高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 直線的方程（精講）(含答案)

1、2.2 直線的方程(精講)思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法考點(diǎn)一 求直線的方程【例1-1】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))寫(xiě)出滿足下列條件的直線的方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率是；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直；(3)斜率是，在y軸上的截距是7；(4)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)；(5)在y軸上的截距是2，且與x軸平行；(6)在x軸、y軸上的截距分別是4，【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【解析】(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率是；則直線方程為，即(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直；則直線方程為(3)斜率是，在y軸上的截距是7；則直線方程為，即(4)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)；則斜率，所以直線方程為，即(5)在y軸上的截距是2，且與x軸平行；則直線方程為(6)在x軸

2、、y軸上的截距分別是4，則直線方程為，即【例1-2】(2021福建)下面說(shuō)法正確的是( ).A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示D經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示【答案】D【解析】經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且斜率存在的直線才可用方程表示，所以A錯(cuò)；不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線才可以用方程表示，所以B錯(cuò)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且斜率存在的直線才可用方程表示，所以C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線可以用方程即表示，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線可以用方程，即表示，因此經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示，所以D對(duì)；故選：D【一隅三反】1(2021重慶高二期末)已知直

3、線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l在y軸上的截距為( )ABC2D4【答案】B【解析】易知的斜率為2，故直線l的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線l的方程為，整理可得，故直線l在y軸上的截距為，故選：B.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求滿足下列條件的直線的方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于過(guò)和兩點(diǎn)的直線；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)與直線平行的直線斜率為-4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)則直線為；(2)過(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率為，則與MN平行且過(guò)點(diǎn)的直線方程為：；(3)直線的斜率為-2，與之垂直的直線斜率為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為；3(2021廣東湛江

4、)根據(jù)下列條件，寫(xiě)出直線的方程，并把它化為一般式.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率是； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，； (4)在x軸、y軸上的截距分別是，【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，其一般式為；(2)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，其一般式為；(3)由兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線方程，其一般式為；(4)由截距寫(xiě)出直線方程，其一般式為；考點(diǎn)二 直線過(guò)定點(diǎn)【例2】(2021惠民縣第二中學(xué)高二期末)已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )ABCD【答案】D【解析】由得，因?yàn)楹愠闪?，所?解得 所以恒過(guò)定點(diǎn) 故選：D【一隅三反】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過(guò)

5、定點(diǎn)坐標(biāo)為()ABCD【答案】C【解析】把直線方程整理為，令，故，所以定點(diǎn)為，故選：C.2(2021黑龍江伊春市伊春二中高二期中(文)直線：必過(guò)定點(diǎn)( )ABCD【答案】D【解析】由直線方程可得過(guò)定點(diǎn).故選：D.3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為( )ABCD【答案】D【解析】，所以，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，由于點(diǎn)在直線上，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.考點(diǎn)三 直線的圖像【例3】(1)(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則斜率和在軸上的截距滿足的條件為( )A， B， C， D，(2)(2021安徽

6、六安市六安一中)直線不過(guò)第二象限，則的取值范圍為( )ABCD【答案】(1)B(2)C【解析】(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象，如圖所示：由圖可知：，.故選：B.(2)若，可得，直線的方程為，該直線不過(guò)第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過(guò)第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.【一隅三反】1(2021全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí))在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)( )A一、二、三象限B一、二、四象限C一、三、四象限D(zhuǎn)二、三、四象限【答案】A【解析】由，令可得，；令可得；即直線過(guò)點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)一、二、三象限.故選：A.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))方程表示的直線可能是ABCD【答案】C【

7、解析】由題意，排除.當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，排除.當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，排除，選.故選：.3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))若直線()經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則系數(shù)滿足的條件為( )A同號(hào) B C D【答案】B【解析】由題意得，直線，即，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以,，即，故選：B.考點(diǎn)四 直線方程在幾何中運(yùn)用【例4】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，試求：(1)邊AC所在直線的方程；(2)BC邊上的中線AD所在直線的方程；(3)BC邊上的高AE所在直線的方程.【答案】(1)3xy+90(2)2x3y+

8、60(3)2xy+60【解析】(1)A(3，0)，C(2，3)，故邊AC所在直線的方程為：，即3xy+90，(2)BC邊上的中點(diǎn)D(0，2)，故BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即2x3y+60，(3)BC邊斜率k，故BC邊上的高AE的斜率k2，故BC邊上的高AE所在直線的方程為y2(x+3)，即2xy+60.【一隅三反】1(2021青海西寧市高二期末(文)一條光線沿直線入射到軸后反射，則反射光線所在的直線方程為( ).ABCD【答案】B【解析】令得，所以直線與軸的交點(diǎn)為，又直線的斜率為，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即.故選：B.2(2021山西)(多選)三條

9、直線，構(gòu)成三角形，則的值不能為( )ABCD2【答案】AC【解析】直線與都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而無(wú)論為何值，直線總不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，所以故選：AC.3(2021廣西)已知直線l的斜率為1，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線l的方程【答案】yx1或yx1【解析】設(shè)直線l的方程為yxb，則它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(b，0)和B(0，b)，所以圍成的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)都為|b|，故其面積為，由，解得b1，故所求直線的方程為yx1或yx14(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))的三個(gè)頂點(diǎn)是，求：(1)邊BC上的中線所在直線的方程；(2)邊BC上的高所在直線的方程；(

10、3)邊BC的垂直平分線的方程【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為則邊BC上的中線所在直線的方程為；(2)邊BC的斜率為，則其上的高的斜率為，且過(guò)，則邊BC上的高所在直線的方程為；(3)由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由(2)知高的斜率為，則邊BC的垂直平分線的方程為.考點(diǎn)五 直線中的最值問(wèn)題【例5】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知直線的方程為(1)當(dāng)時(shí)，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)證明：不論取何值，直線恒過(guò)第四象限(3)當(dāng)時(shí)，求直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和的最小值【答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，得；令，得，所以直線與坐

11、標(biāo)軸圍成的三角形的面積為(2)證明：將直線的方程整理得，由，得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，所以不論取何值，直線恒過(guò)第四象限(3)當(dāng)時(shí)，直線的方程為，定點(diǎn)，在直線的同一側(cè)，其中關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和為，所以當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)【一隅三反】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知直線l：(1)若直線l的斜率是2，求m的值；(2)當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線的方程【答案】(1)m4；(2)xy20.【解析】(1)直線l過(guò)點(diǎn)(m，0)，(0，4m)，則，解得m4.(2)由m0，4m0，得0m4，則.當(dāng)m2時(shí)，S有最大值，故直線l的方程為xy20.2(2021江蘇)如圖，過(guò)點(diǎn)作直線，分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)A，B當(dāng)直線在什么位置時(shí)，的面積最??？最小面積是多少？【答案】當(dāng)直線AB傾斜角為時(shí)，的面積最小，最小面積是2.【解析】依題意，設(shè)點(diǎn)，直線AB的方程為，而點(diǎn)在直線上，于是有，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”，即，于是得a=b=2時(shí)，此時(shí)為等腰直角三角形，面積取最小值2，直線AB傾斜角為，所以當(dāng)直線AB傾斜角為時(shí)，的面積最小，最小面積是2.3(2021上海高二專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線：，：過(guò)點(diǎn)作直線分別交射線于點(diǎn)A，B(1)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)在直線上時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)