中心極限定理的應(yīng)用

1、SliEianxl trniversity of Technology畢業(yè)論文題 目中心極限定理的應(yīng)用學生姓名張世軍學號所在院（系數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)班級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)（統(tǒng)計類）11級2班指導教師程小靜2015年 5 月25日中心極限定理的應(yīng)用張世軍(陜西理工學院數(shù)學與計算機科學學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2011級數(shù)應(yīng)2班，陜西漢中 723000)指導教師：程小靜摘要是概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類重要定理。本文首先從中心極限定理的內(nèi)容出發(fā)，給出幾種常見的中心極限定理并對其進行了證明；其次討論了中心極限定理在供應(yīng) 電力、器件價格、商場管理、煙卷制造業(yè)、社會生活、

2、軍事問題等這幾個方面的實際應(yīng)用；最后總結(jié)分析了中心極 限定理在應(yīng)用上的優(yōu)缺點。關(guān)鍵詞 隨機變量；中心極限定理；正態(tài)分布；概率論；近似計算Central Limit Theorem of ApplicationZhang Shijun(Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics andcomputer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi)Tutor: Cheng Xiaojing

3、Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Sec

4、ond central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the a

5、pplication.Keywords: Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory; Approximate calculation1 引言概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。概率論中最重要的一類 定理，有廣泛的實際應(yīng)用背景。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨立的隨機因素的影響 如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是 從數(shù)學上證明了這一現(xiàn)象。最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，事件A出現(xiàn)的次

6、數(shù)漸近 于正態(tài)分布的問題。1716年前后，棣莫弗對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現(xiàn)的概率為12的 情況進行了討論，隨后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進行了推廣和改進。自P.萊維在1919 1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極 限定理和局部極限定理等。極限定理是概率論的重要內(nèi)容，也是數(shù)理統(tǒng)計學的基石之一，其理論成 果也比較完美。長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展。 同時新的極限理論問題也在實際中不斷產(chǎn)生。2 常見的中心極限定理中心極限定理的提法凡是在一定條件下斷定隨機變量之和的極限分布服從正態(tài)

7、分布，在概率論中都稱之為中心極限 定理，具體一點，中心極限定理回答的是隨機變量之和的極限分布在什么條件下是正態(tài)分布。直觀上，如果一隨機變量決定于大量（乃至多個）隨機因素的總和，其中，每個隨機因素的單 獨作用微不足道，而且各因素的作用相對均勻，那么它就服從正態(tài)分布，如：在許多情況下，一隨 機變量 X 可以表示為大量獨立隨機變量之和，X+ + ,12n這里，每個E上表示一種隨機因素的效應(yīng)，假如上式包含了決定X充分多的隨機因素的效應(yīng)（即ni充分大），則才E的分布就近似X的分布，中心極限定理就要說明，在什么條件下大量獨立隨機變 ii=1量之和近似地服從正態(tài)分布，即在什么條件下，當nT+a時，獨立隨機變

8、量的和是服從正態(tài)分布 的。常見的中心極限定理 中心極限定理自產(chǎn)生其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富了，但其中最常見的定理如下2.21 棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)卩是n重伯努利試驗中的事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（o P 則對任意的0，有l(wèi)im PnT+a證明 令1,在第i試驗中A出現(xiàn) 1 i n8 8 0，使有E1 a I2+5 T 0, n T +8，B 2+6kkn則對任意的 x 有l(wèi)im P丄( a )tBk n2+5p (x)d (x)kT5 T5 B2+5n k=1 _g2+5 p (x)d (x)kakk=丄 BTLe Eakkn k =1 同理，可驗證離散型的情形，可證得此定理。

9、這個定理是李雅普諾夫在 1900 年提出的。它表明， 在定理條件下， 隨機變量k當n很大時，近似地服從正態(tài)分布NfLa ,B2)，也就是說，無論各個隨k、k n、k=1機變E (k = 12,n)服從什么分布，只要滿足定理條件，那么它們的和 a，當k很大時，就kkk=1近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因。在很多問題中，所考慮的隨機變量可以表示成很多個獨立的隨機變量之和。例如在任一指定時 刻，一個城市的耗電量是大量用戶的耗電量的總和;一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、 可加的微小誤差所合成的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。2.23林德貝格-勒維

10、中心極限定理若g，g是一列獨立同分布的隨機變量,若g，g是一列獨立同分布的隨機變量,1 2且Eg = a,Dg =o2,C2 0)k = 1,2,.則有kk疋t2 e _ 2 dt證明設(shè)E ak的特征函數(shù)為f tLn丿n又因為E(g 一na)= 0， D(g 一na)=6,kk所以申（0） = 0,申（0） = Q2于是特征函數(shù)9（t）有展開式=1 -G 2t 2 +O (t 2 )2年(t)=q(0 )+0(=1 -G 2t 2 +O (t 2 )22從而對任意固定的 t ,有=11 =11 仝 + oI2nt2T e 2, n T而e ；是N（0,1）分布的特征函數(shù)，由定理：分布函數(shù)列（F

11、 （x）弱收斂于分布函數(shù)F（x）的n充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列b （x）收斂于F（x）的特征函數(shù)Q（t），可知該定理成立，得以求證.n這個中心極限定理是由林德貝格和勒維分別獨立的在1920 年獲得的，定理告訴我們，對于獨立 同分布的隨機變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可 以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。定理的結(jié)論告訴我們:只有當n充分大時，Y才近似服從標準正態(tài)分布N（0,1）,而當n較小時,n此種近似不能保證。也就是說，在n充分大時，可用N（0,1）近似計算與Y有關(guān)事件的概率，而n較n小時，此種計算的近似程度是

12、得不到保障的。當YN （0,1） 時 ， 則 有nkk=kk=11求隨機變量之和S落在某區(qū)間的概率;n2已知隨機變量之和S取值的概率，求隨機變量的個數(shù)n.n2.3中心極限定理的異同處與優(yōu)越性上述三個中心極限定理都是研究可列個相互獨立的隨機變量和的分布函數(shù)，在一定條件下，當 n 充分大時，轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布，它們的區(qū)別僅僅是各自的條件有所差異。除了中心極限定理外，切 比雪夫大數(shù)定律也可以用于近似計算。設(shè)E（X ）=p,D（X ）=02 0，則有切比雪夫大樹定理可知，任意給定的0,有ii1 (X p )nk=1ilim Pn T+81而由林德貝格-勒維中心極限定理可知，有p 遼（X 卩）n k=1li

13、mp 遼（X 卩）n k=1limn T+xlimn T+ 0.999, 0.999,查表得知=3丄N = 14148所以，至少應(yīng)供應(yīng)這個車間141 千瓦電力才能以 99.9%的概率保證該車間不會應(yīng)供電不足產(chǎn)生 影響。3.2中心極限定理在器件價格上的應(yīng)用例 某種器件使用壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布，其平均使用壽命為20 小時，具體使用時 是當一器件損壞后立即更換另一個新的器件，如此繼續(xù)下去，已知每個器件進價為a。試求在年計 劃中應(yīng)為此器件做多少預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用（假定一年有2000 個工作小時）？解 設(shè)第k個器件使用壽命為X，由于X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，且kkE（X ）=-，

14、九= 0.05，那么,D（X ）= = 400。k 九k九2假定一年至少準備n件才能有95%的把握夠用k = 1,2,3,n，X , X，,X，相互對立，記k 1 k 2knY =2 Xnkk=1由李雅普諾夫中心極限定理知P（Y 2000）=0.95, n0.05 = P 0.05 = P 2000 = PnY 20n n V、20yfn(2000 20n .20廟丿所以廠 2000 - 20n、所以廠 2000 - 20n、 0.997P由中心極限定理得 0.997ki1查標準正態(tài)分布得m 查標準正態(tài)分布得m 6004*厲u 2.75故m 643因此，商店至少應(yīng)預(yù)備643件這種產(chǎn)品才能以 9

15、9.7%的概率保證不脫銷。（2）抽樣檢驗問題例 抽樣檢驗產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品個數(shù)多于10 個，則拒絕接受這產(chǎn)品，設(shè)某種產(chǎn)品的次 品率為 10%，問至少應(yīng)抽取多少只檢驗，才能保證拒絕該產(chǎn)品的概率達到90%？解 設(shè)至少應(yīng)抽取n件產(chǎn)品，又設(shè)g Z1,第i次抽得次品（i 1231000）i 0,第i次抽得正品ii=1由于隨機變量的數(shù)學期望和方差為Eg = 10, Dg = p (1-p ) = 0.1x 0.9 = 0.09。ii所以其數(shù)學期望與方差為E(g)= ng =0.1n;D(g)=0.9ni由中心極限定理得(100 n )P 10 g nu (100 n )1。所以，由于1。所以，由于n

16、充分大時P P 10 g 0.9，即n -冒 ! 0.9l 3麻丿n 100查表得知n-100 1.28。解得 n 147。查表得知3； n所以至少應(yīng)檢驗147 件產(chǎn)品才能保證該拒絕產(chǎn)品概率達到0.9 。 本例主要研究將商場中的的商品訂購訂購，抽樣檢驗，這些實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學 模型，然后再運用中心極限定理進行推斷，最終，找出這些實際問題的最佳方案，為其商業(yè)管理中 的決策提供可考的理論依據(jù)。3.4在煙卷制造行業(yè)中的應(yīng)用變量，近似服從正態(tài)分布N C，Q 2),從生產(chǎn)線上隨機取出n支煙支它們的質(zhì)量特性吸阻用X1，變量，近似服從正態(tài)分布N C，Q 2),樣本均值X = X1+ X2 +

17、Xn近似服從正態(tài)分布n例 煙支克重、圓周、吸阻是影響卷煙內(nèi)在品質(zhì)的一項重要物流指標，也是行業(yè)考核的一項必 不可少的指標?？酥嘏c卷煙吸阻、硬度。焦油量和感官質(zhì)量以及煙絲消耗量有著密切的關(guān)系；吸阻 與抽吸的難易程度以及焦油量、煙氣煙堿量和煙氣一氧化碳量等安全衛(wèi)生指標有著密切關(guān)系。因此，制造企業(yè)從自身角度建工符合克重、圓周、吸阻標準且決定的煙支的重要因素。批量生產(chǎn)中，在設(shè)備、材料、操克重、圓周、吸阻在生產(chǎn)中都近似服從正態(tài)分布N (卩Q2),批量生產(chǎn)中，在設(shè)備、材料、操作水平等既定的情況下，正態(tài)分布方差b2也基本恒定，因此，要使正態(tài)分布均值保持在一定的區(qū)間，才能使大多數(shù)數(shù)值分布在公差內(nèi)，也即最大限度地

18、符合標準，而正態(tài)分布均值卩又近似服從 N (比。2)正態(tài)分布，從而為問題的解決提供了理論依據(jù)。表一為“真龍” (一般 n 工 30 )。1牌煙卷的物理指標測試數(shù)據(jù)。通過對表一簡單運算，進行實際應(yīng)用方面的介紹編號單支克重/g吸阻/KPa圓周/mm10.9011.18724.1820.8691.18824.1230.8761.16224.2340.9331.23124.2150.8991.16924.2760.8791.12524.2170.8911.17424.2180.9071.19724.2290.8811.18324.19100.9281.24224.22110.8761.08724.27

19、120.9091.1724.19130.8941.11324.21140.9121.21224.21150.9031.12224.18160.911.21724.21170.8841.09124.18180.8951.17324.23190.8191.05924.14200.8671.09824.16210.8671.11824.11220.8881.10224.17230.8521.13624.18240.8771.16324.29250.9271.15924.24260.9081.19124.16270.8891.09424.16280.8661.16124.21290.8661.1382

20、4.22300.8661.13724.18均值0.8881.18824.2標準偏差0.0251.18824.2以吸阻為例，“真龍”牌煙煙的單支吸阻標準為(1.210土0.150)kPa，吸阻均值標準為(1.210土0.070)kPa，從表一可得“真龍”的吸阻近似服從正態(tài)分布N(1.153,0.0472),而吸阻均 阻均值最大限度滿足（1.210土0.070）kPa的標準，并且操作工在實際操作中也一直是以吸阻均值為值近似服從 N1.153,0.0472 值近似服從 N1.153,0.0472 )30。操作工欲使單支吸阻滿足(1.210土 0.150)kPa扥標準，首先要使吸控制對象的。因此，吸阻

21、均值正態(tài)分布圖N 1.153,向左（想較小值）或向右（向較大值） I 30丿平移均不可超過吸阻均值公差線（0.070kPa）。假設(shè)在3b的情況下，正態(tài)分布圖碰到公差線，這 時便可求出吸阻均值的值，若正態(tài)分布圖向左平移可求得吸阻均值最小值；反之，則可求得吸阻均值最大值。在這倆種情況下，吸阻均值合格率99.73% + x二973%），這樣不僅能較好地滿足吸阻均值（1.2100.070）kPa的標準，也能更好地滿足吸阻（1.2100.150）kPa的標準。吸阻均值最小值T T 二0 2Jn巴* -1 + 3（37的情況下）吸阻均值最大值T7巳-2 - 3真（37的情況下）推廣得吸阻均值最小值7（Kg

22、的情況下，K 一般取1,26）vn吸阻均值最大值=卩-彳-K2 （K的情況下，K一般取1,26） 02n7這是倆個重要的導出公式，是吸阻標準中心值，T是吸阻均值公差，K是7的倍數(shù)，貢是吸阻 均 值 標 準 偏 差 ， 即 是 吸 阻 均 值 方 差 的 平 方 差 根 。 取7x：n=0.0086, K 7x：n=0.0086, K = 3帶入公式分別求得，卩二1.166kPa,卩二1.254kPa,即吸阻均值在（1.166,1.254）kPa之間控制，比在LU（1.2100.070）kPa即（1.1401.280）kPa范圍縮小了，能更有效地更科學地對吸阻指標進行控制。綜上所述，在煙卷加工企

23、業(yè)，利用樣本均值分布即中心極限定理，可對煙支克重、圓周及吸阻 進行更有效、科學的質(zhì)量控制，而且控制范圍更窄、控制精度更準。3.5中心極限定理在社會生活中的應(yīng)用例 由于人口的持續(xù)不斷增長以及男女比例的嚴重失調(diào)，政府部門已經(jīng)慢慢開始采取各種措施 進行預(yù)防，在這之前，對新生幼嬰兒的性別的進行判斷和統(tǒng)計是很有必要的，而中心極限定理在這 方面能體現(xiàn)出它的獨特作用。設(shè)男孩出生率為0.515，求在 10000個新生嬰兒中女孩數(shù)目不少于男孩的概率為多少？解 設(shè)x為10000個嬰兒中男孩的數(shù)目，則X （1000,0.515）,要求女孩數(shù)目不少于男孩數(shù)目的概率.即求P x 5000，由棣莫佛-拉普拉斯定理有P x

24、 5000 “ f 50001000X 0515 （一3）= 1 -（3）= 0.00135U1000 0.515 X 0.485 丿3.6中心極限定理在軍事問題中的應(yīng)用例 炮彈、火箭發(fā)射過程中會受到各種各樣不可預(yù)料因素的影響，這些因素非常之多，然而這 又幾乎無法單獨預(yù)估，但是如果不考慮其因素放任不管，一絲一毫的差錯都將肯能會造成災(zāi)難性的 后果，而為了有效地控制這些因素的影響，就需要使用到中心極限定理。如下，用中心極限定理說 明在正常設(shè)計條件下，炮彈的射程服從或近似服從正態(tài)分布。解 設(shè)a為理論射程，g為實際射程，則H =a為實際射程對理論射程的偏差，顯然耳= + a，故只需證hnCq2）由于在

25、實際射程中，有很多的偏差，若設(shè)g射擊時炮身震動引 起的偏差， g ：炮彈外形差異引起的偏差， g ：炮彈內(nèi)火藥的成分引起的偏差， g ：射擊時氣流234引起的偏差，g :，顯然，耳=E gnii=1由于影響射程的實際因素是大量的，這里的n 一定很大甚至基于無窮，且炮身的震動、炮彈的外形、火藥的成分、氣流的變化等等這些因素之間沒什么關(guān)系，故有它們引起的g ,g，,g可看12n做是相互獨立的。另外，由于正常的射擊條件也就是對射程有顯著影響的因素已被控制，所以這里 的g ,g，,g所起的作用可看做同樣是微小的.由中心極限定理可知耳nCq2），由于n可正 12n可負且機會相等，故卩=o，耳n（0q2）則g = m耳n（0q2）。結(jié)論文至于此，我們可以看出，中心極限定理不論是在理論數(shù)學領(lǐng)域還是在實際應(yīng)用中都能發(fā)揮出 其巨大的作用，當讓這些例子主要是針對三種常見形式的中心極限定理的應(yīng)用，在實際問題中，如 果所研究的問題為大樣本問題，我們同樣可以常用中心極限定理對其進行統(tǒng)計分析，對總體的某些 參數(shù)進行推斷軌跡，由此可見，中心極限定理在現(xiàn)實生活中的應(yīng)