利用多期均值方法提高新陳代謝GM(1,1)模型的預(yù)測精度

1、利用多期均值方法提高新陳代謝GM（1,1）模型的預(yù)測精度摘要:在新陳代謝GM（ 1,1）預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)選取建模數(shù)據(jù)維度和增加預(yù)測數(shù)據(jù)長度，使得每期的預(yù)測 值都有多個新陳代謝GM（ 1，1）的預(yù)測值，最后取多期預(yù)測值的平均值作為最終的預(yù)測值.數(shù)據(jù)實(shí)驗證明了該方法不僅可以 進(jìn)一步提高預(yù)測精度，而且能有效消除數(shù)據(jù)波動，預(yù)測數(shù)據(jù)更具有穩(wěn)定性，優(yōu)勢明顯.關(guān)鍵詞：新陳代謝GM（ 1，1）模型；預(yù)測；精度0引言灰色GM（ 1,1）模型是灰色系統(tǒng)理論中最基本的模型,它通過對原始數(shù)據(jù)作一次累加生成，弱化序列 中的隨機(jī)因素，使序列中蘊(yùn)含的確定性信息進(jìn)一步增強(qiáng)，從而較為精確地獲得序列中的趨勢項.但是 由

2、于該模型沒有考慮剩余噪聲，所以隨著時間的推移,其中長期預(yù)測的精度降低.為改善和提高灰色GM（ 1，1）模型的預(yù)測精度，研究者們從背景值修正、初始值選取、原始數(shù)據(jù)模式、 累加生成方式等方面提出了優(yōu)化和改進(jìn)方法，也有研究者提出了新陳代謝GM（ 1，1）模型13-14，其基 本思想是用一定維數(shù)的數(shù)據(jù)建立GM（ 1，1）模型預(yù)測未來一期值后，去掉最前期的數(shù)據(jù)，加入最新期的實(shí) 測數(shù)據(jù)，保持等維繼續(xù)逐步更新遞補(bǔ)預(yù)測，其特點(diǎn)是隨著系統(tǒng)的發(fā)展，新的信息不斷地補(bǔ)充,及時反應(yīng)系統(tǒng) 的最新特征，避免出現(xiàn)隨著信息量的不斷增加建模運(yùn)算量不斷加大的情況，該模型可以較大程度上提高預(yù) 測精度.本文在GM（ 1，1）模型的基礎(chǔ)

3、上，利用灰色模型的短期預(yù)測精度較高的特點(diǎn),針對新陳代謝GM（ 1，1） 模型的動態(tài)預(yù)測,選取新陳代謝GM（ 1,1）模型的多期預(yù)測值的平均值作為最終預(yù)測值，數(shù)據(jù)實(shí)驗證明了 該方法可以進(jìn)一步提高預(yù)測精度,且預(yù)測數(shù)據(jù)更具有穩(wěn)定性.1新陳代謝GM（ 1，1）模型1.1 GM（ 1,1）模型根據(jù)灰色系統(tǒng)理論,GM（ 1,1）模型通過對原始數(shù)據(jù)作一次累加得到生成序列，然后對生成序列建立 一階微分方程，解算出方程中的灰參數(shù),最后通過累減還原數(shù)據(jù)得到預(yù)測值.具體過程如下：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為= （H 0)( 1),H( 0)( 2)，,H( 0)( *) ，令H( 1) ( /)=$ H( 0)( J) ,H(

4、1)( 1) = H( 0)( 1),1(1)一次累加得到生成數(shù)據(jù)序列為H( 1)=R( 1)( 1) ,H( 1)( 2)，,H( 1)( *),均值序列為K( 1)( J) =； R( 1)( J) +h( 1)( J-1) ,( 2)對生成序列建立白化形式的微分方程為(3)( J) +az &)( J) (3)r -k( &)( 2)-k( &)( 3)-k( &)( *Y = R()( 2) ,h(0)( 3)，,h(0)( n) G.用最小二乘法解算微分方程的系數(shù)a和bb = (BGb = (BGB) -1( BtY).將a、b帶入GM( 1,1)模型的白化微分方程dx( 1)d/P

5、ax1) = b.令x( 1)( 0) = x( 0)( 1)，上述方程的解為如下時間方程式x( 1)( /+1) = R( 0)( 1)e-a/ +一aa(4)(5)(6)作累減生成，還原GM( 1,1)模型為x( 0)(/+1) = x( 1)( /+1) -h( 1)( /) , (/ =1,!,n-1) ,( 7)上式即為GM( 1,1)的預(yù)測模型.1.2新陳代謝GM( 1,1)模型GM( 1,1)模型是利用某原始數(shù)據(jù)序列來建立預(yù)測模型，但是隨著時間的推移,預(yù)測數(shù)據(jù)序列受各種 復(fù)雜因素的影響會發(fā)生變化，模型的中長期預(yù)測精度會隨著時間的推移越來越低.因此，需要不斷地剔除 陳舊的數(shù)據(jù),補(bǔ)充

6、最新的狀態(tài)數(shù)據(jù)，在保持?jǐn)?shù)據(jù)序列的建模維度和現(xiàn)勢性的情形下，再進(jìn)行GM( 1,1)建模 和預(yù)測，從而提高模型的預(yù)測精度.基于這種思想，新陳代謝GM( 1,1)模型的建模方法是：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為x( ?= x( 0)( 1) ,x( 0)( 2)，x( 0)( /),對原始序列應(yīng)用GM( 1,1)模型預(yù)測得到/+1時 刻的預(yù)測值H(0)(/+1)，然后去掉原始數(shù)據(jù)序列中最陳舊觀測值x(0)( 1)，加入最新的觀測值x(0)( / +1)，構(gòu) 成新的等維動態(tài)序列x(0+i)= x( 0)( 2)，x( 0)( /) ,x( 0)( /+1) ),以此新數(shù)據(jù)序列重新建立GM( 1,1)模型, 預(yù)測/+

7、2時刻的H(0)( /+2).這樣每當(dāng)增加新一期的實(shí)測數(shù)據(jù)，就剔除最早的一期數(shù)據(jù)，保持?jǐn)?shù)列的維數(shù)不 變,重新建立新的GM( 1,1)模型并預(yù)測下一期數(shù)據(jù)，以此類推，替補(bǔ)更新直至預(yù)測完所有期次的數(shù)據(jù).可見，新陳代謝GM( 1,1)模型是一種動態(tài)模型，其可以有效利用最新的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和預(yù)測，能 夠動態(tài)地反映數(shù)據(jù)序列發(fā)展的趨勢性，從而提高預(yù)測的精度和效果.2多期均值新陳代謝GM( 1,1)模型新陳代謝GM( 1,1)模型通過不斷地剔除最陳舊數(shù)據(jù)和吸納最新數(shù)據(jù)，達(dá)到數(shù)據(jù)不斷更新和循環(huán)預(yù)測 的目的.但是，新陳代謝GM( 1,1)模型的預(yù)測精度總會受建模數(shù)據(jù)序列的維度以及數(shù)據(jù)變化趨勢性的影 響，因此，

8、充分利用灰色模型短期預(yù)測精度較高的特點(diǎn)，合理選擇數(shù)據(jù)預(yù)測的長度，采用新陳代謝GM( 1,1)模 型的多期預(yù)測值再求取平均值的方法，可以進(jìn)一步消除不同建模數(shù)據(jù)序列的干擾成分和不穩(wěn)定因素，提高 模型的預(yù)測精度.基于上述思想，多期均值新陳代謝GM( 1,1)模型的建模方法是：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為x(0) = x(0)( 1) ,x(0)( 2)，,x(0)( /) ,建立GM( 1,1)模型預(yù)測得到J期的預(yù)測值, 即/+1,/+2，,/+J時刻的預(yù)測值H(0)(/+1) ,H(0)(/+2)，,H(0)( /+J)，然后去掉原始數(shù)據(jù)序列中最陳舊觀 測值x( 0)( 1)，加入最新的觀測值x( 0)(/+

9、1)，得到新的等維數(shù)據(jù)序列x( *i)= x( 0)( 2)，x( 0)( /) ,x( 0)( /+1) , 建立新的GM( 1,1)模型,預(yù)測下一次的/ + 2，/ +J,/+ J +1時刻的預(yù)測值x( 0) (/ + 2) , x( 0) (/ + 3), H(0)( / +J+1).以此類推，替補(bǔ)更新直至預(yù)測完所有期次的數(shù)據(jù).這樣，每個觀測值都有多期的新陳代謝GM( 1,1)預(yù)測值，最終的預(yù)測值取多期預(yù)測值的平均值.3算例與分析本文以某高速鐵路某橋墩監(jiān)測點(diǎn)FD1的20期沉降觀測數(shù)據(jù)為例，分別建立不同的預(yù)測模型來進(jìn)行 分析和驗證.3.1多期取均值的具體策略針對本工程的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)序列，本

10、文通過數(shù)據(jù)驗證，擬選取4期數(shù)據(jù)為建模長度，預(yù)測期為4期.即 利用原始數(shù)據(jù)序列中數(shù)據(jù)拱0)(1)拱0)(2)拱0)( 3)拱0)( 4)建模預(yù)測H(0)(5)H(0)(6)H(0)( 7)H(0)( 1)-zr J rn mby J后 H(*)，H (匕)，H(Q)，H(，) 1 天只伙1J H(j)，h(u)，h (/)，h(。),利用H 0)( 2)，H 0)( 3)，H 0)( 4)，H 0)( 5)建模預(yù)測 H 0)( 6)，H 0)( 7)，H 0)( 8)京 0)( 9)；利用H 0)( 3)， H( 0) ( 4) (0)( 5) (0) ( 6) 建模預(yù)測 H( 0) ( 7)

11、H( 0) ( 8) H( 0) ( 9) H( 0) ( 10);利用 h( 0) ( 4) h( 0) ( 5) x( 0) ( 6)H (，)，H (J)，H (U)H(/)，H (O)，H ()，H () ; H ( )，H ( )，H ()，H(0)( 7) 建模預(yù)測H(0)( 8)，H(0)( 9) ,H(0)( 10)，H(0)( 11).上述預(yù)測中H(0)( 8)有4期不同預(yù)測值，最終的預(yù)測 值取4期的平均值.可見 僅有 7 期的數(shù)據(jù)序列 H( 0)(1)H( 0)(2) H 0)(3)H 0)( 4)H0) ( 5)H 0)( 6)H0) ( 7) 應(yīng)用 4 期建模預(yù)測4期的

12、新陳代謝GM( 1，1)方法可以得到第八期的4個預(yù)測值，取其平均值作為最終的預(yù)測值.再不斷地剔除h( 0) ( 1)增加實(shí)測值h( 0)( 8)，應(yīng)用上述多期均值新陳代謝GM( 1，1)建模預(yù)測后取4期 均值的方法得到h( 0)( 9)，如此更新、替補(bǔ)直到預(yù)測到最后一期.3.2精度指標(biāo)采用絕對誤差%AE、平均絕對誤差mae、標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)rmse作為評定模型擬合或預(yù)報精度的評定指標(biāo)，計算式分別為絕對誤差%AE 1，( 8)平均絕對誤差A(yù) MAE -L $ (HH),*( 9)標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)rmse -$)2,( 10)式中,為觀測值,H為預(yù)報值.3.3計算結(jié)果及分析3-3.1以4期建模預(yù)測4期建立新陳代謝

13、GM( 1，1)預(yù)測模型，圖1為所有4期預(yù)測值的殘差分布圖.從圖1中可見，殘差總體分布基本滿足零均值的白噪聲，說明4期建模預(yù)測4期的新陳代謝GM( 1，1) 模型總體預(yù)測精度較高，適合于短期預(yù)測.3-3.2以數(shù)據(jù)序列的前7期為建模數(shù)據(jù)，分別用以下三種方法建模來比較不同方法的預(yù)測效果.方法一:前7期建模，預(yù)測820期.方法二:每7期為建模數(shù)據(jù)，建立新陳代謝GM( 1，1)模型預(yù)測第8期,直到第20期.方法三:每4期為建模數(shù)據(jù)，建立新陳代謝GM( 1，1)模型,預(yù)測后4期，取4期預(yù)測值的均值作為預(yù) 測值，預(yù)測820期.表1、圖2分別為三種不同方法的預(yù)測值和殘差值、殘差圖.表1三種模型預(yù)測值和殘差期

14、次原始數(shù)據(jù)（m）-方法一方法二方法三預(yù)測值/m殘差/mm預(yù)測值/m殘差/mm預(yù)測值/m殘差/mm85.174105.1740170.0835.1740170.0835.1740870.01395.174105.1739620.1385.1740040.0965.1740640.036105.174045.1739070.1335.1739810.0595.1739990.041115.174035.1738510.1795.1739540.0765.1739650.065125.174015.1737960.2145.1739600.0505.1739870.023135.174095.173

15、7410.3495.1739660.1245.1739970.093145.173995.1736860.3045.174019-0.0295.1739830.007155.173945.1736310.3095.173989-0.0495.173998-0.058165.174005.1735760.4245.1739470.0535.1739930.007175.174045.1735210.5195.1739510.0895.1739880.052185.173975.1734650.5055.173990-0.0205.1739430.027195.174025.1734100.610

16、5.1739550.0655.1739330.087205.173985.1733550.6255.174029-0.0495.174032-0.052標(biāo)準(zhǔn)差0.1780.0560.043圖2三種方法殘差分布通過上述圖表的比較分析,可見：傳統(tǒng)的GM（ 1，1）預(yù)測模型通過前7期建模，預(yù)測后820期的殘差隨著預(yù)測時間的推移，預(yù)測誤差 越來越大，殘差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.178 mm.新陳代謝GM（ 1，1）預(yù)測殘差的絕對誤差最大值為0.124 mm,平均絕對誤差僅為0.065 mm;殘差的 標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.056 mm,因而相對于傳統(tǒng)的GM（ 1，1）預(yù)測模型大幅度地提高了預(yù)測精度.多期均值新陳代謝GM（ 1，1）預(yù)測殘差的絕對誤差最大值為0.093 mm;其平均絕對誤差為0.043 mm; 殘差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.044 mm.各項精度指標(biāo)相對于新陳代謝GM（ 1，1）模型的預(yù)測精度提高了 20%以上，較 大幅度地提高了預(yù)測精度.3.3.3圖3為原始數(shù)據(jù)、新陳代謝GM（ 1，1）模型預(yù)測值、多期均值新陳代謝GM（ 1，1）預(yù)測值序列.圖3三種方法數(shù)據(jù)序列從圖3可見，多期均值新陳代謝GM（ 1，1）預(yù)測值的總體趨勢基本符合實(shí)測的沉降趨勢.在實(shí)際觀測 數(shù)據(jù)發(fā)生波動呈現(xiàn)非平穩(wěn)時，新陳代謝GM（ 1,1）預(yù)測值也發(fā)生較大幅度變動，從而使預(yù)測精度降低.多期 均值新陳代謝GM（ 1，1）在