初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何定值問題的題型總結(jié)(word版+詳解答案)

1、 初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何定值問題的題型總結(jié)題型一 線段及線段的和差為定值 【典例1】已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，將ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到ABC，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)90180時，作ADAC，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)CAD15時，作AEC的平分線EF交BC于點(diǎn)F寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；求證：EA+ECEF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點(diǎn)，連接PA，PF，若AB，求線段PA+PF的最小值（結(jié)果保留根號）【變式練習(xí)】如圖（1），已知,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個動點(diǎn)（），過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)（1）若時，求的值； （2）設(shè)，求與之間的

2、函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動時，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長題型二 線段的積或商為定值 【典例2】如圖，矩形中，將繞點(diǎn)從處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)時，也恰好過點(diǎn)，此時是否與相似？并說明理由；（2）類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)時，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；在旋轉(zhuǎn)過程中，若時，求對應(yīng)的的面積；在旋轉(zhuǎn)過

3、程中，當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時，求對應(yīng)的的值.【變式練習(xí)】如圖1,已知直線ya與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C(1)若AB4,求a的值(2)若拋物線上存在點(diǎn)D(不與A、B重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線ykx2與拋物線交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn),延長PE、PF分別交直線y2于M、N兩點(diǎn),MN交y軸于Q點(diǎn),求QMQN的值。圖1 圖2題型三 角及角的和差定值 【典例3】如圖，在ABC中，ABC60，BAC60，以AB為邊作等邊ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD（1）若ABC90，BAC30，求BDC的度數(shù)；（2）當(dāng)BAC2BDC時，請判斷ABC的形狀并說明

4、理由；（3）當(dāng)BCD等于多少度時，BAC2BDC恒成立 【變式練習(xí)】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線W于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1）求直線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線W的解析式；（3）若，將拋物線W向下平移個單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由題型四 三角形的周長為定值 【典例4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形ABCD，點(diǎn)P 為正方形 AD 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、點(diǎn)D 重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B 落在 P 處，點(diǎn) C 落在 G 處

5、，PG 交DC 于H，折痕為 EF，連接 BP，BH.（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【變式練習(xí)】如圖，在等腰直角三角形ABC中，C90，AB8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).將一個邊長足夠大的RtDEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)O處，并將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點(diǎn)G，EF與BC邊交于點(diǎn)H.(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被RtDEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生

6、變化，請求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.題型五 三角形的面積及和差為定值 【典例5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時停止，在此過程中開展探究活動操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊AB與EF交于點(diǎn)M，邊CD與GH交于點(diǎn)N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是 （2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后

7、，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形QMRN中MQN與旋轉(zhuǎn)角AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由實踐探究：（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角AOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【變式練習(xí)】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，F(xiàn)30.（1）求證：BECE（2）將EFG繞點(diǎn)E按順時針

8、方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）求證：BEMCEN；若AB2，求BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sinEBG的值. 【鞏固練習(xí)】1已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，BAD=120，E為線段BC上的一個動點(diǎn)（不與B，C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點(diǎn)G，（1）如圖1，當(dāng)AEBC時，求線段BE、CG的長度（2）如圖2，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動時，連接DE，DF，BEF與CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由（3）如圖2，設(shè)BE=x

9、，DEF的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PFBC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出PDE周長的最大值和最小值3如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90(1)直接填空：BAD=_.(2)點(diǎn)P在CD上，連結(jié)AP，AM

10、平分DAP，AN平分PAB，AM、AN分別與射線BP交于點(diǎn)M、N設(shè)DAM=求BAN的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)若ANBM，試探究AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用的代數(shù)式表示它4將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE探究SABC與SADC的比是否為定值（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，SABC：SADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30角的直角三角板時，SABC：SADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（3）兩塊三角板中，BAE+CAD1

11、80，ABa，AEb，ACm，ADn（a，b，m，n為常數(shù)），SABC：SADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖）5（解決問題）如圖1，在中，于點(diǎn)點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)（1）若，則的面積是_，_（2）猜想線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)若，直接寫出的值6如圖，已知銳角ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O（1

12、）若A=（090），求BOC；（2）試判斷ABO+ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由7O的直徑AB15cm，有一條定長為9cm的動弦，CD在弧AB上滑動（點(diǎn)C和A、點(diǎn)D與B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F（1）求證：AEBF（2）在動弦CD滑動過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.8如圖，動點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合），連接.過點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.（1）探究：如左圖，當(dāng)動點(diǎn)在上運(yùn)動時；判斷是否成立？請說明理由；設(shè)，是否為定值

13、？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動點(diǎn)在上運(yùn)動時；分別判斷（1）中的三個結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說明理由）9如圖，已知的半徑為，為直徑，為弦與交于點(diǎn)，將 沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長至，使，鏈接 （）求的長（）求證：是的切線（）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長線上有一動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（與、不重合）則為一定值請說明理由，并求出該定值10在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)及AB的長；（2）若直角

14、NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、N，射線DM交x軸于點(diǎn)M，連接MN當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時，若PDMMON，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；在直角NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，DMN的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由11如圖，AOB中，A（8，0），B（0，），AC平分OAB，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，P經(jīng)過點(diǎn)A、C，與x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CEAB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點(diǎn)F，（1）P的半徑為；（2）求證：EF為P的切線；（3）若點(diǎn)H是上一動點(diǎn)，連接OH、FH，當(dāng)點(diǎn)H在上運(yùn)動時，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由.12如圖，在菱形ABCD中

15、，ABC60，AB2過點(diǎn)A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點(diǎn)EP為邊BD上的一個動點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）求四邊形ABDE的周長和面積；（3）記ABP的周長和面積分別為C1和S1，PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：C1+C2，S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍13如圖，在中，圓心關(guān)于弦的對稱點(diǎn)恰好在上，連接、.（1）求證：四邊形是菱形；（2）如圖，若點(diǎn)是優(yōu)?。ú缓它c(diǎn)、）上任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，的半徑為.試探究線段與

16、的積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；求的取值范圍. 14如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，8），并且經(jīng)過A（8，0），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE（1）求拋物線的解析式；（2）猜想并探究：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由；（3）求：當(dāng)PDE的周長最小時的點(diǎn)P坐標(biāo)；使PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個數(shù)15如圖1，點(diǎn)、，其中、滿足，將點(diǎn)、分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位至、，連接、.（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：

17、_；（2）連接交于一點(diǎn)，求的值：（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度向上平移運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左平移運(yùn)動，設(shè)射線交軸于.問的值是否為定值？如果是定值，請求出它的值；如果不是定值，請說明理由.16如圖所示，為等腰底邊上一動點(diǎn)，于于，問當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，的值是否為定值，如果是，求出這個定值，如果不是，說明理由17如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線和與軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)兩直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)和重合），連結(jié)，并過點(diǎn)作交于點(diǎn)（）判斷的形狀，并說明理由（）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，四邊形的面積是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明

18、理由（）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，在軸上找到一點(diǎn)使得的周長最小，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo) 動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動對象而言，有點(diǎn)動、線動、面動三大類，就其運(yùn)動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要 “以靜制動”，即把動態(tài)問題

19、，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成 ：先探求定值. 它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在

20、中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問題，問題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究?！镜淅敢款愋鸵?【線段及線段的和差為定值】 【典例指引1】已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，將ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到ABC，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)90180時，作ADAC，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)CAD15時，作AEC的平分線EF交BC于點(diǎn)F寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；求證：EA+ECEF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點(diǎn)，連接PA，PF，若AB，求線段PA+PF的最小值（結(jié)果保留根號）【答案】（1）105，見解析；（2）【解析

21、】（1）解直角三角形求出ACD即可解決問題，連接AF，設(shè)EF交CA于點(diǎn)O，在EF時截取EM=EC，連接CM首先證明CFA是等邊三角形，再證明FCMACE（SAS），即可解決問題（2）如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M證明AEFAEB，推出EF=EB，推出B，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，推出PF=PB，推出PA+PF=PA+PBAB，求出AB即可解決問題【詳解】解：由CAD15，可知ACD=90-15=75，所以ACA=180-75=105即旋轉(zhuǎn)角為105證明：連接AF，設(shè)EF交CA于點(diǎn)O在EF時截取EMEC，連接CMCEDACE+CAE45+1560，CEA120，F(xiàn)E平分CEA

22、，CEFFEA60，F(xiàn)CO180457560，F(xiàn)COAEO，F(xiàn)OCAOE，F(xiàn)OCAOE，COEFOA，COEFOA，F(xiàn)AOOEC60，ACF是等邊三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM是等邊三角形，ECM60，CMCE，F(xiàn)CAMCE60，F(xiàn)CMACE，F(xiàn)CMACE（SAS），F(xiàn)MAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在RtCBM中，CBBCAB2，MCB30，BMCB1，CM，ABPA+PF的最小

23、值為【名師點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題，難度較大【變式練習(xí)】如圖（1），已知,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個動點(diǎn)（），過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)（1）若時，求的值； （2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動時，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長【答案】（1）；（2）(x2

24、)；（3）OQ的長度等于3.【解析】（1）根據(jù)有兩對角相等的三角形相似可證明CAPCOB，由相似三角形的性質(zhì)可知：，在由已知條件可求出OB的長，由正切的定義計算即可；（2）作AEPC于E，易證PAEPCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等，再利用平行線的性質(zhì)即可得到 ，所以，整理即可得到求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域即可；（3）點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動時，探索線段OQ的長不發(fā)生變化，由PAHPBA得：，即PA=PHPB，由PHQPOB得：即PQPO=PHPB，所以PA=PQPO，再由已知數(shù)據(jù)即可求出OQ的長【詳解】（1）ACP=OCB CAP=O=90 CAPCOB AP=

25、2 在RtOBP中， （2）作AEPC，垂足為E，易證PAEPCA MON=AEC=90 AEOM 整理得(x2) （3）線段OQ的長度不會發(fā)生變化 由PAHPBA 得 即由PHQPOB 得 即PA=2 PO=4 PQ=1 OQ=3即OQ的長度等于3.【點(diǎn)睛】此題考查相似形綜合題，解題關(guān)鍵在于作輔助線類型二 【線段的積或商為定值】 【典例指引2】如圖，矩形中，將繞點(diǎn)從處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)時，也恰好過點(diǎn)，此時是否與相似？并說明理由；（2）類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定

26、值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)時，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；在旋轉(zhuǎn)過程中，若時，求對應(yīng)的的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時，求對應(yīng)的的值.【答案】（1）相似；（2）定值，；（3）2，.【解析】（1）根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”即可得出答案；（2）由得出，又為定值，即可得出答案；（3）先設(shè)結(jié)合得出將t=1代入中求解即可得出答案；將s=4.2代入中求解即可得出答案.【詳解】（1）相似理由：，又，；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中的值為定值，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形為矩形，四邊形為矩形，即在旋轉(zhuǎn)過程中，的值為定值，；（3）由（2）知：，又，即：；當(dāng)時，的面積，當(dāng)時，解得：，（舍去）當(dāng)

27、的面積為4.2時，；【名師點(diǎn)睛】本題考查的是幾何綜合，難度系數(shù)較高，涉及到了相似以及矩形等相關(guān)知識點(diǎn)，第三問解題關(guān)鍵在于求出面積與AE的函數(shù)關(guān)系式.【變式練習(xí)】如圖1,已知直線ya與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C(1)若AB4,求a的值(2)若拋物線上存在點(diǎn)D(不與A、B重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線ykx2與拋物線交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn),延長PE、PF分別交直線y2于M、N兩點(diǎn),MN交y軸于Q點(diǎn),求QMQN的值。圖1 圖2【答案】（1）；（2）；（3）8【解析】（1）將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立，解一元二次方程求得A、B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB，即可解答

28、；（2）由（1）可得CD=AB=，設(shè)D ，過點(diǎn)D作DHy軸于點(diǎn)H，利用勾股定理可知，進(jìn)而得到，得到，根據(jù)函數(shù)圖象可知，即可求得a的取值范圍；（3）設(shè)E（），F(xiàn)（），P（），分別表示EP和FP的解析式，當(dāng)時，求得，聯(lián)立和ykx2，得到，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入即可解答.【詳解】（1）聯(lián)立，解得： （2）由（1）知AB=，CD=AB= 設(shè)D 過點(diǎn)D作DHy軸于點(diǎn)H，則 又 又 （3）設(shè)E（），F(xiàn)（），P（）EP解析式為 將P，E代入可得： 當(dāng)時，可求，同理可求FP的解析式為又聯(lián)立得： 【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，難度大，主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，還涉及了一元二

29、次方程和勾股定理等知識，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.類型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如圖，在ABC中，ABC60，BAC60，以AB為邊作等邊ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD（1）若ABC90，BAC30，求BDC的度數(shù)；（2）當(dāng)BAC2BDC時，請判斷ABC的形狀并說明理由；（3）當(dāng)BCD等于多少度時，BAC2BDC恒成立 【答案】（1）30；（2）ABC是等腰三角形，理由見解析；（3）當(dāng)BCD=150時，BAC=2BDC恒成立.【解析】（1）證明AC垂直平分BD，從而可得CD=BC，繼而得BDC=30；（2）設(shè)BDC=x，則BAC=2x，證

30、明ACD=ADC，從而得AC=AD，再根據(jù)AB=AD可得AB=AC，從而得ABC是等腰三角形；（3）如圖， 作等邊BCE，連接DE，證明BCDECD后可得到BDE=2BDC，再通過證明BDEBAC得到BAC=BDE，從而得BAC=2BDC.【詳解】（1）ABD為等邊三角形，BAD=ABD=60，AB=AD，又BAC=30，AC平分BAD，AC垂直平分BD，CD=BC，BDC=DBC=ABC-ABD=90-60=30； （2）ABC是等腰三角形，理由：設(shè)BDC=x，則BAC=2x，有CAD=60-2x，ADC=60+x，ACD=180-CAD-ADC=60+x，ACD=ADC，AC=AD，又AB

31、=AD，AB=AC，即ABC是等腰三角形；（3）當(dāng)BCD=150時，BAC=2BDC恒成立，如圖， 作等邊BCE，連接DE，BC=EC，BCE=60.BCD=150，ECD=360-BCD-BCE=150，DCE=DCB.又CD=CD，BCDECD.BDC=EDC，即BDE=2BDC.又ABD為等邊三角形，AB=BD，ABD=CBE=60，ABC=DBE=60+DBC.又BC=BE，BDEBAC.BAC=BDE，BAC=2BDC.【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、結(jié)合圖形正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式練習(xí)】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與

32、軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線W于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1）求直線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線W的解析式；（3）若，將拋物線W向下平移個單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）恒為定值【解析】（1）由拋物線解析式可得頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-2），利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式；（2）如圖，過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=BN，由BND=CED=90，BND=CDE可證明，設(shè)BE=x，BD=y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=2x，C

33、D=2y，根據(jù)勾股定理由得y與x的關(guān)系式，即可用含x的代數(shù)式表示出C、D坐標(biāo)，代入y=ax2-2可得關(guān)于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W1的解析式為y=x2-2-m，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0）（t0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式為y=x2-t2，聯(lián)立直線BC解析式可用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)C1的坐標(biāo)，即可得，可得，根據(jù)拋物線W的解析式可得點(diǎn)D坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC與拋物線W的解析式可得點(diǎn)C、A坐標(biāo)，即可求出CG、DG的長，可得CG=DG，CDG=，即可證明，可得，由CDG=45可得BF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出D

34、F的長，利用勾股定理可求出CD的長，即可求出CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得答案【詳解】（1）拋物線W：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線解析式為，B（1，0），解得：，拋物線解析式為：（2）如圖，過點(diǎn)作于，平分，設(shè)，則，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線W：上的點(diǎn)，x0，解得：(舍去)，拋物線解析式為：（3）恒為定值，理由如下：如圖，過點(diǎn)作軸于H，過點(diǎn)作軸G，過點(diǎn)作于點(diǎn)，a=，拋物線W的解析式為y=x2-2，將拋物線W向下平移m個單位，得到拋物線，拋物線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為：，拋物線與射線的交點(diǎn)為，解得：，(不合題意舍去)，點(diǎn)的坐標(biāo)，且軸，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)，解得：或，點(diǎn)，A（0

35、，-2），且軸，點(diǎn)，點(diǎn)，恒為定值【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，難度較大，屬中考壓軸題，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵類型四 【三角形的周長為定值】 【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形ABCD，點(diǎn)P 為正方形 AD 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、點(diǎn)D 重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B 落在 P 處，點(diǎn) C 落在 G 處，PG 交DC 于H，折痕為 EF，連接 BP，BH.（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設(shè)AP為x，

36、四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）周長固定，周長為.（4）【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，即能解決問題.（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和問題（1）的結(jié)論即能解決問題.（3）通過證明過B點(diǎn)向PG作垂線，垂足為Q，通過分別證明 和，將PDH的周長問題轉(zhuǎn)化成兩固定邊長之和，即能解決問題，【詳解】（1）證明：四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊EP = EBEPB = EBP（2）證明四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊，PG與BC重疊EPG = EBC又EPB = EBPEPG - EPB = EBC - EB

37、P，即BPH = PBC ADBC,APB = PBC, APB = BPH（3）解：PDH的周長不發(fā)生變化.如圖所示，過點(diǎn)B作BQ丄PG于點(diǎn)Q.在BPA和BPQ中， ， QH=HCPDH的周長為：為固定值，固定不變.如圖，過點(diǎn)F作FM垂直AB于點(diǎn)M. 在ABP和MFE中 在AEP中，根據(jù)勾股定理，可得： 解得： ，即 即S關(guān)于x的關(guān)系式為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等，二次函數(shù)、綜合性較強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形各邊長之間關(guān)系及三角形全等的判定方法.【變式練習(xí)】如圖，在等腰直角三角形ABC中，C90，AB8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).將一個邊長足夠大的R

38、tDEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)O處，并將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點(diǎn)G，EF與BC邊交于點(diǎn)H.(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被RtDEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.【答案】(1)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時，四邊形CGOH是正方形；(2)CG與CH的和不會發(fā)生變化，CG+CH8.【解析】(1)由三角形中位線定理可得OGBC，OGBC，可證四邊形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得ACOCOG45，可得CGGO，可得結(jié)論；(2)由“ASA”可證GOC

39、HOB，可得CGBH，即可得CG+CHHB+CHBC8.【詳解】解：(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時，四邊形CGOH是正方形，連接CO，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，OGBC，OGBC，CGOC90，GOF90，四邊形CGOH是矩形，ACBC，ACB90，AOBO，ACO45，且CGO90，ACOCOG45，CGGO，矩形CGOH是正方形；(2)CG與CH的和不會發(fā)生變化，理由如下：連接OC，ABC是等腰直角三角形且點(diǎn)O為中點(diǎn)GCOB45，COB90，COBODOF90COB，GOCHOB，且COBO，GCOB45，GOCHOB(ASA)HBGC，CG+CHHB+CHBCAB8，BCAC8CG+C

40、H8.【點(diǎn)睛】此題考查的是中位線的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握中位線的性質(zhì)定理、正方形的判定定理和用ASA證明兩三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.類型五 【三角形的面積及和差為定值】 【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時停止，在此過程中開展探究活動操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程

41、中，當(dāng)邊AB與EF交于點(diǎn)M，邊CD與GH交于點(diǎn)N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是 （2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形QMRN中MQN與旋轉(zhuǎn)角AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由實踐探究：（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角AOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【答案】（1）結(jié)論：AMC

42、N，理由見解析；（2）證明見解析；（3）結(jié)論：MQNAOE，理由見解析；（4）AOE45或135時，四邊形QMRN面積最大為【解析】(1)先證明AOKAOJ(ASA)，推出OKOJ，AKCJ，AOKAJO，再證明EKMGJN(ASA)即可的解；(2)過點(diǎn)Q作QKEF，QLCD，垂足分別為點(diǎn)K，L、先證明四邊形QMRN是平行四邊形，再證明QMQN即可的解；(3)由三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可解決問題；(4)如圖3-2中，連接BD，在DC上取一點(diǎn)J，使得DJAD，則AJ2，通過解直角三角形求出BOC的度數(shù)，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）結(jié)論：AMCN理由：如圖2中，設(shè)AB交EG于K，

43、CD交EG于J四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是矩形，ABCD，EFEG，OAOCOEOG，MEKJGN，OAKOAJ，AOKAOJ，AOKAOJ（ASA），OKOJ，AKCJ，AOKAJO，EKJG，EKMAKO，GJNCJO，EKMGJN，EKMGJN（ASA），KMJN，AMAN（2）證明：過點(diǎn)Q作QKEF，QLCD，垂足分別為點(diǎn)K，L由題可知：矩形ABCD矩形EFGH，ADEH，ABCD，EFHG，四邊形QMRN為平行四邊形，QKEF，QLCD，QKEH，QLAD，QKMQLN90，QKQL，又ABCD，EFHG，KMQMQN，MQNLNQ，KMQLNQ，QKMQLN（AAS），M

44、QNQ四邊形QMRN為菱形（3）結(jié)論：MQNAOE理由：如圖31中，QND1+2，AOE1+3，又由題意可知旋轉(zhuǎn)前2與3重合，23，QNDAOE，ABCD，MQNQND，MQNAOE（4）如圖32中，連接BD，在DC上取一點(diǎn)J，使得DJAD，則AJ2，CD2+，CJAJ2，JCAJAC，AJD45JCA+JAC，ACJ22.5，OCOD，OCDODC22.5，BOC45，觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合或點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時，四邊形QMRN的面積最大，最大值，AOE45或135時，四邊形QMRN面積最大為【名師點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定，解直角三角形和全等三角形等知識，解題的關(guān)鍵是能

45、正確找到全等三角形.【變式練習(xí)】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，F(xiàn)30.（1）求證：BECE（2）將EFG繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）求證：BEMCEN；若AB2，求BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sinEBG的值.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2；.【解析】（1）只要證明BAECDE即可；（2）利用（1）可知EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

46、如圖3中，作EHBG于H設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m利用面積法求出EH，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，AB=DC，A=D=90，E是AD中點(diǎn)，AE=DE，BAECDE，BE=CE（2）解：如圖2中，由（1）可知，EBC是等腰直角三角形，EBC=ECB=45，ABC=BCD=90，EBM=ECN=45，MEN=BEC=90，BEM=CEN，EB=EC，BEMCEN；BEMCEN，BM=CN，設(shè)BM=CN=x，則BN=4-x，SBMN=x（4-x）=-（x-2）2+2，-0，x=2時，BMN的面積最大，最大值為2解：如圖3

47、中，作EHBG于H設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=mEG=m+m=（1+）m，SBEG=EGBN=BGEH，EH=m，在RtEBH中，sinEBH=【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題【新題訓(xùn)練】1已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，BAD=120，E為線段BC上的一個動點(diǎn)（不與B，C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點(diǎn)G，（1）如圖1，當(dāng)AEBC時，求線段BE、CG的

48、長度（2）如圖2，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動時，連接DE，DF，BEF與CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由（3）如圖2，設(shè)BE=x，DEF的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【答案】（1）BE=3，EG =；（2）是定值，為15+5；（3）y=x2+（0 x10）【解析】（1）先求出BE，AE，進(jìn)而求出BF，EF，再用平行四邊形的面積求出FG，即可得出結(jié)論；（2）先求出BH，AH，再用相似表示出BF，EF，進(jìn)而得出CG，EG，即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論【詳解】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，BAD+B=180，BAD=1

49、20，B=60，AEBC于E，在RtABE中，BAE=30，AB=6，BE=3，AE=3，EFAB，BFE=90，在RtBEF中，BEF=30，BF=BE=，EF=，SABCD=BCAE=ABFG，103=6FG，F(xiàn)G=5，EG=FGEF=；（2）如圖2，過點(diǎn)A作AHBC于H，B=60，BH=3，AH=3，AHB=BFE=90，B=B，ABHEBF，設(shè)BE=a，BF=a，EF=a，ABCD，BEFCEG，CG=（10a），EG=（10a），CBEF+CCEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+a+a+10a+（10a）+（10a）=10+5+5=15+5；（3）同（2）的方法得，EF=x

50、，CG=（10 x），DG=CD+CG=6+5x=11x，SDEF=EFDG=x（11x）=x2+（0 x10）【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決第（2）小題的關(guān)鍵2如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PFBC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF

51、的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出PDE周長的最大值和最小值【答案】（1）yx2+8；（2）正確，d|PDPF|為定值2；理由見解析；（3）PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）首先表示出P，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長，進(jìn)而求出即可；（3）過E作EFx軸，交拋物線于點(diǎn)P，求得CPDEEDPEPDEDPEPF2ED2（PEPF），當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時，PEPF最??；當(dāng)P與A重合時，PEPF最大；即可解答【詳解】（1）邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線

52、經(jīng)過點(diǎn)A，C（0，8），A（8，0），設(shè)拋物線解析式為：yax2+c，則，解得：拋物線解析式為yx2+8（2）設(shè)P（x，x2+8），則F（x，8），則PF8（x2+8）x2PD2x2+6（x2+8）2x4+x2+4（x2+2）2PDx2+2，d|PDPF|x2+2x2|2d|PDPF|為定值2；（3）如圖，過點(diǎn)E作EFx軸，交拋物線于點(diǎn)P，由d|PDPF|為定值2，得CPDEED+PE+PDED+PE+PF+2ED+2+（PE+PF），又D（0，6），E（4，0）DECPDE2+2+（PE+PF），當(dāng)PE和PF在同一直線時PE+PF最小，得CPDE最小值2+2+82 +10設(shè)P為拋物線AC上異

53、于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PMx軸，交AB于點(diǎn)M，連接ME，如圖2由于E是AO的中點(diǎn)，易證得MEPE（當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時，在PME中，顯然MPE是鈍角，故MEPE，與A重合時，等號成立），而MEAE+AM，所以PEAE+AM所以當(dāng)P與A重合時，PE+PF最大，AE844，PD10得CPDE最大值2+4+102+14綜上所述，PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點(diǎn)距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵3如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90(1)直接填空：BAD=_.(2)點(diǎn)P在CD上，連結(jié)AP，AM

54、平分DAP，AN平分PAB，AM、AN分別與射線BP交于點(diǎn)M、N設(shè)DAM=求BAN的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)若ANBM，試探究AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用的代數(shù)式表示它【答案】(1)90；(2)BAN=(45-)；AMB=45.【解析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到BAD的度數(shù)；(2)根據(jù)AM平分DAP，DAM=，即可得到BAP=(90-2)，再根據(jù)AN平分PAB，即可得到BAN=(90-2)=(45-)；根據(jù)AM平分DAP，AN平分PAB，即可得出MAN=MAP+PAN=45，再根據(jù)ANBM，即可得到AMB的度數(shù)為定值【詳解】解：(1)ADBC，ABC=

55、90，BAD=180-90=90故答案為：90；(2)AM平分DAP，DAM=，DAP=2，BAD=90，BAP=(90-2)，AN平分PAB，BAN=(90-2)=(45-)；AM平分DAP，AN平分PAB，PAM=PAD，PAN=PAB，MAN=MAP+PAN=PAD+PAB=90=45，ANBM，ANM=90，AMB=180-90-45=45【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)4將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE探究SABC與SADC的比是否為定值（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，SABC：SADE是否為定值

56、？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30角的直角三角板時，SABC：SADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（3）兩塊三角板中，BAE+CAD180，ABa，AEb，ACm，ADn（a，b，m，n為常數(shù)），SABC：SADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖）【答案】（1）結(jié)論：SABC：SADE1，為定值理由見解析；（2）SABC：SADE，為定值，理由見解析；（3）SABC：SADE，為定值理由見解析.【解析】（1）結(jié)論：SABC：SADE=定

57、值如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于G首先證明DAE=CAG，利用三角形的面積公式計算即可（2）結(jié)論：SABC：SADE=定值如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于G首先證明DAE=CAG，利用三角形的面積公式計算即可（3）結(jié)論：SABC：SADE=定值如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于G首先證明DAE=CAG，利用三角形的面積公式計算即可【詳解】（1）結(jié)論：SABC：SADE定值理由：如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于GBAECAD90，BAC+EAD180，BAC+CAG180，DAECAG，ABAEADAC，1（2）如圖2中，S

58、ABC：SADE定值理由：如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于G不妨設(shè)ADC30，則ADAC，AEAB，BAECAD90，BAC+EAD180，BAC+CAG180，DAECAG，（3）如圖3中，如圖2中，SABC：SADE定值理由：如圖1中，作DHAE于H，CGBA交BA的延長線于GBAECAD90，BAC+EAD180，BAC+CAG180，DAECAG，ABa，AEb，ACm，ADn【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型5.（解決問題）如圖1，在中，于點(diǎn)點(diǎn)是邊

59、上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)（1）若，則的面積是_，_（2）猜想線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)若，直接寫出的值【答案】（1）15，8；（2），見解析；（3）；（4）4【解析】解決問題（1）只需運(yùn)用面積法：，即可解決問題；（2）解法同（1）；（3）連接、，作于，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，得出的面積，由的面積的面積的面積的面積，即可得出答案；（4）過點(diǎn)作，垂足為，易證，過點(diǎn)作，垂足為

60、，由解決問題（1）可得，易證，只需求出即可【詳解】解：（1），的面積，且，.故答案為：15，8.（2），且，.（3）連接、，作于，如圖2所示：，是等邊三角形，的面積，的面積的面積的面積的面積，.（4）過點(diǎn)作，垂足為，如圖3所示：四邊形是矩形，由折疊可得：，四邊形是矩形，由解決問題（1）可得：，即的值為4.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，考查了用面積法證明幾何問題，考查了運(yùn)用已有的經(jīng)驗解決問題的能力，體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念，是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題6如圖，已知銳角ABC中，AB、A