與圓有關(guān)的比例線段2-完整版獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、相交弦、切割線、切線長定理2.5 與圓有關(guān)的比例線段1圓周角定理(1)圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的 (2)圓心角定理圓心角的度數(shù)等于 推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是；90的圓周角所對(duì)的弦是一半它所對(duì)弧的度數(shù)相等相等直角直徑2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理1圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角 定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的(2)判定判定定理如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 推論如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)互補(bǔ)對(duì)角共圓共圓3圓的切線的性質(zhì)及判定定

2、理(1)性質(zhì)性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過 推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必(2)判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 4弦切角的性質(zhì)定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 半徑切點(diǎn)圓心切線圓周角1.如圖，AC是O的弦，BD切O于C，則圖中弦切角有 個(gè).4若AOC=1200,則 ACD = .OBDAC6002.如圖，直線MN切O于C，AB是O的直徑,若 BCM=400,則 ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.已知O是ABC的內(nèi)切圓,D,E,F為切點(diǎn),若 A: B: C=4:3:2, 則DEF =

3、, FEC= .B500700練習(xí)：ACD, ACB, OCD, OCB.ABFEDCA=800,B=600,C=400.ODOF=1000, DEF=500 .C=400,CE=CF. FEC=700 .一、下面我們首先沿用從特殊到一般的思路,討論與圓有關(guān)的相交弦的問題.探究1:如圖1,AB是O的直徑,CDAB,AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？OBDACP圖1證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.探究2:將圖中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直徑（如圖），結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAPB=PCPD

4、(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.OBDACP圖PAPB=PCPD(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.APDCPB.探究3:上面討論了CDAB的情形進(jìn)一步地,如果CD 與AB不垂直，如圖, AB 、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)綜上所述，不論AB 、 CD具有什么樣的位置，都有結(jié)論（）成立！相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.OBDACP幾何語言： AB 、 CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,交點(diǎn)為P, PAPB

5、=PCPD.上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段探究4:使圓的兩條弦的交點(diǎn)從圓內(nèi)（圖）運(yùn)動(dòng)到圓上（圖），再到圓外（圖），結(jié)論(1)還成立嗎？OBDACP圖3OBA(C,P)D圖4OBDACP圖5當(dāng)點(diǎn)P在圓上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.當(dāng)點(diǎn)P在圓外,連接AD、BC,容易證明:PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.如圖,已知點(diǎn)P為O外一點(diǎn),割線PBA、PDC分別交O于A、B和C、D. 求證:PAPB=PCPD.證法2：連接AC、BD，四邊形ABDC為O 的內(nèi)接四邊形, PDB= A，

6、又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每一條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PAB,PCD是O 的割線, PAPB=PCPD.OCPADB點(diǎn)P從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外PAPB=PCPDOBDACP圖3PAPB=PCPD圖5OCPADBOA(B)PCD使割線PB繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置，是否還有PAPB=PCPD？探究5:使割線PB繞點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切線位置,結(jié)論(1)還成立嗎？如圖,已知點(diǎn)P為O外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，割線PCD 交O于C、D. 求證：PA2=PCPD.證明：連接AC、AD，

7、PA切O于點(diǎn)A,D= PAC.又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和條割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PA是O 的切線,PCD是O 的割線, PA=PCPD.ODPCA點(diǎn)P從圓內(nèi)移動(dòng)到圓外.相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP圖3割線定理PAPB=PCPD圖5OCPADB使割線PA繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線的位置.OA(B)PCD切割線定理PA2=PCPD使割線PC繞P點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到切線的位置.切線長定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)探究6:使割線PD繞點(diǎn)P運(yùn)

8、動(dòng)到切線位置，結(jié)論(1)還成立嗎？易證RtOAPRtOCP. PA=PCA(B)POC(D)切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PA、 PC是O 的切線, PA=PC,APO=CPO.思考：從這幾個(gè)定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)？1.結(jié)論都為乘積式;2.幾條線段都是從同一點(diǎn)出發(fā);3.都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）.PC切O于點(diǎn)C = PAPB=PC切割線定理OBPCA割線PCD、PAB交O于點(diǎn)C、D和A、B = PAPB=PCPD割線定理OBCADPAB交CD于點(diǎn)P = PAPB=PCPD相交

9、弦定理OBPCADPA 、PC分別切O于點(diǎn)A 、C = PA=PC,APO=CPO切線長定理OA(B)PC(D)另外，從全等角度可以得到：2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBCO說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！BADC例1.圓內(nèi)的兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4.PC= 1/4 PD,求CD的長. CDABP解:設(shè)CD=x,則PD= ,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得 x=10,CD=10練習(xí)1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD= ,PT=(2)已

10、知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=103ODPATBCPAPB=(7-R) (7+R)練習(xí)2.如圖：過點(diǎn)A作O的兩條割線,分別交O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD.OAECDB例2 如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，直線EF/CB,交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓于點(diǎn)G.求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.OBECADFG證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.DCB和DAB都是 上的圓周角.DAB =DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.(2)由(1)知 DFEEFA，EF2 =FAFD.又FG是圓

11、的切線，F(xiàn)G2 =FAFD.EF2 =FG2 ,即FG=EF.例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),P是兩圓公共弦AB上的任一點(diǎn),從P引兩圓的切線PC,PD.求證:PC=PDPABDC析：PC=PAPB又PD=PAPBPC= PDPC=PD例4.如圖,AB是O的直徑,過A,B引兩條弦AD和BE,相交于點(diǎn)C,求證:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析:A,F,C.E四點(diǎn)共圓BCBE=BFBA.F,B,D,C四點(diǎn)共圓ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB練習(xí)3.如圖,A是O上一點(diǎn),過A切線交直徑CB的延長線于點(diǎn)P,ADBC，D為垂足.求證：PB

12、:PD=PO:PC.分析：要證明PB ：PD=PO ：PC ,很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明,所以可以通過證明PB PC=PD PO,而由切割線定理有PA2=PB PC,只需再證PA2=PD PO，而PA為切線,所以連接OA,由射影定理 得到.例5如圖，AB、AC是O的切線，ADE是O的割線，連接CD、BD 、BE 、CE.問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？ CD:CE=AC:AE, CDAE=ACCE. (2)同理可證BDAE=ACCE. (3)AC=AB,由(2)(3)可得BECD=BDCE. (4)探究1:由已知條件可知

13、ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE. (1)CAOBED圖1問題2 在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？CAOBED圖1CAOBED圖2GF探究2:連接FG.與探究1所得到的結(jié)論相比較,可以猜想ACDAEC.下面給出證明.AB2=ADAE,而AB=AC, ADCACE. (5)而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究1的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四點(diǎn)共圓. CFG=AEC.又ACF=AEC.CFG=ACF.故FG/AC. (6)你還能推出其他結(jié)論嗎？問題3 在圖2中,使

14、線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線CD,得到圖3. 此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)(6)的所有結(jié)論.CAOBED圖2GFCAOBED圖3PQG此外，AC/DG. ADCACE. 由(7)(8)兩式可得：ACCD=AECG. (9)連接BD、BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則PCQ=PGD =DBE,所以C、E、B、Q四點(diǎn)共圓. (10) 你還能推出其他結(jié)論嗎？習(xí)題2.55.如圖, O與O相交與點(diǎn)A,B.PQ是O的切線,求證:PN=NMNQQNPOOABM6.如圖,PA是O的切線, M是PA的中點(diǎn),求證:MPB=MCPMA=MBMC=PMMBPPM

15、CMPB=MCPAPCBMO思路：習(xí)題2.5習(xí)題2.57.如圖, AD,BE,CF分別是ABC三邊的高,H是垂心,AD延長線交ABC外接圓于點(diǎn)G, 求證:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO習(xí)題2.58.如圖,O直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點(diǎn)P,AE=AC. 求證:PFPO=PAPB12POCPDFPFPO=PDPC又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思路：習(xí)題2.5 9.將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,能推出哪些結(jié)論?如果BAD= CAD,又有什么結(jié)論?BAECOD圖BAECODFG習(xí)題2.5 9題 將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,你能推出哪些結(jié)論?如果BAD= CAD,又有什么結(jié)論?BAECODFGAB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD= EAC, ADC