概率論與數(shù)理統(tǒng)計獨家課件2.第二章

1、課程：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教師：沈其驊郵箱： 辦公室：2號樓306室辦公室電話：67705091百度云網(wǎng)盤： 密碼：math0310正整數(shù)集合 1, 2, 3, 4, 平方數(shù)集合 1, 4, 9, 16, 與正偶數(shù)集合 2, 4, 6, 8, 哪一個集合數(shù)更“多”呢？(可列)無窮 2, 4, 6, 8, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 9, 16, 一一對應(yīng)，所以“一樣多”。請問：大家有看過電影嗎？電影是連續(xù)的還是離散的？世界是連續(xù)的還是離散的？為什么？為什么？一、離散型隨機變量的分布律二、常見離散型隨機變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量 及其分布律引入分布的原因以認(rèn)識離散隨機變量為

2、例, 我們不僅要知道X取哪些值,而且還要知道它取這些值的概率各是多少,這就需要分布的概念.有沒有分布是區(qū)分一般變量與隨機變量的主要標(biāo)志. 這個就是隨機變量X 的概率分布。引例：從盒中任取3 球， 記 X 為取到白球數(shù)。則 X 是一隨機變量。X 可能取的值為: 0, 1, 2。取各值的概率為且說明 一、離散型隨機變量的分布律定義用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律離散型隨機變量的分布律也可表示為解: 依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X =k)0, a 0 ,從中解得即例1設(shè)隨機變量X的分布律為：k =0,1,2, ,試確定常數(shù)a .（2）中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，因為（1）中的數(shù)列為隨機變量的分布律；解

3、例2X 所有可能取的值為0，1，2.于是分布律為以A記事件第一次罰球時罰中, 以B記事件第二次罰球時罰中, 則有 或?qū)⒎植悸蓪懗?.075 0.325 0.6 0 1 2 X線條圖概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX二、常見離散型隨機變量的概率分布 設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為則稱 X 服從 (01) 分布或兩點分布.1.兩點分布 （伯努利試驗）實例1 “拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況. 隨機變量 X 服從 (01) 分布.其分布律為實例2 200件產(chǎn)品中,有19

4、0件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量 X 服從(0 1)分布. 兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點分布.說明2.等可能分布如果隨機變量 X 的分布律為實例 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量 X,則有將試驗 E 重復(fù)進行 n 次, 若各次試驗的結(jié)果互不影響 , 即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果, 則稱這 n 次試驗是相互獨立的, 或稱為 n 次重復(fù)獨立試驗.(1) 重復(fù)獨立試驗3.二項分布(2) n 重伯努利試驗 伯努利

5、資料實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬幣拋 n 次,就是n重伯努利試驗.實例2 拋一顆骰子n次,觀察是否 “出現(xiàn) 1 點”, 就是 n重伯努利試驗.(3) 二項概率公式現(xiàn)在求它的分布律:由試驗的獨立性，得 這種項共有 個，而且兩兩互不相容。 同理可得上式右邊各項所對應(yīng)的概率均為 即 利用概率的加法定理知 顯然 稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布注意: n 重伯努利試驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同； 二項分布描述的是n重伯努利試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A 或 ， 且 P(A) = p ， ； （3

6、）各次試驗相互獨立.例如 在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 b (5,0.6) 的二項分布.分析 這是不放回抽樣. 但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例3解圖示概率分布二項分布的圖形解因此例4 有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過, 問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少? 設(shè) 1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則解例5故所求概率為二項分布 泊松

7、分布4. 泊松分布 泊松資料易于驗證：非負性規(guī)范性泊松分布的圖形泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.泊松定理 設(shè)隨機變量X服從二項分布，其分布律為 ，k = 0,1,2, n.又設(shè) ,( 是常數(shù))，則有二項分布

8、與泊松分布有以下的關(guān)系.該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！注.1 很小 設(shè)1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則所求概率為解例5(續(xù))有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?可利用泊松定理計算例6 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費 , 配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備

9、多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8例7（討論討論! ） 設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一是由四人維護,每人負責(zé)20臺; 其二是由3人共同維護臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障故有即有 按第二種方法故 80 臺中發(fā)

10、生故障而不能及時維修的概率為團結(jié)友愛，干活不累！5. 幾何分布(了解) 若隨機變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實例 對某一目標(biāo)進行射擊，每次射擊的命中率為 p，直至擊中為止，那么所需射擊的次數(shù) X 是一個隨機變量 , 求X 的分布律.所以 X 服從幾何分布.說明 幾何分布可作為描述某個試驗 “首次成功”的概率模型.解幾類常見的離散型分布 分布名稱 記號 分布律 背景 退化分布(單點分布)必然事件兩點分布(或 01分布)X B(1,p) 伯努利概型(0p0)(0p1)稀有事件 分布名稱記號 分布律 背景幾何分布在n重獨立試驗中，A首次發(fā)生的試驗次數(shù)為X.超幾何分布設(shè)N件產(chǎn)品中有M件次品，從中任取n件，其中的次品數(shù)為X.離散型隨機變量的分布兩點分布均勻分布二項分布泊松分布幾何分布二項分布泊松分布兩點分布三、小結(jié)Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel,