北京市西城區(qū)市級名校2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在各項都為正數(shù)的等差數(shù)列an中，若a1+a2+a10=30，則a5a6的最大值等于（）A3 B6 C9 D362定義在（0，+）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)滿足x21，則下列不等式中一定

2、成立的是（）Af（）+1f（）f（）1Bf（）+1f（）f（）1Cf（）1f（）f（）+1Df（）1f（）f（）+13已知分別為內(nèi)角的對邊，且成等比數(shù)列，且，則=（ ）ABCD4給定空間中的直線及平面，條件“直線上有兩個不同的點到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的（ ）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件5已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD6箱子中有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為( )A1662

3、5B96625C6247將3顆相同的紅色小球和2顆相同的黑色小球裝入四個不同盒子，每個盒子至少1顆，不同的分裝方案種數(shù)為（ ）A40B28C24D168某班級有6名同學(xué)去報名參加校學(xué)生會的4項社團(tuán)活動。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個社團(tuán)都有人參加，每個人只參加一個社團(tuán)，則不同的報名方案數(shù)為A2160B1320C2400D43209某車間加工零件的數(shù)量x與加工時間y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖：現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，加工100個零件所需要的加工時間約為( )零件個數(shù)x (個)102030加工時間y (分鐘)213039A112分鐘B102分鐘C94分鐘D84分

4、鐘10若，則（ ）ABCD11已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（ ）A最小正周期為B圖像關(guān)于點對稱C在區(qū)間上為減函數(shù)D圖像關(guān)于直線對稱12將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則下列各式正確的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13邊長為2的等邊三角形繞著旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體體積為_.14已知，且，則的最小值是_15選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，（）求不等式的解集；（）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍16 _三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參

5、數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切； （1）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線上取兩點，與原點構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.18（12分）已知，函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.19（12分）已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，記，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意，.20（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）（1

6、）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.21（12分）已知點是橢圓的一個焦點,點 在橢圓上. （）求橢圓的方程；（）若直線與橢圓交于不同的兩點,且 (為坐標(biāo)原點),求直線斜率的取值范圍.22（10分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時間情況，隨機(jī)抽取了某市名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和

7、“非朗讀愛好者”中隨機(jī)抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：由題設(shè)，所以，又因為等差數(shù)列各項都為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以a5a6的最大值等于9，故選C考點：1、等差數(shù)列；2、基本不等式2、D【解析】構(gòu)造函數(shù)g（x）f（x），利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)，則答案可求【詳解】由x2f（x）1，得

8、f（x），即得f（x）0，令g（x）f（x），則g（x）f（x）0，g（x）f（x）在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)，f（）+2f（）+3f（）+4，則f（）f（）+1，即f（）1f（）；f（）f（）+1綜上，f（）1f（）f（）+1故選：D【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，是中檔題3、C【解析】因為成等比數(shù)列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點睛：此題考察正弦定理的應(yīng)用，要注意求角度問題時盡量將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的等式，然后根據(jù)三角函數(shù)間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和的關(guān)系進(jìn)行解題.4、B【解析】分析：利用直線與平面平行的定義判斷即可.詳解：直線上有兩個不

9、同的點到平面的距離相等，如果兩點在平面同側(cè)，則 ；如果兩點在平面異側(cè)，則與相交：反之，直線與平面平行，則直線上有兩個不同的點到平面的距離相等.故條件“直線上有兩個不同的點到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的必要非充分條件.故選B.點睛：明確：則是的充分條件，則是的必要條件準(zhǔn)確理解線面平行的定義和判定定理的含義，才能準(zhǔn)確答題5、B【解析】對任意的，恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，參變分離得到恒成立，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最小值即可【詳解】解：對任意的，即恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，恒成立，又由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，即故選：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

10、，恒成立問題的基本處理方法，屬于中檔題6、B【解析】獲獎的概率為p=6C62=25 ，記獲獎的人數(shù)為 ， B(4,7、B【解析】分析：分兩類討論，其中一類是兩個黑球放在一個盒子中的，其中一類是兩個黑球不在一個盒子中的，最后把兩種情況的結(jié)果相加即得不同的分裝方案種數(shù).詳解：分兩種情況討論，一類是兩個黑球放在一個盒子中的有種，一類是兩個黑球不放在一個盒子中的:如果一個黑球和一個白球在一起，則有種方法；如果兩個黑球不在一個盒子里，兩個白球在一個盒子里，則有種方法.故不同的分裝方案種數(shù)為4+12+12=28.故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查排列組合綜合應(yīng)用題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分

11、析推理能力.(2)解答本題時，要注意審題，黑球是一樣的，紅球是一樣的，否則容易出錯.8、B【解析】依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計數(shù)原理，可得種，故選B.【點睛】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.9、B【解析】由已知求得樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求得，取求得值即可。【詳解】解：所以樣本的中心坐標(biāo)為（20，30），代入，得，取，可得，故選：B。【點睛

12、】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10、A【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.詳解：因為，所以，解得，故選A.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、D【解析】函數(shù)f（x）=cos（x+）sinx=（cosxsinx）sinx=sin2x=（sin2x+cos2

13、x）=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數(shù)f（x）的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，且f（x）的圖象不關(guān)于點（，）對稱，故B不正確、D正確；在區(qū)間（0，）上，2x+（，），f（x）=sin（2x+）+ 為增函數(shù)，故C不正確，故選D12、C【解析】根據(jù)平移得到，函數(shù)關(guān)于點中心對稱，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，故，取，故.故函數(shù)關(guān)于點中心對稱，由，則故，則正確，其他選項不正確.故選：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)平移，中心對稱，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題

14、意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,利用圓錐的體積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,等邊三角形的高為,底面半徑為,所以所得到的幾何體體積為.故答案為【點睛】本題考查了按平面圖形一邊旋轉(zhuǎn)所形成的空間圖形的體積問題,考查了空間想象能力,考查了數(shù)學(xué)運算能力.14、1【解析】直接將代數(shù)式4x+y與相乘，利用基本不等式可求出的最小值【詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，因此的最小值為1，故答案為：1【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定

15、值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、（1）；（2）.【解析】試題分析：（I）利用零點分段法去絕對值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，由此求得不等式的解集為；（II）由（I）值，函數(shù)的最小值為，即，由此解得.試題解析：（I），當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，綜上所述.（II）易得，若，恒成立，則只需，綜上所述.考點：不等式選講16、【解析】分析：根據(jù)，即可求出原函數(shù)，再根據(jù)定積分的計算法則計算即可.詳解：，故答案為：.點睛：本題考查了定積分的計算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】（1）求出直線l的直角坐標(biāo)方

16、程為y2，曲線C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線l與曲線C相切，求出r2，曲線C的普通方程為（x）2+（y1）24，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程（2）設(shè)M（1，），N（2，），（10，20），由2sin（2），由此能求出MON面積的最大值【詳解】（1）直線l的極坐標(biāo)方程為，由題意可知直線l的直角坐標(biāo)方程為y2，曲線C是圓心為（，1），半徑為r的圓，直線l與曲線C相切，可得r2，曲線C的參數(shù)方程為（r0，為參數(shù)），曲線C的普通方程為（x）2+（y1）24，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為22cos2sin0，即（2）由（）不妨設(shè)M（1，），N（2，），（10，20）， 4sin（）sin（）2sin

17、cos+2 sin22sin（2），當(dāng)時，故所以MON面積的最大值為2【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題18、（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，解對數(shù)不等式即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論的取值范圍進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)條件得到，恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.試題解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）log2（a3）x+2a51得log2（a）log2（a3）x+2a51即l

18、og2（a）log2（a3）x+2a5，即a（a3）x+2a51，則（a3）x2+（a5）x11，即（x+1）（a3）x11，當(dāng)a3時，方程的解為x1，代入，成立當(dāng)a3時，方程的解為x1，代入，成立當(dāng)a3且a3時，方程的解為x1或x，若x1是方程的解，則aa11，即a1，若x是方程的解，則a2a31，即a2，則要使方程有且僅有一個解，則1a2綜上，若方程f（x）log2（a3）x+2a51的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1a2，或a3或a3（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間t，t+1上單調(diào)遞減，由題意得f（t）f（t+1）1，即log2（a）log2（a）1，即a2（a），即a設(shè)1tr，則1r，

19、當(dāng)r1時，1，當(dāng)1r時，yr在（1，）上遞減，r，實數(shù)a的取值范圍是a【一題多解】（3）還可采用：當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，即，對任意成立因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，有最小值，由，得故的取值范圍為19、（1）；（2）見解析【解析】(1)求得，由，得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍； (2) 當(dāng)時，得，令，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，得，進(jìn)而證得結(jié)論【詳解】(1)由得，由得.令，則令的，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增.則的取值范圍取值范圍是. (2) 當(dāng)時，令，所以令得.因此當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.即又時，故)，則，即對任意，【點睛】本題主

20、要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解析】（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。

21、（2）相鄰問題用捆綁法，將女生看成一個整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列。（3）不相鄰問題用插空法，先排好女生，然后將男生插入其中的五個空位?！驹斀狻浚?）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個位置全排有種，則符合條件的排法共有種. （2）將女生看成一個整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有576種；（3）先排好女生，然后將男生插入其中的五個空位，共有種.答：（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種.【點睛】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時要注