)四棱錐E-ABCD，E為棱中點(diǎn).(1)求四棱錐E-ABCD的表面積；(2)求四棱錐E-ABCD的體積與剩余部分的體積之比；(3)若點(diǎn)F是AB上的中點(diǎn)，求三棱錐C-DEF的體積. 【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出正方形ABCD和四個(gè)直角三角形的面積，相加即為結(jié)果；（2）求出四棱錐E-ABCD的體積，正方體的體積，得到兩者的比值，從而求出求四棱錐E-ABCD的體積與剩余部分的體積之比；（3）等體積法求解三棱錐C-DEF的體積.(1)四棱錐的表面由正方形ABCD和四個(gè)直角三角形所圍成，ABE與ADE全等，BCE與DCE全等，因?yàn)椋?2)因?yàn)镋C為四棱柱E-ABCD的高，且EC=1所以又正方體體積，設(shè)剩余部分的體積為，所以(3)，其中平面ABCD，故9.如圖所示，矩形中，.、分別在線段和上，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.(1)求證：平面；(2)若，求證：；(3)求四面體體積的最大值 【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2【分析