初中數(shù)學(xué)北師大八年級下冊（2023年修訂）綜合與實踐《平面圖形的鑲嵌》教學(xué)設(shè)計

1、綜合實踐課程之平面圖形的鑲嵌教學(xué)設(shè)計成都七中育才學(xué)校 汪夢瑤教材分析 “平面圖形的鑲嵌”是北師大八年級數(shù)學(xué)下冊綜合實踐課程，是在學(xué)生理解并掌握圖形的平移、旋轉(zhuǎn)及多邊形的內(nèi)角和與外角和等幾何概念的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際生活之中。體現(xiàn)了多邊形在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值， 也是開發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一個重要渠道。本節(jié)內(nèi)容為1課時，讓學(xué)生經(jīng)歷探索多邊形的鑲嵌的過程，感受正三角形、四邊形和正六邊形可以平面鑲嵌，可以運用解不定方程來確定多元鑲嵌的可實行性，并能運用這幾種圖形進行簡單的平面鑲嵌設(shè)計。教學(xué)目標（1）通過探索平面圖形的鑲嵌，使學(xué)生了解平面圖形鑲嵌的概念，了解任意正三角形、四邊形或正六邊形可

2、以鑲嵌平面圖形，并能運用這幾種圖形進行簡單的平面圖形鑲嵌設(shè)計；（2）運用列不定方程來驗證多元鑲嵌的可能性；（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、動手操作能力。（4）引導(dǎo)學(xué)生在圖形鑲嵌和拼圖解題的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實際問題，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。（5）讓學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)的美，進一步發(fā)展學(xué)生的審美情趣。教學(xué)重點探索多邊形鑲嵌要素以及多邊形鑲嵌要素的過程。教學(xué)難點尋找多邊形鑲嵌的要素,并如何運用鑲嵌的要素解決問題。教學(xué)過程設(shè)置情景，引入課題概念設(shè)置情景：老師買新房要裝修地板，請同學(xué)們幫忙出出主意。首先向同學(xué)們展示班上同學(xué)事先給老師拍攝的家庭地磚照片和

3、老師嘗試的失敗案例(如圖).提問學(xué)生這些成功的地磚有什么共同特征？從以下三個方面著手： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 每種鋪法用了幾種基本圖形？ = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 這些基本圖形的形狀、大小有什么特點？ = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 有無縫隙、重疊？共同特征：這些圖案是用一種或幾種形狀相同的圖形組成的;這些圖形不但是形狀相同，而且大小也一樣,也就是全等的圖形;這些圖形與圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊。3、引入本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念歸納:這些圖案是“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地

4、鋪成一片”，這就是數(shù)學(xué)上“平面圖形的鑲嵌”，又稱做“平面圖形的密鋪”。這節(jié)課，我們一起來進行課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”。多媒體投影本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念:用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這叫做平面圖形的鑲嵌，或平面圖形的密鋪.二、拼接紙片，探索鑲嵌條件1、用正三角形、正方形、正五邊形正六邊形硬紙片模擬鋪地面磚同學(xué)們之前的分析幫助老師知道了要想成功鋪出地磚，就要實現(xiàn)鑲嵌的事例導(dǎo)入。請同學(xué)分別用正三角形、正方形、正五邊形和正六邊形硬紙片拼接圖形,彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片（如圖）,同學(xué)們分組同步拼接, 老師在一旁指導(dǎo)。分組討論后

5、請小組到黑板上來擺出拼接的圖案。在動手過程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，可以實現(xiàn)鑲嵌的有：正三角形、正方形和正六邊形，而正五邊形無法實現(xiàn)鑲嵌。讓學(xué)生想一想下列問題, 分組討論、交流, 探索多邊形鑲嵌的要素？讓學(xué)生討論得出: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 因為正六邊形的每一個內(nèi)角是1200，在每一個拼接頂點處有3個正六邊形, 分別有一個內(nèi)角,它們彼此相鄰,這三個內(nèi)角的和是360。如圖，正三角形、正方形鑲嵌也滿足以拼接點為頂點的各角之和為360o。 從第 看出,如果一種平面圖形能鑲嵌,那么這種圖形的若干個內(nèi)角的和是多少度? 讓學(xué)生討論得出:如果一種平面圖形能鑲嵌,那么這種圖形的若干個內(nèi)角的和是

6、360. 正五邊形的每個內(nèi)角是多少度?它的若干個內(nèi)角的和能等于360o嗎?想一想,全等的正五邊形能鑲嵌嗎?讓學(xué)生討論得出:不能。因為正五邊形的每一個內(nèi)角是1080，不存在正整數(shù)，使成立，所以只用正五邊形不能進行鑲嵌。(如圖）由上得出多邊形鑲嵌的要素:以拼接點為頂點的各角之和為360o。進一步得到正多邊形能夠鑲嵌的條件是：正多邊形的內(nèi)角讀書是360的因數(shù)。2、用老師只能買到邊角余料的事例導(dǎo)入用不規(guī)則四邊形鋪地板，讓學(xué)生深入理解鑲嵌的要素。讓學(xué)生分小組動手操作看看是否能將形狀大小完全相同的不規(guī)則四邊形實現(xiàn)鑲嵌呢？你是怎么做到的呢？為了輔助學(xué)生操作并且歸納，老師將每一塊四邊形的內(nèi)角都編號。我們知道，

7、任意四邊形的內(nèi)角和為，即。把一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形邊角余料用來鋪地板，按照圖示拼接，只需要將每一個內(nèi)角都放置在一個拼接頂點處，就可以不留空隙，鋪成一大片（演示大面積拼法）。（在活動過程中，可能會有學(xué)生將不相等的邊拼接在一起產(chǎn)生了不同的鑲嵌方式，將思考這兩類不同的鑲嵌方式的根本區(qū)別、是否都能大面積密鋪、哪一種方式更方便鋪滿整個平面作為課后思考題。）三、開放操作，培養(yǎng)動手能力感受數(shù)學(xué)之美1、用2種基本圖形實現(xiàn)鑲嵌，進一步鞏固鑲嵌的要素在經(jīng)歷使用一種基本圖形實現(xiàn)鑲嵌之后，引導(dǎo)學(xué)生使用2種基本圖形實現(xiàn)多元鑲嵌。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過動手操作可能會拼接出各樣的圖形，但是很多孩子會忽略掉鑲

8、嵌的要素而只是通過直觀層面看可否拼接。分組活動后請2到3個小組上臺展示成果，這時老師需要在黑板上明確演算360度的計算過程，讓孩子們明確手工操作有誤差，要確認是否可以鑲嵌還是要回歸到要素的計算上面去。利用解不定方程來確定多元鑲嵌是否能夠?qū)崿F(xiàn)在上一環(huán)節(jié)中學(xué)生操作了用2種基本圖形來鑲嵌，老師提問：在同學(xué)們手上沒有模型的情況下，能不能解決正三角形和正八邊形是否能夠鑲嵌的問題呢？請學(xué)生思考并請同學(xué)作答。我們知道正三角形的內(nèi)角為，正八邊形內(nèi)角為，假設(shè)在一個頂點處有個正三角形，個正八邊形，如果能夠?qū)崿F(xiàn)鑲嵌，則需要滿足，化簡可得，結(jié)合都是正整數(shù)故而無解。通過計算過程，學(xué)生借助簡單的不定方程來解決鑲嵌問題。課堂升華，感受數(shù)學(xué)之美首先老師展示一個較為簡單的鑲嵌過程，讓學(xué)生感受可以通過剪切、平移、粘貼來進行鑲嵌設(shè)計、鑲嵌不僅僅局限于多邊形。接下來通過微課展示一個相對復(fù)雜的鑲嵌設(shè)計，鼓勵學(xué)生設(shè)計自己的鑲嵌圖形。微課演示老師設(shè)計鑲嵌圖形的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過剪切、重拼、粘貼、裝飾，挑戰(zhàn)老師設(shè)計出更美麗的鑲嵌圖案。將設(shè)計好的作品粘貼