金典教案輔助角公式

1、文檔編碼 : CP5Y6X4W5L9 HL8B5C6B10M6 ZO5J9L2N6G10幫忙角公式 asin bcos a2b2sin 教學應 留意的的幾個問題 在三角函數(shù)中, 有一種常見而重要的題型, 即化 a sin b cos 為一個角 的一個三角函數(shù)的形式,進而求原函數(shù)的周期,值域,單調區(qū)間等 . 為了幫忙學 生 記 憶 和 掌 握 這 種 題 型 的 解 答 方 法 , 教 師 們 總 結 出 公 式 2 2 2 2a sin b cos = a b sin 或 a sin b cos = a b cos , 讓同學在大量的訓練和考試中加以記憶和活用 . 但事與愿違 , 半個 學期不

2、到 , 大部分同學都忘了 , 老師不得不重推一遍 . 到了高三一輪復習 , 再次忘 記, 老師仍得重推 . 本文旨在通過幫忙角公式的另一種自然的推導 , 表達一種解決 問題的過程與方法 , 減輕同學的記憶負擔 ; 同時說明“幫忙角” 的范疇和常見的取 角方法 , 幫忙同學澄清一些熟識 ; 另外通過例子說明幫忙角公式的靈敏應用 , 優(yōu)化 解題過程與方法 ; 最終通過例子說明幫忙公式在實際中的應用 , 讓同學把握幫忙 角與原生角的范疇關系 , 以更好地把握和使用公式 . 一. 教學中常見的的推導方法 教學中常見的推導過程與方法如下 1. 引例 例 1 求證： 3 sin +cos =2sin （

3、+ 6）=2cos（ -3）. 其證法是從右往左開放證明 結論 : , 也可以從左往右“湊” , 使等式得到證明 , 并得出 可見, 3 sin +cos 可以化為一個角的三角函數(shù)形式 . 一般地 ,asin +bcos 是否可以化為一個角的三角函數(shù)形式呢 .2. 幫忙角公式的推導 例 2 化 a sin b cos 為一個角的一個三角函數(shù)的形式 . 2cos , 解: asin +bcos = a2b2a2ab2sin + a2bb 令 aab2=cos , a2bb2=sin , 2就 asin +bcos 2 = a b2sin cos +cos sin = a22 b sin + ,

4、其中 tan b = a1第 1 頁,共 6 頁 令 aab2=sin , a2bb2=cos , 就 cos = 2 a2 bcos 2asin +bcos 2 = a b2sin sin +cos -, 其中 tan a = b的象限 , 再由 tan 的值求 其中 的大小可以由 sin ,cos 的符號確定 出. 或由 tan = ba和a,b 所在的象限來確定 . 推導之后 , 是配套的例題和大量的練習 . 但是這種推導方法有兩個問題 : 一是為什么要令 aab2=cos , abb2=sin .讓同學費解 . 二是這種 “規(guī)定”式的推 22導, 同學難記易忘,易錯 . 二. 讓幫忙角

5、公式 a sin b cos = 2 ab2sin 來得更自然 能否讓讓幫忙角公式來得更自然些 .這是我多少年來始終摸索的問題 .2022 年春 . 我又一次代 2022 級同學時 , 最終想出一種與三角函數(shù)的定義連接又通俗易 懂的教學推導方法 . 第一要說明,如 a=0 或 b=0 時, a sin 函數(shù)的形式,無需化簡 . 故有 ab 0. b cos 已經(jīng)是一個角的一個三角 1. 在平面直角坐標系中 , 以 a 為橫坐標 ,b 為縱坐標描一 Pa,b 如圖 1 所示 , 點 2 2就總有一個角 , 它的終邊經(jīng)過點 P. 設 OP=r,r= a b , 由三角函數(shù)的定義知 sin = b

6、= 2 b2 , r a bcos = ar a 2 ab 2 . 2 2 2 2所以 asin +bcos = a b cos sin + a b sin cos = a 2b sin 2 . 其中 tan = b a2. 如在平面直角坐標系中 , 以 b 為橫坐標 , 以 a 為縱坐標可以描點 Pb,a, 如圖 2 所示 , 就總有一個角 的終邊經(jīng)過點 Pb,a, 設 OP=r,就 r= a22 b . 由 2第 2 頁,共 6 頁三角函數(shù)的定義知 a asin = = 2 2 , r a bcos = b= 2 b2 . r a b2 2 2 2asin +bcos = a b sin

7、sin a b cos cos = a 2b co s 2 . 其中 tan = a b例 3 化 3 sin cos 為一個角的一個三角函數(shù)的形式 . 解 : 在 坐 標 系 中 描 點 P 3 ,1, 設 角 的 終 邊 過 點 P, 就 OP 2 1 3=r= 3 1 2 = 2 ,cos = 2 . 3 sin cos =2cos sin +2sin cos =2sin .tan = 3. 362k , 3 sin cos =2sin 6. 經(jīng)過多次的運用 , 同學們可以在老師的指導下 , 總結出幫忙角公式 aasin +bcos = a2b2asin + abb2cos = a2b2

8、222 b sin , 其中 tan b = a. 或者 aasin +bcos = a2b2asin + abb2cos = a2b2222 b cos , 其中 tan a = b我 想 這 樣 的 推 導 , 學 生 理 解 起 來 會 容 易 得 多 , 而 且 也 更 容 易 理 解 asin +bcos 湊成 a22 b aab2sin + 2 abb2cos 的道理 , 以 2及為什么只有兩種形式的結果 . 3第 3 頁,共 6 頁例 4 化 sin 3 cos 為一個角的一個三角函數(shù)的形式 . 解 法 一 : 點 1,- 3 在 第 四 象 限 .OP=2. 設 角 過 P 點

9、 . 就 sin 3 , cos 1 . 滿 足 條 件 的 最 小 正 角 為 2 25, 5 2k , k Z. 3 3sin 3 cos 2 sin 1 3cos 2sin cos cos sin 2 22sin 2sin 5 2k 2sin 5 . 3 3解 法 二 : 點 P- 3 ,1 在 第 二 象 限 ,OP=2, 設 角 過 P 點 . 就 sin 1, cos 3. 滿 足 條 件 的 最 小 正 角 為 2 25 5, 2k , k Z. 6 6sin 3 cos 2 1 sin 3 cos 2sin sin cos cos 2 25 52cos 2cos 2k 2cos

10、 . 6 6三. 關于幫忙角的范疇問題 由 a sin b cos a22 b sin 中, 點 Pa,b 的位置可知 , 終 邊過點 Pa,b 的角可能有四種情形 第一象限,其次象限,第三象限,第四象限 . 設中意條件的最小正角為 1 , 就 12k . 由誘導公式 一 知 a sin b cos a22 b sin a22 b sin 1 其 中 10,2 , tan 1b, 1 的詳細位置由 sin 1 與 cos 1 預備, 1 的大 a小由 tan 1b預備 a4第 4 頁,共 6 頁類似地,a sin b cos a22 b cos , 的終邊過點（, ）,設中意條件的最小正角為

11、2,就 22k . 由誘導公式有 a sin b cos a22 b cos a22 b cos 2 ,其 中 20,2 , tan 2a, 2的位置由 sin 2和 cos 2確定, 2的大小 b由 tan 2a確定 2；以后沒有特殊說明時,角 1（或 2）是所 b留意：一般地, 1求的幫忙角 四關于幫忙角公式的靈敏應用 引入幫忙角公式的主要目的是化簡三角函數(shù)式 在實際中結果是化為正弦仍 是化為余弦要詳細問題詳細分析,仍有一個重要問題是,并不是每次都要化為 a sin b cos a22 b sin 1 的 形 式 或 a sin b cos a22 b cos 2 的形式可以利用兩角和與差

12、的正, 余弦公式靈敏處理 例 化以下三角函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式 （） 3 sin cos ； 1 2cos 6（） 2sin 36cos 3 663 sin cos 2 3sin 2解： （） 2sin cos 6cos sin 62sin 5第 5 頁,共 6 頁2sin 36cos 33 , 66（） 21 sin 3 2 33cos 3 22sin 3 cos 3cos 3sin 3 32 3sin 23在本例第（）小題中, a3 , b 1,我們并沒有取點（ ）,而取的是點 （ 3 ,）也就是說, 當 a ,b 中至少有一個是負值時 我 們可以?。?a, b）,或者（ b, a）這樣確定的角 1（或 2 ）是銳角, 就更加便利 例 6 已知向量 acosx 3,1 , bcosx 3, 1 , 2c sin x