期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型及BS公式

1、1第六章：期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型第一節(jié)連續(xù)時(shí)間股票模型第二節(jié)離散模型第三節(jié)連續(xù)模型的分析第四節(jié)Black-Scholes模型第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo)第六節(jié)看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價(jià)第七節(jié)二叉樹模型和連續(xù)時(shí)間模型第八節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)股價(jià)模型應(yīng)用的注意事項(xiàng)2022/9/42第一節(jié)連續(xù)時(shí)間股票模型 保羅薩繆爾森在1965年首次提出： （5-1）股票在時(shí)刻的價(jià)格常量服從布朗運(yùn)動(dòng)。 其中：1826年英國(guó)植物學(xué)家布朗（1773-1858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。后來(lái)把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做布朗運(yùn)動(dòng)。 第二節(jié)離散模型 2022/9/44若表示 T 時(shí)刻的股價(jià)則根據(jù)二叉樹模型，在一個(gè)給

2、定時(shí)間間隔2022/9/45第二節(jié)離散模型 于是令這表明k個(gè)小時(shí)間段的共同影響等同于相應(yīng)大時(shí)間段的影響。2022/9/46第二節(jié)離散模型 上式是下列微分方程的解：（5-2）第二節(jié)離散模型 2022/9/47在式（5-1）中，如果令即可得到上述微分方程，這是一個(gè)確定性的公式。然而，股價(jià)并不具有公式（5-2）所示的可預(yù)測(cè)性和確定性。令隨機(jī)變量定義其中，為常數(shù)第二節(jié)離散模型 2022/9/48于是，可得股價(jià)序列即設(shè)（5-3）2022/9/49第二節(jié)離散模型 于是得： （5-4）與式（5-2）相比有什么特點(diǎn)？包含了隨機(jī)項(xiàng)，因此更接近實(shí)際！2022/9/410第二節(jié)離散模型 該模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，包含了隨機(jī)

3、變量；但存在一個(gè)不足之處，即有兩個(gè)不確定項(xiàng)。第一個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自中的，其作用類似于債券第二個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自于當(dāng)然希望期望的所有的漂移來(lái)自于一個(gè)方面，即和貨幣基金市場(chǎng)中的利率2022/9/411第二節(jié)離散模型 為能對(duì)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換，并對(duì)不確定性進(jìn)行合并。對(duì)進(jìn)行重新定義：為什么？2022/9/412第二節(jié)離散模型 于是隨機(jī)變量Z 的一個(gè)重要等式（5-5）第二個(gè)因素表示的隨機(jī)變量的漂移率為零2022/9/413第二節(jié)離散模型 若令：則：因?yàn)椋哼M(jìn)一步2022/9/414第二節(jié)離散模型 式（5-6）的分析：股票的初始價(jià)格；漂移因子（復(fù)利因子）；隨機(jī)因子；修正因子。則（5-6）第二節(jié)離散模型 2022/9/

4、415特別注意：模型（5-6）盡管也是一種離散模型，但比二叉樹模型具有更豐富的意義。因?yàn)樵试S取任何正值為什么？2022/9/416第二節(jié)離散模型 當(dāng)時(shí)是否否！第二節(jié)離散模型 式（5-6）中將時(shí)間分成小的增量，并考慮步運(yùn)行的影響，一段固定的時(shí)間 可以分成許多小時(shí)間段。 事實(shí)上，針對(duì)同樣的時(shí)間，可以分成不同的個(gè)區(qū)間。 應(yīng)該注意到：隨著的增加，的方差 會(huì)增加。為了使得的總方差獨(dú)立于，需要對(duì)常量 隨 進(jìn)行調(diào)整。2022/9/419第二節(jié)離散模型 可以在和之間建立一個(gè)關(guān)系式，使得的方差等于2022/9/420即令：于是式（5-6）其中2022/9/421第二節(jié)離散模型 對(duì)數(shù)正態(tài)模型（為什么？） （5-7

5、）：表明長(zhǎng)期趨勢(shì)；：表明波動(dòng)率。這兩個(gè)參數(shù)如何影響股價(jià)？2022/9/424第三節(jié)連續(xù)模型的分析 （5-8）式中，由此得到的就是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM）。方程（5-1）的解（幾何布朗運(yùn)動(dòng)）式（5-8）與具有連續(xù)時(shí)間變量T的離散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一個(gè)SDE，一般SDE沒(méi)有簡(jiǎn)潔的封閉形式的解。2022/9/425第三節(jié)連續(xù)模型的分析 特別注意：目的：對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)第三節(jié)連續(xù)模型的分析 2022/9/426幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)：思路：用樣本均值和方差來(lái)代替總體的均值和方差若已知在一段較長(zhǎng)時(shí)間0,T內(nèi)的股價(jià)數(shù)據(jù) ，這段時(shí)間由n個(gè)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間所構(gòu)成，如果已知第個(gè)子區(qū)間末的股

6、價(jià)，則樣本觀測(cè)值有n+12022/9/427第三節(jié)連續(xù)模型的分析 計(jì)算時(shí)間序列值：由于（5-9）第一步2022/9/428第三節(jié)連續(xù)模型的分析 應(yīng)該注意到：于是，理論上2022/9/429第三節(jié)連續(xù)模型的分析 樣本均值：樣本方差：根據(jù)式（5-9）的觀測(cè)值的均值為方差為。第二步2022/9/430第三節(jié)連續(xù)模型的分析 解方程：得第三步2022/9/431第三節(jié)連續(xù)模型的分析 一般經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于將應(yīng)用波動(dòng)率所對(duì)應(yīng)的時(shí)期。 第三節(jié)連續(xù)模型的分析 習(xí)題：以下是包鋼股票2007年3月20日到2007年3月23日半小時(shí)價(jià)，請(qǐng)以天為時(shí)間單位計(jì)算。3月20日3月21日3月22日3月23日5

7、.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/9/432假設(shè)：證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和為常數(shù)；允許賣空；沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付；不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/9/433第四節(jié)Black-Scholes公式 第

8、四節(jié)Black-Scholes公式 2022/9/434由Black-Scholes公式，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格（5-10）式中股票現(xiàn)價(jià)期權(quán)價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格距離到期的時(shí)間2022/9/435第四節(jié)Black-Scholes公式 是否注意到，這一公式中沒(méi)有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù)是投資者在短時(shí)間后獲得的預(yù)期收益率，依附于某種股票的衍生證券的價(jià)值一般獨(dú)立于。 參數(shù)是股票價(jià)格波動(dòng)率。2022/9/436第四節(jié)Black-Scholes公式 Black-Scholes定價(jià)系統(tǒng)在完全市場(chǎng)中得到期權(quán)價(jià)格與漂移率無(wú)關(guān)，被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，無(wú)套利是這種定價(jià)的基本假設(shè)。 Black-Scholes方

9、程的結(jié)果認(rèn)為，由于在方程中消掉了漂移項(xiàng)，而漂移項(xiàng)代表人們對(duì)證券價(jià)格未來(lái)變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險(xiǎn)期望收益率。因此，這意味著期權(quán)的價(jià)格與人們對(duì)證券價(jià)格未來(lái)變化的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并不影響期權(quán)價(jià)格。從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。2

10、022/9/437第四節(jié)Black-Scholes公式 所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說(shuō)，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。2022/9/438第四節(jié)Black-Scholes公式 2022/9/439第四節(jié)Black-Scholes公

11、式 應(yīng)該注意的是：實(shí)際期權(quán)交易中，很多看漲期權(quán)是通過(guò)競(jìng)價(jià)市場(chǎng)而非理論公式定價(jià)。第四節(jié)Black-Scholes公式 習(xí)題：若某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求V2022/9/440第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 一、修正的模型主要思路：讓模型定價(jià)等于市價(jià)2022/9/441資產(chǎn)組合：a股價(jià)格為S0的股票現(xiàn)金b則投資額為： （5-11）經(jīng)過(guò)時(shí)間后，投資的資金將變?yōu)椋?022/9/442第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) （5-12）用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 貼現(xiàn)得于是2022/9/443第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 對(duì)式（5-12）兩邊求期望，則如果下列條件成立則 （5-13）

12、 （5-14）由此，即使a值變化，上式總是成立。2022/9/444第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 采用股價(jià)模型代替真正股價(jià)，方差保持不變 ，且滿足下式于是對(duì)于任何用來(lái)復(fù)制的投資組合，存在下式現(xiàn)在的問(wèn)題是，是否存在這樣的？2022/9/445第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 如果令 （5-15）于是2022/9/446第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 即為什么？因此，修正的股價(jià)模型為： （5-16）2022/9/447第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 修正模型看上去與GBM模型非常接近，但其與股價(jià)模型是完全不同的模型，因?yàn)樵撃Ｐ椭泄蓛r(jià)的增長(zhǎng)率被人為設(shè)低

13、了。第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 二、期望值對(duì)歐式看漲期權(quán)：2022/9/448將式（5-16）代入得第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 2022/9/449若則用于是2022/9/450第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 根據(jù)期望的概念如何求積分？三、兩個(gè)積分2022/9/451第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 由求得2022/9/452第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 將上述積分展開(kāi)成兩部分第二部分2022/9/453第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 第一部分2022/9/454第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 變量代換

14、，則 2022/9/455第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 所以積分式的第二項(xiàng)等于將上述第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果代入，得2022/9/456第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 其中第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來(lái)收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。所有的利率都使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，2022/9/457上式的右邊求值是一個(gè)積分過(guò)程，求得：N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

15、分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率）。這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 2022/9/458第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。2022/9/459第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e

16、-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 2022/9/460資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)現(xiàn)金

17、或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2) ，1份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2) 。2022/9/461第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 2022/9/462第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格與歐式看跌期權(quán)的價(jià)格有關(guān)若賣空一份帶拋補(bǔ)的看漲期權(quán)以S 的價(jià)格買入一股股票以C 的價(jià)格賣出一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為X同時(shí)又買了一份價(jià)格為P 的看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為X（到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)與看漲期權(quán)相同）2022/9/463第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)則

18、當(dāng)期于是2022/9/464第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià) 對(duì)于具有與歐式看漲期權(quán)定價(jià)相同參數(shù)的歐式看跌期權(quán)定價(jià)平價(jià)公式將歐式看漲期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes公式代入，得：即第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9賣武鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證（執(zhí)行價(jià)2.9元）C2.9-ST2.9-ST0買武鋼股票-S0STSTST買武鋼認(rèn)沽權(quán)證（執(zhí)行價(jià)3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入現(xiàn)金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9現(xiàn)金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/9/4652022/9/466附：期權(quán)的簡(jiǎn)

19、單特征2022/9/467命題1:對(duì)于0,T 上具有相同執(zhí)行價(jià)格q的歐式和美式期權(quán)，存在附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/468命題2:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/469命題3:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/470命題4:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/471推論1:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則美式看漲期權(quán)不應(yīng)提前執(zhí)行。推論2:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，對(duì)于相同執(zhí)行價(jià)格和相同到期日的美式和歐式看漲期權(quán)存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/472命題5:在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，如果在美式看跌期權(quán)有效的有效期內(nèi)的某個(gè)存在則該美式看跌期權(quán)應(yīng)該在時(shí)刻執(zhí)行。附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/473命題6:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格滿足：習(xí)題:若看漲和看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)不同，則這一關(guān)系該如何表達(dá)？附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/474命題7:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，則美式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格滿足：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/475命題8:若在0,T 上，相應(yīng)的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征2022/9/476附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征20