1979年(高考數(shù)學(xué)試題文理科)

1、一九七九年（理科）.(本題滿分6分)S (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0,求證：x, y, z 成等差數(shù)列。證：(z-x) -4 (x-y) (y-z) = (x+z) 2y(z+x)+4y-=(z+x-2y) 2=0，2y=x+z,所以，x, y, z成等差數(shù)列。.(本題滿分6分)化簡：L.1-CSC2 X解:原式=！=!=!-=-= esc2 X1_11_1 ,1- sinr + tg2x CSC2 X-ctg2x.（本題滿分6分）甲，乙二容器內(nèi)都盛有酒精。甲有公斤，乙有笆公斤。甲中純 酒精與水（重量）之比為皿:巾，乙中純酒精與水之比為叱:m。問 將二者混合后所得液體中純酒

2、精與水之比是多少？ 解：甲中含純酒精公斤），含水公斤）, 町 +77八 +7?!乙中含純酒精-匕（公斤）,含水衛(wèi)二（公斤）+/Jh +）甲乙共含純酒精(叫 +)(% +2)叫+ 叫+% 甲乙共含水叫片 + 叫匕 _ 叫匕（/% + % ） +加y?（叫 +勺）八斤產(chǎn)+ 2?2 =勺匕（加2 +2）+ 2匕（叫+%）公斤叫+勺 m2 + n.混合后純酒精與水之比為叫匕（m2 +n2） + m2v2（m +%）：產(chǎn)（ +n2） + n2v2（mi +,）.（本題滿6分）敘述并證明勾股定理。證：略。.（本題滿10分）外國船只，除特許外，不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域。設(shè) A及B是我們的觀測站，A及

3、B間的距離為S里，海岸線是過A, B的直線，一外國船在P點(diǎn)，在A站測得NBAP=a同時(shí)在B站測 得NBAP=B。問。及B滿足什么簡單的三角函數(shù)值不等式，就應(yīng) 當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國船發(fā)出警告，命令退出我海域？解：作 PC_LAB 于 C,設(shè) PC=d, TOC o 1-5 h z 在直角三角形PAC中，AC=dctga在P直角三角形PC中，BOdctgB/X；S二AC+BC=d （ctga+ctgB）。/當(dāng) dWD,即 ctga+ctg3 找時(shí)，應(yīng)八/_|c B向外國船發(fā)出警告。.（本題滿分10分）設(shè)三棱錐 V-ABC 中，ZAVB= ZBVC= ZCVA=fi。求證：4ABC是銳角三角形。0證

4、一：設(shè) VA=，VB=b, VC=c, AB=p, BC=q, CAr o于是 pj/+b； q2=b2+c2, r2=c2+fl2o 由余弦定理：cosZCAB =a2 +b2 +c- +a2 -(b2 +c2) 2yla2 +b2 -y/c1 +a2NCA8為銳角.同理，ZABC, NBCA也是銳角。證二：作VD_LBC, D為垂足。因VA垂直于平面VAC,所以 VA_LBC又BC_LVD,所以BC垂直于平面VAD,從而BC_LAD 及在AABC中，A在BC邊上的垂足D介于B和C之間。因此， NB和NC都是銳角，同理可證NA也是銳角。.(本題滿分12分)美國的物階從1939年的100增加到

5、四十年后1979年的500,如 果每年物價(jià)增長率相同，問每年增長百分之幾？(注意：x0,(1)乙2-l(Z:-l)-llg20,(2)解此不等式組:由(1)得k 13.2又keN,.攵=14取攵=14,前14項(xiàng)的和S = * - 14 = 28- x0.3010 14.30. 22因此，k應(yīng)適合下列條件：十.(本題滿分18分)設(shè)等腰AOAB的頂點(diǎn)為2 0 ,高為ho.在aOAB內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,到三邊OA, OB, AB的距離分別為|PD , I PF , | PE ,并且滿足關(guān)系|PD |PF| = |PE|2o求P點(diǎn)的軌跡。.在上述軌跡中定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得PD| + |PE|二PF|。Y解：

6、設(shè)OP與正X軸的夾角為a ,則OP =+),2.PD = |(?P|sin(0-a) = |(7P|(sin6cosa -cosOsin a) =xsiiiO- ycosG|PF| = |OP|sin(0 + a) = |OP|(sin 0cosa + cosOsin a)=xsin0+ ycosO由條件|必|尸耳=|尸吁得sin 0- y2 cos2 0 = (/i-x)2,(1)Bpx2 cos2 0-2hx+y2 cos2 0 + h2 = 0除以cos- 0。得)2/7、 h1 njc x+廠 +- = 0cos- 6cos- 0Hll/ h .- z. sin6、，即(X二)一+廠=

7、S二廠cos0cos 0這是以(, 0)為中心，以h上吧為半徑的圓cos- 0cos* 0所求軌跡是此圓在所僧腰三角形內(nèi)的一部分注意：在A作直線AElOA則OE = V /是圓的中心AEf = h上吧是圓 cos- 0cos0的半徑.A是圓上一點(diǎn)而且圓在4的切線是04.2.由條件|尸。| +歸目=|尸產(chǎn)|得xsin 0 - ycos6 + /z-x = xsin 0 + ycosO即x + 2ycos6 = h.(2)此直線通過(h,0)點(diǎn)及(0,一)點(diǎn)由，得2cos0 x2 sin2 0- y2 cos2 0 = 4y2 cos2 0 /. 5y2 cos2 0 = a2 sin2 0,ll

8、l|PD| + |P| = |P目可知y 0,所以這里右.端取正號(hào)代入（2）得2x(l + -7sin 0) = h ：. x =l + sin0 5 + 2sin0 V5)，= JO 即y5 V5 +2sin0 y5 +2sin0所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為同 hig。)V + 2sine、與+ 2sin6一九七九年（文科）一.（本題滿分9分）求函數(shù)y=2xJ2x+l的極小值。解略：x=,時(shí)，y取最小值L22.（本題滿分9分）化簡（l+sin。） -cos O （1+cos-。）2sin4。解：原式二（l+sin 0 +cos- O ） （1+sin- 0 -cos。） （1+cos2 0 +sin 0

9、 ） （1+cos2 0 -sin2 9 ）=4（l-cos20）（l+cos2 0）=4sin2 2 0.（本題滿9分）甲，乙二容器內(nèi)都盛有酒精。甲有匕公斤，乙有笆公斤。甲 中純酒精與水（重量）之比為叫:n1，乙中純酒精與水之比為叱:m。 問將二者混合后所得液體中純酒精與水之比是多少？解：甲中含純酒精公斤），含水一（公斤）， TOC o 1-5 h z 叫+m+勺乙中含純酒精（公斤），含水（公斤）m. +,+）4甲乙共含純酒精tn2v2 _ 叫匕(m2 + n2) + m2v2(/w( + 刀)公斤m. 十、甲乙共含水之 + 取為 =產(chǎn)|(%+%)+ 2匕(叫+為)公斤 叫 + ” ni2

10、+ “2混合后，純酒精與水之比為zMjV, (m2 +n2) + 叱(人 + i): W|VI (m2 + n2) +，”叱(叫 + %).(本題滿分9分)敘述并且證明勾股定理。解：略。.(本題滿分14分)外國船只，除特許外，不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域。 設(shè)A及B是我們的觀測站,A及B間的距離為S里,海岸線是過A, B的直線，一外國船在P點(diǎn)，在A站測得NBAP二a同時(shí)在B站測 得NBAP=B。問a及B滿足什么簡單的三角函數(shù)值不等式，就應(yīng) 當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國船發(fā)出警告，命令退出我海域？ 解:作 PC_LAB 于 C,設(shè) PC=d, 在直角三角形PAC中，AC=dctga在p直角三角形PC

11、中，BC=dctgB/.S=AC+BC=d (ctg a +ctg P )。/當(dāng) dWD,即 ctga+ctgB 2,時(shí)，應(yīng) A / lc B 向外國船發(fā)出警告。.(本題滿分14分)美國的物階從1939年的100增加到四十年后1979年的500, 如果每年物價(jià)增長率相同，問每年增長百分之幾？(注意：x0. 1, 可用：ln(l+x)=x,取 lg2=0. 3, lnl0=2. 3) 解：年增長率x應(yīng)滿足100 (1+X) ,0=500,即(1+X)4O=5.取自然對(duì)數(shù)有401n(l+x)=ln5.又 lg5=l-0. 3=0. 7 ln5=lnl01g5=2. 3X0. 7=1. 61利用ln

12、(l+x)4x,則有xln5/40=l. 61/40=0. 04025-4% 答：每年約增長百分之四。.（本題滿分18分）過D作該圓的切線與CE設(shè)CEDF是一個(gè)已知圓的內(nèi)接矩形, 的延長線相交于點(diǎn)A,與CF的延長線相交于點(diǎn)B。求證：=AE AC3證：連接CD。因NCFD=900,所以CD 為圓0的直徑，又AB切圓。于D, CD_LAB。又在直角三角形ABC中， ZACB=90,Z.AC2=AD AB, BC：=BD BA。吼畫 （1）AD AC2又因 BD:=BC BF, AD?=AC - AEo,零=改變AD2 ACAE由（1）與（2）得BCBF BC4 BF BC3AC-AE -就7 .下一書 八,（本題滿分14分）過原點(diǎn)0作圓x?+y2-2x-4y+4=0的任意割線交圓于R,巳兩點(diǎn)。 求PR的中點(diǎn)P的軌跡。Y解：設(shè)割線0PR的直線方程為y=kx 代入圓的方程，得： x_+k:x-2x-4kx+4=0BP（l+k2）x2-2（l+2k）x+4=0設(shè)兩根為X1，X?即直線與圓的兩交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)；由韋達(dá)定理得：_ 2（1 +2k）又設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x, y）oP