2021-2022學年天津北辰區(qū)大張莊中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

1、2021-2022學年天津北辰區(qū)大張莊中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時不等式成立，若， ，則大小關系是（ ）A B C D參考答案：D2. 若，則（）A. B. C. D. 參考答案：A【分析】由，再由題中數(shù)據(jù)，即可得出結果【詳解】因為，所以，故選：A【點睛】本題考查給值求值的問題，熟記誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系、二倍角公式即可，屬于基礎題3. 在直角坐標系xOy中，若x，y滿足，則z=2x+y的最大值為（）A0B1C3D2參考答案：B考點：簡單線性規(guī)劃3

2、804980專題：不等式的解法及應用分析：先畫出滿足約束條件的可行域，并求出各角點的坐標，然后代入目標函數(shù)，即可求出目標函數(shù)z=2x+y的最大值解答：解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由圖可知，當x=0，y=1時，z=2x+y取最大值1故選B點評：本題考查的知識點是簡單的線性規(guī)劃，其中根據(jù)約束條件畫出可行域，進而求出角點坐標，利用“角點法”解題是解答本題的關鍵4. 已知為的外心，。若，則的最小值為（ ） A、1B、C、D、2參考答案：D略5. 我校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調查，若抽到編號之和為48，則抽

3、到的最小編號為（）A 2B3C4D5參考答案：考點：系統(tǒng)抽樣方法專題：計算題；概率與統(tǒng)計分析：求出系統(tǒng)抽樣的抽取間隔，設抽到的最小編號x，根據(jù)編號的和為48，求x即可解答：解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=6設抽到的最小編號x，則x+（6+x）+（12+x）+（14+x）=48，所以x=3故選：B點評：本題考查了系統(tǒng)抽樣方法，熟練掌握系統(tǒng)抽樣的特征是解答本題的關鍵6. 下面是關于復數(shù) 的四個命題:, 的共軛復數(shù)為 的虛部為其中真命題為 （ ） 參考答案：C略7. 已知是等差數(shù)列，則過點 的直線斜率是（ ）（A） （B） （C） （D） 參考答案：B8. 下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是（）A. i（1+

4、i）2B. i2（1i）C. （1+i）2D. i（1+i）參考答案：C , , ,所以選C.9. 在平行四邊形中，設，則（ ）ABCD參考答案：A10. 在圓內，過點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（ ）A B C D參考答案：B略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 若滿足約束條件：；則的取值范圍為 。參考答案：-3,012. 數(shù)列滿足且對任意的，都有，則的前項和_.參考答案：由可得，所以。所以。由得，令，得，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以。13. 在中，且的面積為，則邊的長為_.參考答案：略14. 已知且，則等于_參考答案：【知識點】復數(shù)及其有關概念. L

5、4 解析：.【思路點撥】根據(jù)復數(shù)模的意義求解.15. 某個地區(qū)從某年起幾年內的新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)如下表（結果保留兩位有效數(shù)字）：時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數(shù)554490131352017191男嬰數(shù)2716489968128590男嬰出生頻率（1）填寫表中的男嬰出生頻率；(2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是_.參考答案：（1）0.49 0.54 0.50 0.50 (2）0.5016. 如果直線與直線平行，則 .參考答案：317. 某四面體的三視圖如圖所示，則其四個面中面積最大的是_參考答案： 三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

6、在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，),在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（1）求曲線的普通方程，并將的方程化為極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，若曲線與的公共點都在上，求的值.參考答案：（1）（2）試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)平方關系消參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；再利用將的方程化為極坐標方程；（2）將代入的極坐標方程得 ，再將代入的極坐標方程得,解得.19. （本小題滿分12分） 已知是公差不為零的等差數(shù)列，1，且，成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項;（）求數(shù)列的前n項和.參考答案：（）由題設知公差d0，由1，成等比數(shù)列得，4分解得d1，d0（舍去）， 故的通

7、項1+（n1）1n.7分()由（）知，9分由等比數(shù)列前n項和公式得 12分20. 已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓的兩條切線，切點分別為M，N（M，N不在坐標軸上），若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值；（3）若是橢圓上不同兩點，軸，圓E過，且橢圓C2上任意一點都不在圓E內，則稱圓E為該橢圓的一個內切圓，試問：橢圓C2是否存在過焦點F的內切圓？若存在，求出圓心E的坐標；若不存在，請說明理由參考答案：（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）由焦點坐標確定出c的值，根據(jù)橢圓的性質列出a與b的方程，再將

8、P點坐標代入橢圓方程列出關于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可（2）由題意：確定出C1的方程，設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根據(jù)M，N不在坐標軸上，得到直線PM與直線OM斜率乘積為1，確定出直線PM的方程，同理可得直線PN的方程，進而確定出直線MN方程，求出直線MN與x軸，y軸截距m與n，即可確定出所求式子的值為定值（3）依題意可得符合要求的圓E，即為過點F，P1，P2的三角形的外接圓所以圓心在x軸上根據(jù)題意寫出圓E的方程由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點到圓E距離的最小值是|P1E|，結合圖形可得圓心E在線段P1P2上，半徑最小又由于點F已知，即

9、可求得結論【詳解】（1）橢圓C：的右焦點為F（1，0），且點P（1,）在橢圓C上；，解得a2，b，橢圓C的標準方程為（2）由題意：C1：，設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），M，N不在坐標軸上，kPM，直線PM的方程為yy2（xx2），化簡得：x2x+y2y，同理可得直線PN的方程為x3x+y3y，把P點的坐標代入、得，直線MN的方程為x1x+y1y，令y0，得m，令x0得n，x1，y1，又點P在橢圓C1上，（）2+3（）24，則為定值 （3）由橢圓的對稱性，可以設P1（m，n），P2（m，n），點E在x軸上，設點E（t，0），則圓E的方程為：（xt）2+y2（mt）2+

10、n2，由內切圓定義知道，橢圓上的點到點E距離的最小值是|P1E|，設點M（x，y）是橢圓C上任意一點，則|ME|2（xt）2+y2，當xm時，|ME|2最小，m，又圓E過點F，（）2（mt）2+n2，點P1在橢圓上，由，解得：t或t，又t時，m2，不合題意，綜上：橢圓C存在符合條件的內切圓，點E的坐標是（，0）【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，韋達定理，以及橢圓的簡單性質，熟練掌握橢圓的簡單性質是解本題的關鍵21. 滬昆高速鐵路全線2016年12月28日開通運營途經(jīng)鷹潭北站的G1421、G1503兩列列車乘務組工作人員為了了解乘坐本次列車的乘客每月需求情況，分別在兩個

11、車次各隨機抽取了100名旅客進行調查，下面是根據(jù)調查結果，繪制了月乘車次數(shù)的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表乘車次數(shù)分組頻數(shù)0，5）155，10）2010，15）2515，20）2420，25）1125，05（1）若將頻率視為概率，月乘車次數(shù)不低于15次的稱之為“老乘客”，試問：哪一車次的“老乘客”較多，簡要說明理由；（2）已知在G1503次列車隨機抽到的50歲以上人員有35名，其中有10名是“老乘客”，由條件完成22列聯(lián)表，并根據(jù)資料判斷，是否有90%的把握認為年齡與乘車次數(shù)有關，說明理由老乘客新乘客合計50歲以上50歲以下合計附：隨機變量 （其中n=a+b+c+d為樣本容量）P（k2k0）0.2

12、50.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024 參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用；概率的意義【分析】（1）分別計算G1421次與G1503次“老乘客”的概率，比較即可得出結論；（2）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表，計算觀測值k2，對照臨界值表得出結論【解答】解：（1）G1421次“老乘客”的概率為P1=（0.052+0.04+0.008）5=0.5，G1503次“老乘客”的概率為；P1P2，G1421次老乘客較多；（2）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表如下；老乘客新乘客合計50歲以上10253550歲以下303565合計4060100計算k2=2.932.706，有90

13、%的把握認為年齡與乘車次數(shù)有關【點評】本題考查了頻率分布直方圖和獨立性檢驗的應用問題，是基礎題22. 如圖甲所示，BO是梯形ABCD的高，BAD=45，OB=BC=1，AD=3BC，現(xiàn)將等腰梯形ABCD沿OB折起如圖乙所示的四棱錐POBCD，且PC=，點E是線段OP的中點（1）證明：OPCD；（2）在圖中作出平面CDE與PB交點Q，并求線段QD的長度參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的性質【分析】（1）推導出OPOC，OBOP，從而OP平面OPD，以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法推導出DE和SC不可能垂直（2）作出Q點，利用坐標系求出Q的坐標，利用空間距離公式求解即可【解答】證明：（1）如圖甲所示，因為BO是梯形ABCD的高，BAD=45，所以AO=OB，因為BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=，如圖乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP2+OC2=PC2，所以OPOC，而OBOP，OBOC=O，所以OP平面OPD，又OBOD，所以OB、OD、OP兩兩垂直故以O為原點