2022年北京市達標名校高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1復數(shù)的虛部是（）A1BiCiD12已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達式是（ ）ABCD3為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩個同學各自獨立做了15次和20次試驗，并

2、且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說法正確的是()A直線l1和直線l2有交點(s，t)B直線l1和直線l2相交，但交點未必是點(s，t)C直線l1和直線l2必定重合D直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行4已知函數(shù)，則在處的切線方程為（ ）ABCD5已知，記為，中不同數(shù)字的個數(shù)，如：，則所有的的排列所得的的平均值為（ ）AB3CD46定義運算，則函數(shù)的圖象是（ ）ABCD7函數(shù)y=sin2x的圖象可能是ABCD8已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿足,則=A-2iB

3、2iC-2D29若函數(shù)沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是( )ABCD10黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設為，每扇形的半徑設為滿足，若將的每一項按照上圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的對應正方形格子的面積之和為，則下列結(jié)論錯誤的是（

4、）ABCD11某學校有2200名學生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取44人,將2200人按1,2,2200隨機編號,則抽取的44人中,編號落在101,500的人數(shù)為（ ）A7B8C9D1012函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13隨機變量X服從于正態(tài)分布N（2，2）若P（X0）a，則P（2X4）_14的平方根是_.15已知一組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_.16袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中2

5、只白球，2只紅球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月，兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人（）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月，兩種支付方式都使用的概率；（）從樣本僅使用和僅使用的學生中各隨機抽取1人，以

6、表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；18（12分）在某中學高中某學科競賽中，該中學100名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示（1）求這100名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）記70分以上為優(yōu)秀，70分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關？合格優(yōu)秀合計男生18女生25合計100附：0.0500.0100.0053.8416.6357.87919（12分）已知函數(shù).（1）當時，求證：在上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個正零點、，求的取值范圍，并證明：.20（12分）已知，函數(shù).（1）

7、討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若在內(nèi)有解，求的取值范圍.21（12分）已知實數(shù)使得函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；實數(shù)使得函數(shù)在上存在兩個零點，且分別求出條件中的實數(shù)的取值范圍；甲同學認為“是的充分條件”，乙同學認為“是的必要條件”，請判斷兩位同學的說法是否正確，并說明理由.22（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（3）若函數(shù)的最小值不小于的最小值，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】解：復數(shù)，復數(shù)的虛部是1，故選：D【點睛】本題

8、考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，屬于基礎題2、D【解析】根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點的坐標求得，由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點的坐標代入函數(shù)，得，即，因為，所以，所以函數(shù)的表達式為故選D.【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎題.3、A【解析】根據(jù)回歸直線過樣本數(shù)據(jù)中心點，并結(jié)合回歸直線的斜率來進行判斷。【詳解】由于回歸直線必過樣本的數(shù)據(jù)中心點，則回歸直線和回歸直線都過點，做了兩次試驗，兩條回歸直線的斜率沒有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項正確，B、

9、C、D選項錯誤，故選：A.【點睛】本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過樣本數(shù)據(jù)的中心點”這個結(jié)論，同時也要抓住回歸直線的斜率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎題。4、C【解析】分析：求導得到在處的切線斜率，利用點斜式可得在處的切線方程.詳解：已知函數(shù)，則 則 即在處的切線斜率為2，又 則在處的切線方程為 即.故選C.點睛：本題考查函數(shù)在一點處的切線方程的求法，屬基礎題.5、A【解析】由題意得所有的的排列數(shù)為，再分別討論時的可能情況則均值可求【詳解】由題意可知，所有的的排列數(shù)為，當時，有3種情形，即，；當時，有種；當時，有種，那么所有27個的排列所得的的平均值為.故選：A【點睛】本題考查排列

10、組合知識的應用，考查分類討論思想，考查推理論證能力和應用意識，是中檔題6、A【解析】由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.7、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令， 因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復8、A【解析】由得,即,所以

11、,故選A.【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化.注意下面結(jié)論的靈活運用：(1)(1i)22i；(2)i,i.9、A【解析】由已知函數(shù)解析式可得導函數(shù)解析式，根據(jù)導函數(shù)不變號，函數(shù)不存在極值點，對討論，可得答案【詳解】， ，當時，則，在上為增函數(shù)，滿足條件；當時，則，即當 時， 恒成立，在上為增函數(shù)，滿足條件綜上，函數(shù)不存在極值點的充要條件是：故選：A【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，本題是一道基礎題10、D【解析】根據(jù)定義求數(shù)列和，

12、利用化簡求解，利用特殊值否定結(jié)論.【詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；又，故正確；因為，所以D錯誤,選D.【點睛】本題考查數(shù)列求和以及利用遞推關系化簡，考查綜合分析求解能力，屬較難題.11、B【解析】先求出每一個小組的人數(shù)，再求編號落在101,500的人數(shù).【詳解】每一個小組的人數(shù)為220044所以編號落在101,500的人數(shù)為500-10050故選：B【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.12、D【解析】先根據(jù)圖象確定A的值，進而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果【詳解】由

13、題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，故函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，故選：D【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正態(tài)分布的對稱性，求得的值.【詳解】由條件知,故.【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布在指定區(qū)間的概率，屬于基礎題.14、【解析】根據(jù)得解.【詳解】由得解.【點睛】本題考查虛數(shù)的概念，屬于基礎題.1

14、5、6【解析】這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列其中中間的兩個數(shù)為4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x6，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，填6.16、【解析】根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可【詳解】解：由題意，根據(jù)古典概型的概率計算公式得所求概率為，故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）（）見解析，1【解析】（）根據(jù)題意先計算出上個月，兩種支付方式都使用的學生人數(shù)，再結(jié)合古典概型公式計算即可；（）由題求出使用兩種支付方式金額不大于1000的人數(shù)和金額大于1000的人數(shù)所占概率，再結(jié)合相互獨立事件的概率公式計算即可【詳解】（

15、）由題意可知，兩種支付方式都使用的人數(shù)為：人，則：該學生上個月，兩種支付方式都使用的概率（）由題意可知，僅使用支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且可能的取值為0，1，1，的分布列為：011其數(shù)學期望：【點睛】本題考查概率的簡單計算，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，屬于中檔題18、 (1) (2)填表見解析，不能判斷有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關【解析】（1）由每一組數(shù)據(jù)的中點值乘以該組的頻率求和得答案；（2）計算70分以上的頻率和頻數(shù)，由此填寫列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)計算

16、觀測值，對照臨界值得出結(jié)論【詳解】（1）由頻率分布直方圖，計算平均數(shù)為；（2）由題意，70分以上的頻率為，頻數(shù)為，70分及以下為，由此填寫列聯(lián)表如下；合格優(yōu)秀合計男生183048女生272552合計4555100由表中數(shù)據(jù)，計算2.0986.635；不能判斷有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應用問題，是基礎題因為條形分布直方圖的面積表示的是概率值，中位數(shù)是位于最中間的數(shù)，故直接找概率為0.5時 橫坐標即可，平均數(shù)是每個長方條的中點乘以間距再乘以長方條的高，之后將以上計算得到的每一個數(shù)值相加得到值.19、（1）見證明；（2）實數(shù)的取值范圍是，

17、證明見解析.【解析】（1）由題意得出在區(qū)間上恒成立，由得出，構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上恒成立即可；（2）由利用參變量分離法得出，將題意轉(zhuǎn)化為當直線與函數(shù)在上有兩個交點時求的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可，然后由題意得出，取自然對數(shù)得，等式作差得，利用分析得出所證不等式等價于，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1），.由題意知，不等式在區(qū)間上恒成立，由于，當時，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得.當時，；當時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，所以，.所以，不等式在區(qū)間上恒成立，因此，當時，函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）令，可得令，則.當時，當時，.當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.，當時

18、，當時.時，函數(shù)有兩個正零點，因此，實數(shù)的取值范圍是.由上知時，由題意得，上述等式兩邊取自然對數(shù)得，兩式作差得，要證，即證.由于，則，即證，即證，令，即證，其中.構(gòu)造函數(shù)，其中，即證在上恒成立.，所以，函數(shù)在區(qū)間上恒成立，所以，因此，.【點睛】本題考查利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，難點在于構(gòu)造新函數(shù)，借助新函數(shù)的單調(diào)性來證明，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的應用，屬于難題.20、（1）見解析；（2）.【解析】（1）計算函數(shù)的導函數(shù)，得到對應方程的根為，討論三種情況得到答案.（2）計算的導數(shù)，根據(jù)單調(diào)性計算函數(shù)的最小值，根據(jù)解得范圍.【詳解

19、】（1），令，解得.當時，即時，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，即時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；當時，即時，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，在上，函數(shù)單調(diào)遞減.（2）若在內(nèi)有解，則由（1）可知，當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，解得；當，即時，在時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立，.當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不成立.綜上所述：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的討論，存在性問題，將存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值是解題的關鍵，也可以用參數(shù)分離的方法求解.21、（1），（2）甲、乙兩同學的判斷均不正確，理由見解析【解析】（1）真時，先求函數(shù)的導數(shù)，令恒成立，整理得到恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；真時，只需滿足即可；（2）