趣味數(shù)學(xué)-高斯求和 完整版課件

1、趣味數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)家的故事高斯 1796年的一天，德國(guó)哥廷根大學(xué)，一個(gè)19歲的青年吃完晚飯，開(kāi)始做導(dǎo)師單獨(dú)布置給他的每天例行的數(shù)學(xué)題。 正常情況下，青年總是在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)完成這項(xiàng)特殊作業(yè)。 像往常一樣，前兩道題目在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)順利地完成了。第三道題寫在一張小紙條上，是要求只用圓規(guī)和一把沒(méi)有刻度的直尺做出正17邊形。 青年沒(méi)有在意，像做前兩道題一樣開(kāi)始做起來(lái)。然而，做著做著，青年感到越來(lái)越吃力。 困難激起了青年的斗志：我一定要把它做出來(lái)！他拿起圓規(guī)和直尺，在紙上畫著，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去解這道題。當(dāng)窗口露出一絲曙光時(shí)，青年長(zhǎng)舒了一口氣，他終于做出了這道難題。 作業(yè)交給導(dǎo)師后，導(dǎo)師當(dāng)即驚呆了。他用顫

2、抖的聲音對(duì)青年說(shuō)：“這真是你自己做出來(lái)的？你知不知道，你解開(kāi)了一道有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案？阿基米德沒(méi)有解出來(lái)，牛頓也沒(méi)有解出來(lái)，你竟然一個(gè)晚上就解出來(lái)了！你真是天才！我最近正在研究這道難題，昨天給你布置題目時(shí)，不小心把寫有這個(gè)題目的小紙條夾在了給你的題目里?！?多年以后，這個(gè)青年回憶起這一幕時(shí)，總是說(shuō)：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)難題，我不可能在一個(gè)晚上解決它?！?這個(gè)青年就是數(shù)學(xué)王子高斯。 有些事情，在不清楚它到底有多難時(shí)，我們往往能夠做得更好，這就是人們常說(shuō)的無(wú)知者無(wú)畏。 高斯是貧寒家庭出身。他的祖父是農(nóng)民，父親除了從事園藝的工作外，也當(dāng)過(guò)各色各樣的雜工，如護(hù)堤員、建筑

3、工等等。父親由于貧窮，本身沒(méi)有受過(guò)什么教育。 母親在三十四歲時(shí)才結(jié)婚，三十五歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個(gè)很聰明的弟弟，他手巧心靈是當(dāng)?shù)爻雒目椌I能手，高斯的這位舅舅，對(duì)小高斯很照顧，有機(jī)會(huì)就教育他，把他所知道的一些知識(shí)傳授給他。而父親可以說(shuō)是一名”大老粗”，認(rèn)為只有力氣能掙錢，學(xué)問(wèn)對(duì)窮人是沒(méi)有用的。 高斯在晚年喜歡對(duì)自己的小孫兒講述自己小時(shí)候的故事，他說(shuō)他在還不會(huì)講話的時(shí)候，就已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算了。 高斯還不到三歲的時(shí)候，有一天他觀看父親在計(jì)算受他管轄的工人們的周薪。父親在喃喃的計(jì)數(shù)，最后長(zhǎng)嘆的一聲表示總算把錢算出來(lái)。 父親念出錢數(shù)，準(zhǔn)備寫下時(shí)，身邊傳來(lái)微小的聲音：“爸爸！算錯(cuò)了，錢應(yīng)該

4、是這樣”。 父親驚異地再算一次，果然小高斯講的數(shù)是正確的，奇特的地方是沒(méi)有人教過(guò)高斯怎么樣計(jì)算，而小高斯平日靠觀察，在大人不知不覺(jué)時(shí)，他自己學(xué)會(huì)了計(jì)算。 當(dāng)他還在小學(xué)讀書時(shí)，有一天，算術(shù)老師要求全班同學(xué)算出以下的算式：1+2+3+4+98+99+100=？ 在老師把問(wèn)題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答案5050，而其它孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來(lái)。最后只有高斯的答案是正確無(wú)誤。 原來(lái)：1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101 前后兩項(xiàng)兩兩相加，就成了50對(duì)和都是101的配對(duì)了即10150=5050。高斯的算法123499100？110029939

5、849525051。1100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）10025050。數(shù)列 小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問(wèn)題。若干個(gè)數(shù)按照一定的順序規(guī)律排列起來(lái)就是一個(gè)數(shù)列。 如果在這個(gè)數(shù)列中，任意兩個(gè)相鄰的數(shù)之間的差都相等，我們就把這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列。其中第一個(gè)數(shù)稱為首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)稱為末項(xiàng)。相鄰兩個(gè)數(shù)之間的差稱為公差，這列數(shù)中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。 例 如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。 其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為

6、100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2。 例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得（11999）199921999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11121（項(xiàng)）。 （11+31）212=441在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）例3 371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（993）4125， （399）2521275例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。想：末項(xiàng)=253（40-1）142 （25142）4023340利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求