內(nèi)蒙古大學(xué)通信原理課件第3章隨機(jī)信號(hào)分析

1、第三章 隨機(jī)信號(hào)分析本章主要內(nèi)容 隨機(jī)信號(hào)與噪聲的特性 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的分析方法3.1 引言通信過(guò)程就是信號(hào)和噪聲通過(guò)系統(tǒng)的過(guò)程。統(tǒng)計(jì)學(xué)上：隨機(jī)過(guò)程。通信中信號(hào)特點(diǎn)：具有不可預(yù)知性隨機(jī)信號(hào)。通信中噪聲特點(diǎn)：具有不確定性隨機(jī)噪聲。3.2 隨機(jī)過(guò)程概述3.1 概述 隨機(jī)過(guò)程是由全部實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體，每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。ttn(t)tn(t)n(t) 基本特征： 為時(shí)間的函數(shù)； 在時(shí)刻t1全體樣本的取值 是一個(gè)不含t 變化的隨機(jī)變量?？梢?jiàn)，隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。（1）分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，t1時(shí)刻的 是隨機(jī)變量，則（t）的統(tǒng)計(jì)特性

2、用以下特征表述。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是用其概率分布和數(shù)字特征來(lái)表述的。顯然，隨即過(guò)程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性。一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：F1(x1,t1)=P(t1) x1二維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù):F2(x1, x2 ；t1 ,t2)=P(t1) x1, (t2) x2 n維概率密度函數(shù)：n維分布函數(shù):Fn(x1, x2 xn; t1 t2 tn)=P(t1) x1 (tn) xn 為了反映隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻取值間的內(nèi)在聯(lián)系，引入：顯然,n越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分，但問(wèn)題的復(fù)雜性也就越大。（2）數(shù)字特征a. 數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均）表

3、示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。b. 方差表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。二者關(guān)系為c. 相關(guān)和協(xié)方差函數(shù)衡量隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程指其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，在通信領(lǐng)域中占有重要地位。一維分布與t無(wú)關(guān)：f1(x,t)=f1(x)二維分布只與有關(guān)：f2(x1, x2; t1, t2) = f2(x1, x2; t1+ , t2+ ) （1） 狹義平穩(wěn) fn(x1,x2, ,xn; t1,t2, ,tn)= fn(x1,x2, ,xn; t1+,t2+, ,tn +)說(shuō)明當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的所有

4、有限維分布函數(shù)是不變的。（2） 廣義平穩(wěn)E(t)=a, D(t)=2, R(t1 ,t1+ )=R()（3） 各態(tài)歷經(jīng)性 用平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)x(t)的數(shù)字特征表示隨機(jī)過(guò)程的全部數(shù)字特征，即可用時(shí)間平均取代統(tǒng)計(jì)平均。平均方差自相關(guān)注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度1 相關(guān)函數(shù)性質(zhì) R（0）=E2(t)=S (t)平均功率可見(jiàn)用相關(guān)函數(shù)可以表示平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)的幾乎所有的數(shù)字特征。 R（）= E2(t) (t)直流功率 |R（）| R（

5、0） 有界 R（）= R（-） 偶函數(shù) R(0) R（）=2 方差 (t)交流功率2 頻譜特性對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅立葉變換關(guān)系。P() R()隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表示的。(t)平均功率功率譜密度P() 的性質(zhì)： P() 0， 非負(fù)性； P(-) = P()，偶函數(shù)性； 所以，定義單邊功率譜密度P0() 為：例：某隨機(jī)相位余弦波 ，其中A和 均為常數(shù)， 是在 內(nèi)均分布的隨機(jī)變量。（1）求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；（2）討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解： （1） (t)是否平穩(wěn)？所以 (t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，即有P() R()（2）求(t)

6、的時(shí)間平均。3.4 高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）通信系統(tǒng)中的噪聲一般均可看成是高斯過(guò)程。我們只討論一維分布的高斯過(guò)程。一維正態(tài)分布：a均值，2方差 f(x) x a標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： f(x) x a f(x)的性質(zhì)： （1）對(duì)稱 x=a直線 （2）單調(diào)性（-，a） （a，+） （3）（4）a變化，f（x）左右平移；變化， f（x）高低、寬窄變化。 幾個(gè)特殊函數(shù)形式概率積分函數(shù)Q函數(shù) 互補(bǔ)誤差函數(shù) erf(0)=0, erf()=1, erf(-x)=-erf(x)誤差函數(shù) erfc(0)=1, erf()=0, erf(-x)=2-erfc(x)正態(tài)分布函數(shù)其中為高斯隨機(jī)變量。當(dāng)xa時(shí)，當(dāng)xa時(shí)，

7、用特殊函數(shù)表示正態(tài)函數(shù)3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)以fc為中心的窄帶系統(tǒng)輸出，其頻譜限制在某一中心頻率fc附近很窄的頻帶上，且fc0.(1) 頻域S(f)f0fc-fc(f)(f)(2) 時(shí)域：頻率近似為fc，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。(t)=a (t) cosct+(t)隨機(jī)過(guò)程表示其中 a (t) 0包絡(luò)函數(shù)， c中心頻率， (t)隨機(jī)相位函數(shù)(t)= c(t) cosct s(t) sinct隨機(jī)過(guò)程表示其中 c(t) = a (t) cos (t)(t)的同相分量 s(t) = a (t) sin (t)(t)的正交分量 a2= 2c+2s=arctg(s/ c)討論平穩(wěn)窄帶隨

8、機(jī)過(guò)程(t)的 c(t) 、 s(t) 和a (t)、 (t)的統(tǒng)計(jì)特性。對(duì)于一個(gè)均值為零、方差為2窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：（1） c(t) 和 s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，在同一時(shí)刻上得到的c、 s不相 關(guān)或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。且有 Ec(t) = Es(t) =0, 2= 2c = 2s （2） a (t)的一維分布是瑞利分布， (t)的一維分布是均勻分布，就一 維分布而言， a 和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。瑞利分布均勻分布3.6 正弦波加窄帶高斯過(guò)程給定時(shí)，zc(t), zs(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，均值不為0，方差相同。 同一時(shí)刻，zc(t), zs(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。表示1信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形信道接收機(jī)BPF噪聲信號(hào)表

9、示2包絡(luò)概率密度 - 廣義瑞利(萊斯)分布Io(x)-零階修正貝塞爾函數(shù)。兩種極限情況：（1）信號(hào)很小，即A0，則r(t)中只存在窄帶高斯噪聲，接近瑞利分布；（2）信號(hào)很大，則f(z)近似為高斯分布，即3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲3.7.1 白噪聲：功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布。自相關(guān)函數(shù)可見(jiàn)，白噪聲只有在=0，才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。雙邊功率譜密度單邊功率譜密度高斯白噪聲：白噪聲取值的概率分布服從高斯分布。通信系統(tǒng)中作為信道中的噪聲模型。3.7.2 帶限白噪聲：白噪聲通過(guò)帶限系統(tǒng)后，且其譜密度具有白噪聲特性。1. 低通白噪聲：限制在（-f0，f0）的白噪聲。

10、2. 帶通白噪聲若 ，則稱為窄帶高斯白噪聲，有2.7 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)建立在確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析原理基礎(chǔ)上的 。h(t)若系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則當(dāng)輸入有界，且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則有1、0(t)的數(shù)學(xué)期望h(t)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可以將vi(t)看成是輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，vo(t)看成是輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，于是有輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積。2、0(t)的自相關(guān)函數(shù)Ro(t1,t1+) o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)t1無(wú)關(guān)。可見(jiàn)，若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。4、0(t)的分布高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后的過(guò)程仍為高斯的，但其數(shù)字特征已發(fā)生改變。3、0(t)的功率譜密度