全國高中三角函數(shù)典型例題(教用)

1、典型例題】1、已知 tan x 2 ，求 sin x,cos x的值解： 因?yàn)?tan x sin x 2 ，又 sin2 a cos2 a 1 ， cosxsin x 2 cos x聯(lián)立得 2 2sin 2 x cos 2 x 1解這個(gè)方程組得25sin x555cosx525sin xcosx 5cosx52、求 tan( 120 ) cos(210 )sin( 480 ) 的值 tan( 690 )sin( 150 ) cos(330 )tan( 120 180 ) cos(180 30 )sin( 360 120 ) 解： 原式otan( 720 30o) sin( 150 ) cos

2、(360 30 )tan 60 ( cos30 )( sin120 )3 3.tan30 ( sin150 ) cos303、若 sin x cosx 2,，求 sin xcos x 的值 sin x cos x解： 法一：因?yàn)?sinx cosx 2, sin x cos x所以 sin x cos x 2(sin x cos x)得到sin x3cos x ，又 sin2a cos2 a 1 ，聯(lián)立方程組，解得sin x 310103 10sin x 101010 cosx 1010 cosx10法二：因?yàn)閟in x cosx2,sin x cosx所以 sin xcosx3所以 sin

3、x cosx 2(sin x cosx) ，所以 (sinx cosx)2 4(sin x cos x) 2 ，所以 1 2sinxcosx 4 8sinxcosx，3所以有 sin xcosx104、求證： tan2 xsin2x tan2 x sin2x。x5、求函數(shù) y 2sin( ) 在區(qū)間 0,2 上的值域。x x 7 解：因?yàn)?0 x 2 ，所以 0 ， 由正弦函數(shù)的圖象，6 2 6 6得到y(tǒng) 2sin( 2x 6)12,1 ，所以 y 2sin( 2 6)1,26、求下列函數(shù)的值域2(1) y sin2 x cosx 2；(2) y 2sin xcosx (sin x cos x

4、) )解：( 1) y sin2 x cosx 222=1 cos x cosx 2 (cos x cosx) 31382 1 2 13 1 2 13 令t cosx ，則 t 1,1, y(t 2 (cos x sin x) sin2x cos2x sin2x 2sin( 2x)2 sin( 2x )44所以最小正周期為 ()若 x 0, ，則 (2x ) ,3 ， 所以 當(dāng) x=0 時(shí) ，f(x) 取最 大值 為 t) 3 (t )2 (t )22 4 2 4利用二次函數(shù)的圖象得到 y 1, .(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)= (sin x cosx)2 1 (

5、sinx cosx)令 t sin x cosx 2 sin(x )，則 t 2, 2425則 y t 2 t 1, 利用二次函數(shù)的圖象得到 y ,1 2.7、若函數(shù) y=Asin( x+)( 0，0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為 (2, 2) ，它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與 x 軸交于 (6，0) ，求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式。 矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。解：由最高點(diǎn)為 (2, 2)，得到 A 2 ，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期，從而與 x 軸 TOC o 1-5 h z 1T交點(diǎn)的間隔是 個(gè)周期，這樣求得4 ， T=16，所以聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。448又由 2 2 sin( 2 ) ，得到可以取. y

6、 2 sin( x ).84 84448、已知函數(shù) f ( x)=cos x 2sin xcosxsin x()求 f(x)的最小正周期；()若 x 0, , 求 f(x)的最大值、最小值數(shù)1 sin xy 的值域cos x4 2 2 2 22 4 4 4 1;當(dāng) x 3時(shí)， f ( x)取最小值為2.解： ( ) 因?yàn)?f( x)=cos x 2sin xcos x sin4 x (cos xsin x)(cos xsin x) sin2 x 殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。9、已知 tan2 ，求(1)cossincos sin；( 2)sin 2sin .cos2cos2 的值.sin1解：(1)

7、 cossincoscossinsin1cos1 tan1 tan1 2 3 2 2 ；1222(2)sin 2sin cos2cos2sin2sin cos2cos2sin2cos2sin2sin22cos cossin22 1cos22 2 221423說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) (如果不具備， 通過構(gòu)造的辦法得到) ，進(jìn)行弦、 切互化， 就會使解題過程簡化。210 、求函數(shù) y 1 sinx cosx (sinx cosx) 的值域。解：設(shè) t sinx cosx 2 sin( x ) 2，2 ，則原函數(shù)可化為4y t2 t 1 (t 所以 f (x) 的最小正周期 T ，因?yàn)?x R，

8、)2 3，因?yàn)?t 2，2 ，所以24當(dāng)t2 時(shí)，ymax3 2，當(dāng)t 2時(shí)， ymin 4，所以，函數(shù)的值域?yàn)閥 34，3 2 。11、已知函數(shù) f(x) 4sin 2 x 2sin 2x 2，x R ；( 1)求 f (x)的最小正周期、 f(x) 的最大值及此時(shí) x 的集合；(2)證明：函數(shù) f(x) 的圖像關(guān)于直線 x對稱。8解： f(x) 4sin2 x 2sin 2x 2 2sinx 2(1 2sin2 x)2sin 2x 2cos 2x 2 2 sin(2 x )4 3 所以，當(dāng) 2x 2k ，即 x k 3時(shí)， f ( x)最大值為 2 2 ；2 8(2) 證明：欲證明函數(shù) f

9、 (x) 的圖像關(guān)于直線 x 對稱，只要證明對任意 x R ，有8 f( x) f ( x) 成立，88因?yàn)?f( x) 2 2 sin2( x) 2 2sin( 2x) 2 2cos2x ， 8 8 4 2f ( x) 2 2 sin2(x) 2 2sin( 2x) 2 2cos2x ，88 4 2所以 f( 8 x) f( 8 x)成立，從而函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x 8 對稱。12 、已知函數(shù)xR)y= 1 cos2x+ 3sinx cosx+1221)當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時(shí)，求自變量 x 的集合；2)該函數(shù)的圖像可由 y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？1

10、 2 31213解：( 1)y= cos x+sinx cosx+1= (2cos2x1)+(2sinx cosx )+122444釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。1515= cos2x+sin2x+(cos2x sin +sin2x cos)+4442664= 1 sin(2x+ )+ 52 6 4所以 y 取最大值時(shí)，只需 2x+ = +2k, (kZ)，即 x=+k, ( kZ)。6 2 6所以當(dāng)函數(shù) y 取最大值時(shí)，自變量 x 的集合為 x|x= +k,k Z 6( 2)將函數(shù) y=sinx 依次進(jìn)行如下變換：i )把函數(shù) y=sinx 的圖像向左平移 ，得到函數(shù) y=sin(x+ ) 的圖像；66ii )把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍(縱坐標(biāo)不變) ，得到函數(shù)222y=sin