高中數(shù)必修知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與練習(xí)

1、- 必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn) （ 8）交集,并集,補(bǔ)集 【 1.1.3 】集合的基本運(yùn)算 第一章 集合與函數(shù)概念 名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)解集A示意圖 B【 】集合的含義與表示 交集 x | x A, 且 （ 1）A A A （1）集合的概念 A B （ 2）A 集合中的元素具有確定性,互異性和無(wú)序性 . x B （ 3） A B A （ 2）常用數(shù)集及其記法并集A B ABB N 表示自然數(shù)集, N 或 N 表示正整數(shù)集, Z表示整數(shù)集, Q 表示有理數(shù)集, R表示實(shí)數(shù)集 . x | x A, 或 （ 1） A A A A B （ 2）A A （ 3）集合與元素間的關(guān)系 x B （ 3）A B A 2 A

2、e U A U 對(duì)象a與集合 M 的關(guān)系是 a M ,或者 a M ,兩者必居其一 . 補(bǔ)集A B 1 A e U A B （ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字表達(dá)的形式來(lái)描述集合 . eU A x | x U , 且 x A 痧A B UA . B U列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . U痧A B UA . B U描述法： x | x具有的性質(zhì) ,其中x為集合的代表元素 . U圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合. 【補(bǔ)充學(xué)問(wèn)】含確定值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 5）集合的分類(lèi)（ 1）含確定值的不等式的解法 含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 . 含有無(wú)限個(gè)元素的

3、集合叫做無(wú)限集 . 不含有任何元素的集合叫做空集 不等式 .| x | aa 0 x | a x a 【 1.1.2 】集合間的基本關(guān)系 （ 6）子集,真子集,集合相等名稱(chēng)記號(hào)意義 1AA 性質(zhì) C AB 示意圖 BA | x | aa 0 0 把 ax b x | x a 或 x a 成 | x | a , A B 子集（或A 中的任一元素都屬 2A 或 | ax b | c,| ax b | cc 0 看 成 一 個(gè) 整 體 , 化 B A 于 B 3 如A B 且 B C,就 A | x | aa 0 型不等式來(lái)求解 4 如A B 且 B A,就 AB真子集 A B A B ,且 B 中

4、至（ 1 ）A （ A為非空子集） C BA （ 2）一元二次不等式的解 0 0 法判別式 （或 BA） 2 如A B 且 B C,就 A 少有一元素不屬于 A b2 4ac 集合A B A 中的任一元素都屬 1AB AB 二次函數(shù) 于 B , B 中的任一元相等2BA y ax 2bx ca 0 素都屬于 AO 的圖象 （ 7）已知集合 A 有 nn 1 個(gè)元素,就它有 2n 個(gè)子集,它有 2n 1 個(gè)真子集,它有 2 n 1 個(gè)非空子集,它有 2 n 2 ax 2 一元二次方程 x 1,2 b x 1 b 2 4ac x1 x2 b 無(wú)實(shí)根 非空真子集 .bx c 0a 0 2a 的根（其

5、中 x2 2a 第 1 頁(yè),共 7 頁(yè)- - ax2bx c 0a 0 x | x x 1 或 x x 2 x | x b R觀看法：對(duì)于比較簡(jiǎn)潔的函數(shù),我們可以通過(guò)觀看直接得到值域或最值 0 ,配方法： 將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和, 然后依據(jù)變量的取值范疇確定函數(shù)的值域或最值 的解集 2a 判別式法：如函數(shù) y f x 可以化成一個(gè)系數(shù)含有 y的關(guān)于 x 的二次方程 a yx 2b yx c y ax2bx c 0a 0 x | x 1 x x2 x,在集合 B中都有唯獨(dú) 就在 a y 0 時(shí),由于 x, y 為實(shí)數(shù),故必需有 b2 y 4a y c y 0 ,從而確定函數(shù)

6、的值域或最值 的解集 函數(shù)及其表示 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值 【 】函數(shù)的概念 換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn),化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的 （ 1）函數(shù)的概念最值問(wèn)題設(shè) A , B 是兩個(gè)非空的數(shù)集,假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就 f ,對(duì)于集合 A中任何一個(gè)數(shù) 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值 確定的數(shù) f x 和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合 A, B以及A到 B的對(duì)應(yīng)法就 f ）叫做集合 A到 B的 函數(shù)的單調(diào)性法 一個(gè)函數(shù),記作 f : A

7、 B 1【 1.2.2 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 函數(shù)的三要素 : 定義域,值域和對(duì)應(yīng)法就 表示函數(shù)的方法,常用的有解析法,列表法,圖象法三種 只有定義域相同,且對(duì)應(yīng)法就也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù) 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng) （ 2）求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原就： 關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念 f x 是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù) 設(shè) A , B 是兩個(gè)集合,假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就 f ,對(duì)于集合 A中任何一個(gè)元素,在集合 B 中都有唯獨(dú)的元素 f x 是分式函數(shù)時(shí),定義

8、域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) 和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合 A, B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法就 f ）叫做集合 A到 B 的映射,記作 f x 是偶次根式時(shí),定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合 f : A B 對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于 給定一個(gè)集合 A到集合 B的映射,且 a A, b B 假如元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng),那么我們把元素 b叫做元素 y tan x 中, x k k Z 2 a的象,元素 a叫做元素 b 的原象 零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 如 f x 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四就運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí),就其定義域一

9、般是各基本初等函數(shù)的定義域的 交集 對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題,一般步驟是：如已知 f x 的定義域?yàn)?a,b ,其復(fù)合函數(shù) f g x 的定義域應(yīng) 由不等式 a g x b 解出 對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,依據(jù)問(wèn)題具體情形需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)爭(zhēng)辯 由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,仍要符合問(wèn)題的實(shí)際意義 （ 4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上,假如在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問(wèn)的角度不同求函 數(shù)值域與最值的常用方法：第 2 頁(yè),共 7 頁(yè)-

10、- 函數(shù)的基本性質(zhì) 假如對(duì)于函數(shù) fx 定義域內(nèi)（ 1 ）利用定義（要先（ 1）函數(shù)的單調(diào)性定 定義【 】單調(diào)性與最大（?。┲?判定方法 任意一個(gè) x ,都有 f x= fx , 判確定義域是否關(guān)于圖象那么函數(shù)fx叫做偶函數(shù) 原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）義及判定方法（ 2 ）利用圖象（圖象函數(shù)的 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)）性 質(zhì)fx在這個(gè)區(qū)間上是 假如對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)某個(gè)區(qū)y y=fX fx 2 x（ 1）利用定義 如函數(shù) f x 為奇函數(shù),且在 x 0 處有定義,就 f 0 0 間上的任意兩個(gè)自變量 （ 2）利用已知函數(shù)的 的值 x1, x 2 , 當(dāng) x 1 x 2 時(shí),都 奇函數(shù)在 y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性

11、相同,偶函數(shù)在 y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反 單調(diào)性有 fx 1 fx 2 , 那 么 就 說(shuō) o fx 1 x 2 （ 3）利用函數(shù)圖象 （在 在公共定義域內(nèi),兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)） ,兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的 增函數(shù) 某個(gè)區(qū)間圖 積（或商）是偶函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充學(xué)問(wèn)函數(shù)的圖象 （ 1）作圖 利用描點(diǎn)法作圖： x 1 象上升為增） 函數(shù)的 （ 4）利用復(fù)合函數(shù) 單調(diào)性 （ 1）利用定義 確定函數(shù)的定義域； 化解函數(shù)解析式； 假如對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某 y y=fX （ 2）利用已知函數(shù)的 個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 單調(diào)性

12、爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性,單調(diào)性） ； 畫(huà)出函數(shù)的圖象 利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要精確記憶一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖 象平移變換 的值 x1 ,x ,當(dāng) x 1 fx 2 , 那 么 就 說(shuō) （在某個(gè)區(qū)間圖fx在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) o x 1 x 2 x 象下降為減） （ 4）利用復(fù)合函數(shù) 在公共定義域內(nèi),兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù),減 函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) y f x h 0,左移 h 個(gè)單y f x h y f x k 0,上移個(gè)單位 y f x k 位 0,右移 |

13、 h|個(gè)單位 k 下移 0, k | k |個(gè)單位 h 對(duì)于復(fù)合函數(shù) y f g x ,令u g x ,如y f u 為增, u g x 為增,就 為增； y f g x 伸縮變換 伸 縮 y f x 0 1,y f x y f x 0 A 1,y Af x 如 y f u 為減 , u g x 為 減 , 就 y f gx 為增 ；如 y f u 為 增 , u g x 為 減 ,就縮 伸 1,A 1,對(duì)稱(chēng)變換 y f g x 為減；如 y f u 為減, u g x 為增,就 y f g x 為減 軸 軸 y f x x y f x y f x y y f x 【 】奇偶性 y f x 原

14、點(diǎn)y f x y f x 直線(xiàn)y x y f 1 （ 2）函數(shù)的奇偶性定 義及判定方法函數(shù)的 x y f x 保留y 去掉y 軸左邊圖 y軸對(duì)稱(chēng)圖象 y f | x | 象 定義圖象判定方法 y f x 軸右邊圖象,并作其關(guān)于 性 質(zhì)假如對(duì)于函數(shù) fx定義域內(nèi) （ 1）利用定義（要先（ 2）識(shí)圖保留 x 軸上方圖象 y | f x | 任意一個(gè) x,都有 f x= 判確定義域是否關(guān)于 將 x 軸下方圖象翻折上去 對(duì)于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右,上下分別范疇,變化趨勢(shì),對(duì)稱(chēng)性等方面爭(zhēng)辯函數(shù)的定義域,值域,單 調(diào)性,奇偶性,留意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系 （ 3）用圖函數(shù)的 fx ,那么函

15、數(shù) fx 叫做奇函原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)） 數(shù)奇偶性 （ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）第 3 頁(yè),共 7 頁(yè)- - 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為爭(zhēng)辯數(shù)量關(guān)系問(wèn)題供應(yīng)了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問(wèn)題 結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第 4 頁(yè),共 7 頁(yè)- - 【 】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 其次章 基本初等函數(shù) （ 4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)y 指數(shù)函數(shù) x 【 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 函數(shù)名稱(chēng) （ 1）根式的概念定義a x a 0 且 a 1 叫做指數(shù)函數(shù) 假如 n , , , 1 ,且,那么 叫做的 次方根當(dāng) 是奇數(shù)時(shí), 的 次方a 1 0 a 1x a a R x R n n N xan

16、nan根用符號(hào) n a 表示；當(dāng) n是偶數(shù)時(shí),正數(shù) a的正的 n次方根用符號(hào) n a 表示,負(fù)的 n次方根用符號(hào) n a 表示； 0 圖象yy a x y a x y的 n次方根是 0；負(fù)數(shù) a沒(méi)有 n次方根 式子 n a 叫做根式,這里 n叫做根指數(shù), a叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng) n為奇數(shù)時(shí), a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng) n為偶數(shù) 時(shí),y 1 y 1 0,1 a 0 0,1 根式的性質(zhì)： n a n a ；當(dāng) n為奇數(shù)時(shí), n an a ；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), n an | a | a a 0 a a 0 定義域 O x O （ 2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 Rm 值域0, 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是： a n n m a

17、a m 1 n0, , , 且 n N , 且 1 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是： m m n N n 1 ma a 0,m, n n 1 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指 過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn) 0,1 ,即當(dāng) x 0 時(shí),y 1 a n a 奇偶性 在 R 上是增函數(shù) 非奇非偶 數(shù)冪沒(méi)有意義 留意口訣： 底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù) 單調(diào)性 在 R 上是減函數(shù) （ 3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar as ar s a 0,r , s R R ar s ars a 0, r , s R a函數(shù)值的 ax a1 x 0 aax 1 x 0 ax 1 x 0 ax 1 x 0 變化情形 r r a 0

18、, 0, r 變化對(duì) 圖象的影響 ax 1 x 0 ax 1 x 0 a b b r ab 在第一象限內(nèi), 越大圖象越高；在其次象限內(nèi), 越大圖象越低 對(duì)數(shù)函數(shù) 【 】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 （ 1）對(duì)數(shù)的定義 如ax N a 0,且 a 1 ,就x叫做以 a為底 N 的對(duì)數(shù),記作 x log a N ,其中 a 叫做底數(shù), N叫做真 數(shù) 負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互x化：Na xN a 0, a 1, N 0 loga（ 2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式 第 5 頁(yè),共 7 頁(yè)- - log a 1 0 , log a a 1 , log a ab b 函數(shù)值的 log a x 0 x 1 log

19、a x 0 x 1 （ 3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù) log a x 0 x 1 log a x 0 x 1 變化情形 常用對(duì)數(shù)： ,即 lg N log10 N ；自然對(duì)數(shù)： ln N ,即log e N （其中 e , ） log a x 0 0 x 1 log a x 0 0 x 1 （ 4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) log a N log a M a 變化對(duì) 圖象的影響 在第一象限內(nèi), a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi), a 越大圖象越靠高 假如 a 0, a 1,M 0, N 0 ,那么 冪函數(shù) 加法： loga M loga N log a MN 減法： log a M （ 1）冪函數(shù)的定義 數(shù)乘

20、： n log N 一般地,函數(shù) y x 叫做冪函數(shù),其中 x為自變量, 是常數(shù) a M log a M n n R alog a NN （ 2）冪函數(shù)的圖象 log abM n n log a M b 0, n R 換底公式：log a N log b N b 0, 且 b 1 b log b a 【 】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （ 5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù) 名稱(chēng)yx 對(duì)數(shù)函數(shù) 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 1 1 a x 定義函數(shù)y log a xa 0 且 a 0 a a 1 1 yx y log y log a x 圖象1,0 定義域 O 在 0, 1,0 x 0, O 0 x （ 3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：

21、冪函數(shù)圖象分布在第一, 二,三象限, 第四象限無(wú)圖象 冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí), 圖象分布在第一, 二象限 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) ；是奇函數(shù)時(shí),圖象分布在第一,三象限 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ；是非奇非偶函數(shù)時(shí),圖象只分布在第一象 限 值域圖象過(guò)定點(diǎn) 1,0 R1 時(shí), y 過(guò)定點(diǎn)：全部的冪函數(shù)在 0, 都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn) 1,1 過(guò)定點(diǎn) ,即當(dāng) x 單調(diào)性：假如 0 ,就冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn), 并且在 0, 上為增函數(shù)假如 0,就冪函數(shù)的圖象在 0, 奇偶性 上是增函數(shù) 非奇非偶 在 0, 上是減函數(shù) 上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無(wú)限接近 x 軸與 y 軸 單調(diào)性 奇偶性：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇

22、函數(shù),當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng) q （其中 p, q 互質(zhì), p 和p第 6 頁(yè),共 7 頁(yè)- - q q 就比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值來(lái)確定； q Z ）,如 p為奇數(shù) q為奇數(shù)時(shí),就 y x p 是奇函數(shù),如 p為奇數(shù) q為偶數(shù)時(shí),就 y x p 是偶函數(shù),如 yp為偶第三章 函數(shù)的應(yīng)用 1 ,其一,方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) q 1 ,函 數(shù) 零 點(diǎn)的 概 念： 對(duì) 于 函 數(shù) y f x x D , 把 使 f x 0 成 立 的 實(shí) 數(shù) x 叫 做 函 數(shù)數(shù) q為奇數(shù)時(shí),就 y x p 是非奇非偶函數(shù) y f x x D 的零點(diǎn)； f x 的零點(diǎn)就是方程 f x 0 實(shí)數(shù)根, 亦即函數(shù) y

23、的圖象與 f x 軸 x 圖象特點(diǎn)：冪函數(shù) y x , x 0, ,當(dāng)1 時(shí),如 0 x 1 ,其圖象在直線(xiàn) yx下方,如 x 2,函數(shù)零點(diǎn)的意義： 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；即：函數(shù)y 圖象在直線(xiàn) yx上方,當(dāng) 1 時(shí),如 0 x 1,其圖象在直線(xiàn) yx上方,如 x 1 ,其圖象在直線(xiàn) x下 方程 f x 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y f x 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y f x 有零點(diǎn) 方3,函數(shù)零點(diǎn)的求法： 的零點(diǎn)： 求函數(shù) y f x 補(bǔ)充學(xué)問(wèn)二次函數(shù) 1（代數(shù)法）求方程 f x 0 的實(shí)數(shù)根； （ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式2 y f x 的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì) 一般式： 2 f x axbx c a 0 頂點(diǎn)式： f x a x h 2 k a 0 兩根式： （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)