晶格振動和晶格缺陷

1、 第二章晶格振動和晶格缺陷上一章里，把組成晶體的原子或離子看成是固定不動的，都處在其平衡位置上。實際晶體中的原子卻是不停地在其平衡位置附近做熱振動的，并且隨著溫度的升高，振動會不斷加劇。這種熱振動也稱晶格振動，它會破壞晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，從而對半導體的性質(zhì)產(chǎn)生重要影響。實際三維晶體中原子的振動現(xiàn)象很復雜，我們只分析一維晶體(單原子和雙原子鏈)的振動，然后將所得到的規(guī)律和結論推廣到三維晶體中。2-1一維均勻線的振動為研究一維原子鏈的振動，首先復習一下一維均勻線中彈性波(縱波)的傳播現(xiàn)象。設均勻線的質(zhì)量密度為P，彈性模量為K,又設線上每一點只能沿線本身的方向運動，如圖2-1所示。兀Ax

2、.x+Ax圖2-1均勻線上的彈件力TOC o 1-5 h z若在線段Ax上施加一作用力，它將引起x點的縱向位移u(x)。此時在x處的相對伸長，即形變?yōu)閑(x)=色，在x+Ax處的形變則為e(x+Ax)=e(x)+Ax。dxdx2因此在線元Ax上的作用力F=Ke(x+Ax)-e(x)=K巴Ax(2-1)Adx2此作用力還可表示為線元質(zhì)量pAx乘上加速度池，即dt2從而有式中，pFAxpAxd2udt2d2uKd2ud2u=U2-dt2pdx2dx22-2)(2-3)是彈性波的傳播速度(聲波速度)，與振動頻率無關。(2-3)式稱線性振動方程，其解為具有如下形式的簡諧波u(x,t)=Aex2-4)一

3、2兀1式中,A為振幅，w=2kv為角頻率,v為振動頻率，q=為波矢(波數(shù)x2兀)，九九U=v為波速，從而有2-5)即與波矢q成正比。q的絕對值可取0Ta，因而振動頻率也可取0Ta，且與q是對應的。(2-5)式也稱波的色散關系。2-2一維單原子鏈的振動晶體由周期性排列的原子構成。由于晶體微觀結構的這種不連續(xù)性，使得晶體中原子的振動具有與連續(xù)媒質(zhì)彈性振動不同的特點。由于原子之間的相互作用，每個原子的振動并不是彼此孤立的，而是一個原子的振動要依次傳遞給其他原子。晶體中的原子振動，總體而言，也是以波的形式在晶體中傳播的。這種晶體中原子振動波稱格波。a(n+2)aa-IL一hlna+ul1于是得2上)1

4、/2m.qasinw.qasin2m22-10)g1罕3bn*2圖2-2維單原子鏈上的原子振動下面分析質(zhì)量為m、間距為a(晶格常數(shù))的一維單原子鏈的晶格振動。如圖2-2所示，假設第n個原子的位移為u。若這個原子從平衡位置偏離不大，則其受到的相互作用力可認為是準彈性的，并與原子間距的變化成比例。因此，在忽略包括次近鄰以外原子的作用后，n原子所受到的作用力F為n-1和n+1兩個最近鄰原子的作用力之和，即FP(uu)B(uu)P(u+u2u)(2-6)TOC o 1-5 h znn+1nnn-1n+1n-1n式中，P稱準彈性力常數(shù)且P-K/a，即K-Pa，K為彈性模量。于是，第n個原子的運動方程可寫

5、為d2umnP(u+u2u)(2-7)dt2n+1n-1n該方程的解為簡諧波uAexp(qnwt)1n(2-8)將(2-8)代入(2-7)得mW2P(eiqe-iq什2)=P12(1-cosqa)-4Psin2qa從而有qamW24Psin-2(2-9)式中，w2(P/m)1/2為最大振動角頻率。(2-10)式即為一維單原子鏈的色散m關系或頻譜分布。從而一維單原子鏈中準彈性波的傳播速度為=(P/m)1/2兀.兀asin九2-11)與波長有關。一維單原子鏈的格波（簡諧波）具有以下性質(zhì)：1.所有原子都以相同的角頻率和振幅a|作簡諧振動；2各原子之間有一均勻變化的位相差。位相差的大小由原子之間的距離

6、a和波長九=餐決定。近鄰原子間的位相差為q|a=孚a；q九3.如果兩個波矢q和q之間存在以下關系2兀q=q+2-1（/為任意整數(shù)）（2-12）a則相應于這兩個波矢的格波所引起的原子振動是相同的。*因為，對于q格波，原子振動為u=Aexpni(q+1)na-ta=Aexpb(qna-wt)exp(i2兀nl)=Aexp(qna-t)=un（2-13）與波矢為q的格波所引起的原子的振動相同。因此，當q在2n/a的范圍內(nèi)變化時，能夠給出所有的獨立格波。為了明確起見，通常限制2-14)兀兀Wqaa波矢q的這一變化范圍，稱為第一布里淵區(qū)。格波之所以具有上述性質(zhì)，是因為晶體中的原子不是連續(xù)分布，而是周期排

7、列的。由于q在-上和-之間取值，故aa當q=上時，相應的格波波長最小，為九=竺=2a。這個結果的物理意義maxaminqmax是很清楚的。a小的格波。圖2-3中,a(q=a)A入=2入=6a/7(q=7*2兀/6a)02-/74-/76-/78-/710-/712-/72-圖2-3一維單原子鏈中不同波長的格波TOC o 1-5 h z2兀兀7*2兀畫出了q=（九二6a）和q=（九二2a）的兩個格波。而q=（九二6a/7）的簡6aa6a諧波與q=參相差，半波長小于a,故不屬于格波。6aa2-3一維雙原子鏈的振動如圖2-4所示，假設在質(zhì)量為m1和m2的兩種原子組成的晶格常數(shù)為a的一維晶體中，分別用

8、序列號n和n”標志第n個原胞中的m_和m2原子，用u和u”表12nn示n和n位置原子的位移，并認為相鄰原子之間的彈性力常數(shù)0相等，則可寫出以下兩種原子的運動方程d2un=p(u”+u”2u)dt2nn1nd2un=p(u+u2u)n+1nnm；2dt22-15)上述方程的解為u=Aexp(qnat)n1u”=Aexp(qnt)n=0,l,2,3n2將(2-16)代入(2-15)得2-16)(2p-m2)A-p(1+ez)A=0112p（1+eiq）aA（2pm2）A=0122這是一個二元線性齊次聯(lián)立方程組。若要A1和A2不同時為零，則其系數(shù)行列式必須等于零。即2-17)(2pm2)p(1+e-

9、iq)1p(1+eiq)(2pm2)2qa利用eiqa+e-iqa=2cosqa和1-cosqa=2sin2，可得=02-18)m+m4p2qa42p122+sin=0mmmm212122-19) 10 從而有1+1-r2sinqa21-.1-r2sinqa2(2-20)22二一0-22式中,2=2pmi+m,r2=4。由(2-20)可知，每個q對應兩個w(負0mm(m+m)21212w無意義)。因此，在原胞中有兩個原子的一維晶體中有兩支振動波(格波)，其中頻率較高者與晶體的光學性質(zhì)有關，通常稱光學波。而頻率較低者則與宏觀彈性波(聲波)有密切關系，通常稱聲學波。圖2-5給出了一維雙原子鏈振動頻

10、率與波矢之間的關系。下面討論兩種極端情況，1)對q=0和q=n/a有即對波長最長和最短的格波進行討論。w(0)=w，10ww()=上*1+1一r21a站2w(0)=0,2兀w；w(一)=士：1一丫1-r22a22-21)從而有w(0)=ww()w()w(0)=0(2-22)101a2a22)對無限長波長聲學波，w(0)=0，從而由(2-16)和(2-17)式有2佇=(紅)=1(2-23)u”An2即此時兩個原子的位移相同。這意味著無限長聲學波中，兩個原子的振動是同步的，并在任何時刻它們偏離平衡位置的方向相同，與彈性波類似，故稱其為聲學波。3)對無限長波長光學波，最大頻率w(0)=w。根據(jù)(2-

11、16)和(2-17)式TOC o 1-5 h zuAm有：2-24)n=1=2u”Amn21因此，在無限長光學波中，同一原胞中的兩個原子反向位移，位相相反，質(zhì)量中心不動，即mu+mu”=0。如果原胞由兩個符號不同的離子組成，它們的反位1n2n相振動將導致原胞電偶極矩的變化，從而引起紅外光的吸收和發(fā)射，故稱其為光學波。4）對較長波長格波，即q較小時，有sin號號，從而（2-20）式中的根號項可展成級數(shù)，結果對光學波有：1“(1-Hq2)032(2-25)當qT0時，光學波的相速度uf=牛Tg，而群速度ugd1dqor2a2qT0.161I0而對聲學波則有：-廣4計=緯2（2-26)式中，0=2K

12、/a。上式表明,對于長聲學波，振動頻率正比于聲速Ku=a=且相速度與群速度均等于聲速，即：u=u=u。這意2（m+m）pfg12味著當q較小時，晶格原子的聲學波對應于通常的聲波，其傳播速度等于晶體中的聲速。兀5）對最短波長九二2a,q二一，此時光學波的振動頻率最小，而聲學波的mina頻率最高，分別為：(一)=(20/m)1/2=和(夕)=(20/m)1/2=1a11min2a22max2-4玻恩卡門邊界條件（周期性邊界條件）前兩節(jié)討論了分布在無限長直線上的原子振動問題，得到的格波頻譜分布是連續(xù)的。然而，實際晶體大小總是有限的。對有限晶體，邊界附近的原子與內(nèi)部原子所處的環(huán)境有所不同，晶體結構的周

13、期性被破壞，這給分析問題帶來不便。為克服這一困難，玻恩、卡門提出了一種理想化的邊界條件周期性邊界條件：要求原子的運動具有以實際的有限晶體為周期的周期性。該條件雖然有一定的人為性，但對所討論的問題一般影響不大（為什么？），可得到一些重要結論。下面用周期性邊界條件討論一維單原子鏈和雙原子鏈問題。1）對于一維單原子鏈，設想其由N個相同的原子組成，這些原子以等間距a排列在一條長為L=Na的直線上。這條原子鏈共有N個原胞，每個原胞中只有一個原子。周期性邊界條件要求，實際晶體中任意一個原胞中的原子（如第n個）的運動情況，與晶體外面假想晶體的相應原胞中原子（第n+N個）的運動情況相同，即：2-27)將格波（

14、2-8）式代入（2-27）中，則有：2-28)要上式成立，必須eiqNa=1，即有2-29)2兀2兀qNa=2nlnq=l二l一(l為整數(shù))NaL上式表明，滿足周期性邊界條件的格波，其波矢q不能連續(xù)改變，只能取分立值,并在波矢空間中等間距分布，間距為2n/L。因此，每個q在波矢空間中平均占有的長度為實際晶體長度的倒數(shù)的2n倍，這是由周期性邊界條件得到的重要結論，請記住。由于晶體中原子排列的周期性，導致獨立格波的波矢量被限制在第一布里淵區(qū)，即aa將（2-29）式代入上式，則得到l的取值范圍:2-30)即l只能有N個取值，因此波矢q也只能取N個值。對于一維單原子鏈，作為q的函數(shù)只有一支，共有N個q

15、，故有N個。相應于每個q和，有一個格波,故共有N個獨立的格波，格波數(shù)與晶體中原子的自由度相等。2）對于一維雙原子鏈，設想共有N個原胞，2N個原子。周期性邊界條件要求兩種原子的位移滿足:2-31)nn+Nnn+N經(jīng)過與單原子鏈類似的推導，容易得到對波矢q的要求與單原子鏈完全相同。即q也只能取由（2-29）式所限定的分立值，l的變化范圍與（2-30）式相同，q也只能取N個值。但在雙原子鏈中，原胞數(shù)與原子數(shù)不再相等，原子數(shù)為2N個。在這種情況下，作為q的函數(shù)有兩支，相應于每個q，有兩個。共有N個q，故有2N個。相應于每個q和，有一個格波，共有2N個獨立的格波，格波數(shù)也與晶體中原子的自由度相等。基于對

16、以上兩種情況的分析，可得到如下結論:1）晶體中格波的支數(shù)=每個原胞中原子的自由度；2）每支格波包含的格波數(shù)=晶體中的原胞數(shù)；3）總的格波數(shù)=晶體中原子的總自由度。以上結論，對于二維和三維晶體也完全適用。一般而言，若晶體由N個原胞組成，每個原胞中包含n個原子，每個原子有f個自由度，則有：1）晶體中格波的支數(shù)=fn；2）每支格波包含的格波數(shù)=“；3）總的格波數(shù)=fnN；4）在fn支格波中有f支聲學波，剩下的f（n-1）支為光學波；5）在f支聲學波中，有一支縱波，f-1支橫波；6）在f（n-1）支光學波中，有（n-1）支縱波，（f-1）（n-1）支橫波。7）聲學波的頻率較低，當q趨于零時，也趨于零；

17、光學波的頻率較高，當q趨于零時，趨于常數(shù)。*縱波：原子振動方向與波的傳播方向平行的格波；橫波：原子振動方向與波的傳播方向垂直的格波；2-5聲子晶體中的原子振動形成格波。在三維晶體中，原子的振動可分解為3nN個獨立的簡諧波。根據(jù)量子力學理論，頻率為的簡諧振動，其能量E是量子化的，只能取一些不連續(xù)值：1E二（n+）加n=0，1，2，3.（2-32）對于頻率為的格波，它的每一份能量方被稱為一個聲子。實際上聲子就是晶格振動能量變化的最小單元。有了聲子概念后，就可以把光子、電子被晶格振動散射問題理解為與聲子碰撞問題，從而使問題簡化。2-6晶體中的缺陷和雜質(zhì)實際晶體中總是存在著缺陷與雜質(zhì)，使晶體內(nèi)部結構的

18、完整性遭到不同程度的破壞。晶體中主要缺陷有以下幾種：1）點缺陷：空位、間隙原子和雜質(zhì)；2）線缺陷：位錯；3）面缺陷：層錯。這些缺陷的存在，會極大地影響晶體的物理性質(zhì)，下面分別予以簡單介紹。一空位與間隙原子?？瘴慌c間隙原子是通過晶格熱振動等方式產(chǎn)生的。如圖2-6所示，由于熱振動，晶格原子離開正常位置進入晶格間隙，形成空格點（空位）和間隙原子。這種方式產(chǎn)生的空位和間隙原子總是成對出現(xiàn)的，稱弗蘭克爾缺陷；空位和間隙原子也可通過其他途徑單獨產(chǎn)生。如：表面原子向體內(nèi)擴散形成的間隙原子和表面附近原子跳到表面上形成的空位均屬這種情況，這種缺陷也稱肖特基缺陷，見圖2-7。O;空位間隙原子!圖2-6成對出現(xiàn)的弗蘭圖2-7與