課時(shí)考點(diǎn)圓錐曲線中的最值及范圍問(wèn)題

1、文檔編碼 : CJ10F3B2S6Q6 HE1M7E5R3E4 ZI3L2G4O2A6課時(shí)考點(diǎn)14 圓錐曲線中的最值及范疇問(wèn)題高考透析高考大綱： 橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 . 解析幾何與代數(shù)方法的綜合 . 新題型分類例析熱點(diǎn)題型 1：重要不等式求最值（05 浙江 .理 17）如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F F 在 x 軸上,長(zhǎng)軸A A 的長(zhǎng)為 4,左準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為M,| MA 1| | A1F1| 2 1 求橢圓的方程；Ply 如直線1l ：x m| m| 1 ,P 為1l 上的動(dòng)點(diǎn),使F PF 最大的點(diǎn) P記為 Q,求點(diǎn) Q的坐標(biāo) 用 m

2、表示 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾l1MA1F1oF2A2x角,點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題才能滿分 14 分解： 設(shè)橢圓方程為2 xy21ab0,半焦距為 c ,就2a2bMA 1a2a A F 1acca2a2acc由題意 , 得2a4a2,b3,c1a22 b2 c故橢圓方程為2 xy21.43 設(shè)P m y 0,|m| 1,當(dāng)y 00時(shí),F PF20；當(dāng)y 00時(shí),0F PF 2PF M2,只需求tanF PF 的最大值即可設(shè)直線PF 的斜率k 1y 01,直線PF 的斜率k 2y 01,mmtanF PF 2k2k 1m22 |y0|

3、222 |y 0|y 0|11k k 21y 0m21 |2 m1當(dāng)且僅當(dāng)m 21 |y 0|時(shí),F PF 最大,Q m ,m 21 ,|m| 1變式新題型1：2 2 2 2已知橢圓 C 的方程是 x2 y2 1 a b 0 ,雙曲線 x2 y2 1 的兩條漸近線為 l 1,l 2,a b a b過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 作直線 l ,使 l 1l ,又 l 與 2l 的交于 P 點(diǎn),設(shè) l 與橢圓 C 的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為 A、 B（如圖）（1）當(dāng) 1l 與 2l 的夾角為 60 ,雙曲線的焦距為 4 時(shí),求橢圓 C 的方程及離心率,（2）如 FA AP,求 的最大值 . 啟思 熱點(diǎn)題型

4、 2：利用函數(shù)求最值（05 上海 .理 19）點(diǎn) A、B 分別是橢圓x2y21長(zhǎng)軸的左、Bx3620 y右焦點(diǎn),點(diǎn) F 是橢圓的右焦點(diǎn)點(diǎn) P 在橢圓上,且位于xP軸上方, PAPF（1）求 P點(diǎn)的坐標(biāo)；MF（2）設(shè) M 是橢圓長(zhǎng)軸AB 上的一點(diǎn), M 到直線 AP 的距離等于 MB ,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M 的距離 d 的最小Ao值解：（1）由已知可得點(diǎn)A 6,0, F0,4 設(shè)點(diǎn) P x, y, 就 AP =x+6, y, FP = x4, y, 由已知可得x2y21y203620 x6x4就 2x 2+9x18=0, 解得 x=3 或 x=6. 2由于 y0, 只能 x=3 , 于是 y= 2

5、523. 點(diǎn) P的坐標(biāo)是 3 , 253 2 2 直線 AP的方程是 x3 y+6=0. 設(shè)點(diǎn) M m,0,就 M到直線 AP的距離是m26. 于是m26=m6, 又6 m6, 解得 m=2. 橢圓上的點(diǎn) x, y 到點(diǎn) M的距離 d 有d2= x22+y 2=x4x 2+4+205 x 2=94 x99 22+15, 57時(shí),由于 6 m6, 當(dāng) x=9 時(shí), d取得最小值 215 .變式新題型2 如圖, B（-c ,0）,C（c, 0）, AH BC ,垂足為 H,且 BH3HC；（I ）如 AB AC0, 求以 B、 C為焦點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 的橢圓的離心率；（II ）D分有向線段AB 的比

6、為,A、D同在以 B、C為焦點(diǎn)的橢圓上,當(dāng)2求橢圓的離心率e 的取值范疇 .解：（I ）由于 BH3HC,所以 H（c 2,0） 1 分又由于 AH BC ,設(shè) A c y 20由 AB AC0,得 cc,y0 cc,y0022即 y23c2 3 分04所以 |AB |3 c23 c23 c,|AC | c223 c2c244橢圓長(zhǎng)軸 2a|AB| |AC|31 c 4 分所以, ec31 5 分ayADBOHCx（II ）設(shè) D（ x1,y 1）,由于 D分有向線段AB 的比為所以 x 1cc,y 11y 0 7 分CB x2 1設(shè)橢圓方程為x2y21 ab0 ,將 A、 D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方

7、程a2b2e2y2 01 2 e 122y21121 8 分0b22b244 1由得y b21e2,代入,整理的e221311 10 分024由于572,所以 e1,1 12 分232又 0e1,所以3e2 13 分32熱點(diǎn)題型 3：利用導(dǎo)數(shù)求最值（05 廣東 20）在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD 的長(zhǎng)為2,寬為 1,AB 、AD 邊分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上, A 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖5 所示） .將矩形折疊,使A 點(diǎn)落在線段DC 上. y（）如折痕所在直線的斜率為k,試寫(xiě)出折痕所在直線的方程；D（）求折痕的長(zhǎng)的最大值. 解I （1）當(dāng)k0時(shí),此時(shí) A 點(diǎn)與 D 點(diǎn)重合 ,

8、折痕所在的直線方程ky1A 點(diǎn)落在線段CD 上的OA2（2）當(dāng)0時(shí),將矩形折疊后點(diǎn)為 Ga,1 如圖 5 所 以A與G關(guān) 于 折 痕 所 在 的 直 線 對(duì) 稱 , 有kOGk,11k1akyOG 的中點(diǎn)）為Mk,1a故 G 點(diǎn)坐標(biāo)為G k1, OG 的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段從而折痕所在的直線與22折痕所在的直線方程y1kxk,即kxk2k2222由（ 1）（2）得折痕所在的直線方程為：k=0 時(shí),y1；k0時(shí)ykxk2k0 ,k21 ,Pk2k10,222（II ）1 當(dāng)k0時(shí),折痕的長(zhǎng)為2; 1 當(dāng)k0時(shí), 折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N22yPN2k221 2k2k1 2k1 324 k2

9、x 1, y1.Bx2, y2兩點(diǎn)在拋物線y/3k21 22k4k2k21 38 k416k令y/0解得k2PNmax272216所以折痕的長(zhǎng)度的最大值2熱點(diǎn)題型 4：利用判別式求參數(shù)范疇（ 05 全國(guó) 21）設(shè)Ay2x2上, l 是 AB 的垂直平分線F ？證明你的結(jié)論；（1）當(dāng)且僅當(dāng)x 1x2取何值時(shí),直線l 經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)（2）當(dāng)直線 l 的斜率為 2 時(shí),求 l 在 y 軸上截距的取值范疇注：本小題主要考察直線與拋物線等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考察規(guī)律推理才能和綜合分析、解決問(wèn)題的才能解法一：（1）FlFAFBA 、 B 兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等由于：拋物線的準(zhǔn)線是x 軸的平行線,iy0i,1

10、2,依題意1y 、y 不同時(shí)為 0 所以,上述條件等價(jià)于y1y22 x 1x2x 1x2x1x 20；2留意到：x 1 x 2,所以上述條件等價(jià)于 x 1 x 2 0即：當(dāng)且僅當(dāng) x 1 x 2 0 時(shí),直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn) F（2）設(shè) l 在 y 軸上的截距為 b,依題意得l的方程為 y 2 x b；過(guò)點(diǎn) A 、 B 的直線方程可寫(xiě)為 y 1 x m,所以 x 、x 中意方程 2 x 2 1 x m 0,即 x 1 x 2 12 2 4A 、 B 為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式 1 8 m 0,也就是：4m 1 設(shè) AB 的中點(diǎn) H 的坐標(biāo)為為 x 0, y 0,就有：32

11、x 1 x 2 1 x 0 1x 0,y 0 m m2 8 2 16由 H l 得：1 m 1 b,于是：b 5m 5 1 916 4 16 16 32 32即： l 在 y 軸上截距的取值范疇是 9,32. 解法二：（）拋物線 y 2x 2,即 x 2 y , p 1,2 4焦點(diǎn)為 F 0, 1 1 分8（1）直線 l 的斜率不存在時(shí),明顯有 x 1 x 2 0 3 分（2）直線 l 的斜率存在時(shí),設(shè)為 k,截距為 b 即直線 l ：y=kx+b 由已知得：y 1 y 2 k x 1 x 2 b 2 x 1 2 x 2 k x 1 x 2 b 2 22 2 5 分 2 22 2y 1 y 2

12、 1 2 x 1 2 x 2 1x 1 x 2 k x 1 x 2 kx 1 2x 22 k x 121 x 2 b 7 分 x 1 2x 22 14 b 0 b 14x 1 x 2 2 k即 l 的斜率存在時(shí),不行能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) F 0, 1 8 分8所以當(dāng)且僅當(dāng) x 1 x =0 時(shí),直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn) F 9 分 II 解：設(shè)直線 l 的方程為： y=2x+b, 故有過(guò) AB的直線的方程為 y 1x m,代入拋物線方程有 2x 2+ 1x m =0, 得 x1+x2=-1 . 2 2 4由 A.B 是拋物線上不同的兩點(diǎn),于是上述方程的判別式18 m0,即m122. 432由直線 AB的中點(diǎn)為x 12x2