形形色色的函數(shù)模型-完整版獲獎?wù)n件

1、形形色色的函數(shù)模型一次函數(shù)模型 【例1】某商人購貨，進價已按原價a元扣去25%，他希望對貨物訂一個新價，以便按新價讓利20%后仍可獲得售價25%的純利，求此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式點評 本題關(guān)鍵是要理清原價、進價、新價之間的關(guān)系，為此，引進了參數(shù)b，建立新價與原價的關(guān)系，從而找出了y與x的函數(shù)關(guān)系 【變式練習(xí)1】電信局為了配合客戶的不同需要，設(shè)有方案A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案的應(yīng)付電話費用y(元)與通話時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示，折線PMN為方案A，折線CDE為方案B，MNDE.(1)若通話時間為x2小時，按方案A、B各付話費多少元？(2)方案B從5

2、00分鐘以后，每分鐘收費多少元？(3)當(dāng)方案B比方案A優(yōu)惠時，求x的取值范圍二次函數(shù)模型 【例2】某型號的電視機每臺降價x成(1成為10%)，售出的數(shù)量就增加mx成，mR.(1)若某商場現(xiàn)定價為每臺a元，售出量是b臺，試建立降價后的營業(yè)額y與x的函數(shù)關(guān)系問當(dāng)m5/4時，營業(yè)額增加1.25%，每臺降價多少元？(2)為使?fàn)I業(yè)額增加，當(dāng)xx0(0 x010)時，求m應(yīng)滿足的條件點評 本題的關(guān)鍵是弄清關(guān)系式：銷售額銷售量價格，建立降價前與降價后銷售額的等量關(guān)系，找出未知的等量關(guān)系是解決函數(shù)應(yīng)用題的基本思路和規(guī)律 【變式練習(xí)2】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(噸/元)之

3、間的函數(shù)關(guān)系為P242001/5x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R50000200 x元，問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？指數(shù)函數(shù)模型 【例4】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬，如果年自然增長率為1.2%.(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)關(guān)于年份x(年)的函數(shù)關(guān)系；(2)計算10年以后該城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年以后該城市人口總數(shù)將達到120萬 (參考數(shù)據(jù)：lg10.121.005，lg1.1270.05，lg1.20.079)點評 指數(shù)函數(shù)模型一般與增長率有關(guān)在建立函數(shù)關(guān)系時，應(yīng)注意增長速度的意義，增長速度翻番(成倍增長)應(yīng)考慮指數(shù)函數(shù)模型；增

4、長速度快，可考慮冪函數(shù)模型或二次函數(shù)模型；等速增長，則應(yīng)考慮一次函數(shù)模型；增長速度緩慢，可考慮對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)模型 情境問題：某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學(xué)生的走法的是( ) tdd0t0tdd0t0tdd0t0tdd0t0ABCDD在解決實際問題中，靈活選擇數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵情境問題：某工廠第一季度某產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)ya

5、bxc(其中a，b，c為常數(shù))已知4月份的產(chǎn)量為1.36萬件，問：用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)好？為什么？ 數(shù)學(xué)建構(gòu)：1數(shù)據(jù)的擬合數(shù)據(jù)擬合就是研究變量之間這種關(guān)系，并給出近似的數(shù)學(xué)表達式的一種方法根據(jù)擬合模型，我們還可以對某變量進行預(yù)測或控制解決數(shù)據(jù)擬合問題應(yīng)首先作出散點圖，然后通過觀察散點趨勢選用相應(yīng)的模型進行擬合為使散點圖更為清晰，可將數(shù)據(jù)適當(dāng)簡化2函數(shù)模型的選擇(1)直線型函數(shù)一次函數(shù)(2)對稱型函數(shù)二次函數(shù)(3)單調(diào)型函數(shù)指數(shù)型函數(shù)反比例冪型函數(shù)ykaxb或數(shù)學(xué)應(yīng)用：例1現(xiàn)有一杯用88熱水沖的速溶咖啡，放在24的房間中，如果咖啡降溫到40需要20min，那么降溫到32時，需要多長時間；降

6、溫到36時，需要多長時間(結(jié)果精確到0.1) ？ 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，其中Ta表示環(huán)境溫度， h稱為半衰期數(shù)學(xué)探究：例2在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)的定義為Mf(x) f(x+1) f(x)，某公司每月最多生長100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(xN*)的收入為 R(x)3000 x20 x2(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)500 x4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否有相同的最大值？ 邊際函數(shù)

7、是經(jīng)濟學(xué)中的一個基本概念，也是通過大量的數(shù)據(jù)擬合，從中篩選出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而使得經(jīng)濟學(xué)研究更加準(zhǔn)確，決策更加科學(xué).情境問題：1一流的職業(yè)高爾夫選手約70桿即可打完十八洞，而初學(xué)者約160桿初學(xué)者打高爾夫球，通常是開始時進步較快，但進步到某個程度后就不易再出現(xiàn)大幅進步某球員從入門學(xué)起，他練習(xí)打高爾夫球的成績記錄如下圖所示：根據(jù)圖中各點，請你從下列函數(shù)中：(1)yax2bxc；(2)ykaxb；(3)y b (x0) ；判斷哪一種函數(shù)模型最能反映這位球員練習(xí)的進展情況？02040608010012014016018020080100120140160練習(xí)總次數(shù)打完18洞的桿數(shù)020406080

8、10012014016018020080100120140160練習(xí)總次數(shù)打完18洞的桿數(shù)yax2bxc過(40，120)，(80，100)，(120， 90)三點的數(shù)學(xué)探究：二次函數(shù)的解析式為02040608010012014016018020080100120140160練習(xí)總次數(shù)打完18洞的桿數(shù)ykaxb數(shù)學(xué)探究：02040608010012014016018020080100120140160練習(xí)總次數(shù)打完18洞的桿數(shù)過(40，120)，(80，100)，(120， 90)三點的冪型函數(shù)的解析式為數(shù)學(xué)探究：數(shù)學(xué)應(yīng)用：由當(dāng)x200時，y83桿 ，得因此至第200次練習(xí)時，打完十八洞估測約

9、需要83桿 綜上所述，該問題選指數(shù)型函數(shù)進行擬合較好按照這種趨勢，如果他不退步，至第200次練習(xí)時，打完十八洞估測約多少桿？數(shù)學(xué)應(yīng)用：在處理數(shù)據(jù)擬合(預(yù)測或控制)問題時，通常需要以下幾個步驟： (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，在屏幕直角坐標(biāo)系中繪出散點圖；(2)通過觀察散點圖，畫出“最貼近”的曲線，即擬合曲線；(3)根據(jù)所學(xué)知識，設(shè)出擬合曲線的函數(shù)解析式(4)利用此函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給的問題進行預(yù)測和控制 數(shù)學(xué)應(yīng)用：例3某工廠第一季度某產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或

10、函數(shù)yabxc(其中a，b，c為常數(shù))已知4月份的產(chǎn)量為1.36萬件，問：用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)好？為什么？ 2一家人(父親、母親、孩子)去某地旅游，有兩空旅行社同時發(fā)出邀請，且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾，只要父親一人買全票，其他家庭成員均享受半價；乙旅行社承諾，家庭旅行算團體旅行，按全價的三分之二計算已知這兩家的原價是一樣的，若家庭中的孩子數(shù)是不同的，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數(shù)為變量的收費表達式，并比較選擇哪家更優(yōu)惠？數(shù)學(xué)應(yīng)用：3某化工廠生產(chǎn)的一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過01%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少 ，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求？ 數(shù)學(xué)應(yīng)用：4已知鐳經(jīng)過100年剩留原來質(zhì)量的95.76%，試計算鐳的半衰期？ 數(shù)學(xué)應(yīng)用：5某工廠的一種產(chǎn)品的年