高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修2第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-二面角的求法教案

1、二面角的求法教案【篇一：高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)-二面角的求法】 二面角大小的求法（一） 一、概述 1.地位和作用 二面角是人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下b）中9.7的內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)過(guò)平面幾何中的角、空間中兩異面直線所成的角、直線和平面所成的角之后，又要重點(diǎn)研究的一種空間的角，它是學(xué)生進(jìn)一步研究多面體和旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)，因此，它起著承上啟下的作用。教學(xué)大綱明確要求要讓學(xué)生掌握二面角及其平面角的概念和求解方法。同時(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力的重要素材，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力提供了一個(gè)良好的契機(jī)。 本節(jié)課為立體幾何二面角大小的求法的第一課時(shí)的內(nèi)容，是在學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)二面角的基礎(chǔ)上的推廣。其主要內(nèi)

2、容是二面角的作法以及這些知識(shí)的初步應(yīng)用。二面角問(wèn)題因其需要充分運(yùn)用立體幾何第一章的線線、線面、面面關(guān)系，具有綜合性強(qiáng)、靈活性大的特點(diǎn),一直成為高考、會(huì)考的熱點(diǎn)。 2.重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：一般方法三垂線定理（逆定理）的方法 難點(diǎn)：根據(jù)不同條件，靈活運(yùn)用不同方法求解二面角的大小 二、教學(xué)目標(biāo) 根據(jù)上面對(duì)教材的分析，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo): 1知識(shí)與技能： （1）掌握二面角的平面角的基本作法以及計(jì)算。 （2）培養(yǎng)學(xué)生把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的化歸思想。 （3）培養(yǎng)學(xué)生觀察分析的能力、空間想象的能力、猜想證明的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。同時(shí)注意滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 2過(guò)程

3、與方法： （1）通過(guò)觀察、分析等手段， 在活動(dòng)中自主探求二面角大小的特征，理解平面角的含義。 （2）通過(guò)示范、討論合作，完成對(duì)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的研究。 （3）通過(guò)作業(yè)設(shè)計(jì)完成求解二面角大小的應(yīng)用。 3情感態(tài)度價(jià)值觀： （1）培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精 神。 （2）通過(guò)揭示線線、線面、面面之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)。 三、學(xué)習(xí)者特征分析 本節(jié)課的學(xué)習(xí)者特征分析主要是根據(jù)教師平時(shí)對(duì)學(xué)生的了解而做出的： 四、教學(xué)策略的選擇與設(shè)計(jì) 在設(shè)計(jì)本教學(xué)時(shí)，主要貫徹了以下兩個(gè)思想： （一）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法 1.是符合辯證唯物主義觀點(diǎn)； 2.是符合教

4、學(xué)原則的； 3.能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性。 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，運(yùn)用類(lèi)比、轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合的思想方法，有效地培養(yǎng)學(xué)生的思想品質(zhì)，在復(fù)習(xí)定義之后作二面角的平面角的過(guò)程中，通過(guò)有效的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)尋找二面角的平面角的方法，使學(xué)生很自然地找出二面角的平面角，為例題講解做好鋪墊，鍛煉了學(xué)生的空間想象能力。 （二）探索討論法 1.有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)； 2.有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)； 3.有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中先要求學(xué)生按照二面角的平面角的定義，由淺入深，從特殊到一般，順利地引導(dǎo)學(xué)生一步一步地攻克難關(guān)，總結(jié)出各類(lèi)二面角的平面

5、角的找法或解法，解出一些比較容易的習(xí)題。再?gòu)囊恍┍容^典型的例題，比較各類(lèi)不同的二面角的大小的求法，并讓學(xué)生加以總結(jié)教師點(diǎn)評(píng)，適當(dāng)?shù)毓膭?lì)學(xué)生大膽嘗試，使學(xué)生嘗到成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心，對(duì)學(xué)生掌握二面角大小的求法，從而成功地學(xué)好立體幾何，起到很好的促進(jìn)作用。 五、資源 教學(xué)手段的現(xiàn)代化有利于提高課堂效益，有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)需要，確定利用幾何畫(huà)板制作課件來(lái)輔助教學(xué)；增強(qiáng)課堂教學(xué)的直觀性和生動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 六、教學(xué)過(guò)程 1課題引入 一、復(fù)習(xí)二面角及二面角的平面角的定義 問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回憶，什么是二面角？（課件演示）從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面

6、角。 問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)回憶，什么是二面角的平面角？（課件演示） 注意：二面角的平面角必須滿足： 1.角的頂點(diǎn)在棱上 2.角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) 3.角的邊都要垂直于二面角的棱 二、尋找二面角的平面角 問(wèn)題3：如何作出二面角的平面角呢？ 2新課教學(xué)（要點(diǎn)） 深入研究從定義到方法 復(fù)習(xí)舊知識(shí)，通過(guò)類(lèi)比遷移可實(shí)現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)新；通過(guò)對(duì)新知識(shí)的深入研究則可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)新。進(jìn)一步分析二面角的平面角的定義，教師的主要任務(wù)是揭示找角的方法是如何探索出來(lái)的。 提出問(wèn)題：在定義二面角的平面角時(shí)，先確定棱上一點(diǎn)o，再作其平面角。若已知的點(diǎn)不在棱上，能否作出該二面角的平面角？ 根據(jù)定義容易作出該二面角的平面角，除此以外

7、，就沒(méi)別的辦法嗎？ 讓學(xué)生充分醞釀，議論和畫(huà)圖，通過(guò)探索找角的多種方法來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。同時(shí)讓學(xué)生不但動(dòng)腦思考，而且動(dòng)手操作，促進(jìn)他們獨(dú)立思考能力、動(dòng)手能力等多方面素質(zhì)的整體發(fā)展。 教師可視課堂的情況作必要的引導(dǎo)：不直接作abl可以嗎？ 最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)以訓(xùn)練學(xué)生的收斂思維，有助于完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。 研究結(jié)果：找二面角的平面角有兩種方法，方法一是根據(jù)定義，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單明了，缺點(diǎn)是角找出后，不易計(jì)算；方法二是根據(jù)三垂線定理或其逆定理，找角的關(guān)鍵是找到（或作出）平面的垂線，由于構(gòu)造了一個(gè)直角三角形，因此角一旦找到，計(jì)算相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單。 這樣就從

8、深入研究概念入手，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)知識(shí)創(chuàng)新的方法，得到二面角的平面角的兩種常用作法，由于學(xué)生親身參與了方法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，因而印象深刻。為下階段的解題作好準(zhǔn)備。 答案：作棱的垂面 即兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，那么這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角（銳角或直角）相等（研究創(chuàng)新）。 揭示課題從過(guò)程到結(jié)論因此，根據(jù)上述分析作出二面角的平面角有如下三種方法：（課件演示） 1.點(diǎn)p在棱上定義法 2.點(diǎn)p在一個(gè)半平面上三垂線定理（逆定理）的方法 3.點(diǎn)p在二面角內(nèi)垂面法 共同探討從理論到實(shí)踐 三例題與練習(xí) 利用定義 即點(diǎn)p在棱上時(shí)，只須滿足二面角的平面角的定義例1、 在三棱錐p-abc中， apb=bpc=

9、cpa=60，求二面角a-pb-c的余弦值。 分析：所求二面角與底面abc所在的位置無(wú)關(guān)，故不妨0利用定義求解。 略解：在二面角的棱pb上任取一點(diǎn)q，在半平面pba 和半平面pbc上作qmpb，qnpb，則由定義可得 mqn即為二面角的平面角。設(shè)pm=a,則在rt?pqm和 rt?pqn中可求得qm=qn=3 2a；又由?pqn?pqm得pn=a,故在正三角形pmn 11中mn=a,在三角形mqn中由余弦定理得cosmqn=，即余弦值為。 33 利用三垂定線理 引一條直線ah，過(guò)h作棱l的垂線hg，垂足為g，連 ag，則由三垂線定理可證lag,故agh就是二面角用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條

10、垂線，即從第一個(gè)半 平面內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另一個(gè)半平面。 例2、 在直三棱柱abc-a1b1c1中，bac=900， ab=bb1=1，直線b1c與平面abc成300角，求二面角 b-b1c-a的正弦值。 分析：易知，平面abc與平面bcc1b1垂直故可由面面 垂直的性質(zhì)來(lái)尋找從一個(gè)半平面到另一個(gè)半平面的垂線。 略解：由直三棱柱性質(zhì)得平面abc平面bcc1b1，過(guò)a作an平面bcc1b1，垂足為n，則an平面 bcc1b1，（an即為我們要找的垂線）在平面bcb1內(nèi)過(guò)n作nq棱b1c，垂足為q，連qa，則nqa即為二面角的平面角。 ab1在平面abc內(nèi)的射影為ab，caab，cab1a

11、，ab=bb1=1，得ab1=2。直線b1c與平面abc成300角，b1cb=300，b1c=2，rtb1ac 中，由勾股定理得ac=2，aq=1。在rtbac中，ab=1，ac=2，得an=sinaqn=an=6 363。aq。即二面角b-b1c-a的正弦值為6 3。 作棱的垂面 即若能作一個(gè)平面與棱垂直，則可證該垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角。 線cd等于多少？（2）p到棱l的距離為多少？ 內(nèi)作棱l的垂線，垂足為e，連de，則ced即為二面角的平面角。 這么作輔助線看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上在證明ced為二面角的平面角時(shí)會(huì)有一個(gè)很棘手的問(wèn)題，就是要證明p、d、e、c四點(diǎn)共面

12、。故不妨通過(guò)作垂面的方法來(lái)作二面角的平面角。 sinced=sin600=2357cm。 解題后反思：求二面角的平面角的方法法是：先找（或作）后證再解（三角形）。 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思，對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分必要的，也為以后的創(chuàng)新作好了準(zhǔn)備。 3. 課堂小結(jié)（投影） 四、小結(jié) 求二面角 一、找到或作出二面角的平面角 二、證明一中的角就是所求的角 三、一般構(gòu)造三角形求角 三垂線定理是求解二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視； 要重視化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用，如b組：2中在右側(cè)面中計(jì)算cf的長(zhǎng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面問(wèn)題。 二面角問(wèn)題因其需要充分運(yùn)用立體幾何第一章的線線、線面、面面關(guān)系，具

13、有綜合性強(qiáng)，靈活性大的特點(diǎn)，因此，一直成為高考、會(huì)考的熱點(diǎn)。 五、作業(yè) a組：習(xí)題的第題 1、如圖1，設(shè)e、f、g是正方體相應(yīng)棱的中點(diǎn)，求二面角efga的大小。【篇二：用向量法求二面角的平面角教案】 第三講：立體幾何中的向量方法 利用空間向量求二面角的平面角 大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循，對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強(qiáng)，致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策。 高中新教材中，向量知識(shí)的引入，為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的工

14、具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)了新課程理念。 利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)二面角的求法進(jìn)行總結(jié)。 教學(xué)目標(biāo) 1使學(xué)生會(huì)求平面的法向量； 2.使學(xué)生學(xué)會(huì)求二面角的平面角的向量方法； 3.使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題； 4.使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高. 教學(xué)重點(diǎn) 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向

15、量法. 教學(xué)難點(diǎn) 求解二面角的平面角的向量法. 教學(xué)過(guò)程 、復(fù)習(xí)回顧 一、回顧相關(guān)公式： 結(jié)論：或 n1?n2 2、法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角. 3、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”： （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題） （2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算） （3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形） 、典例分析與練習(xí) 例1、如圖，abcd是一直角梯形，abc=90

16、?，sa面abcd，sa=ab=bc=1，ad=求面scd與面sba所成二面角的余弦值. 分析 分別以ba,ad,as所在直線為x,y,z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面scd的法向量n1， 平面sba法向量n2，利用n1,n2夾角 求平面scd與平面sba的夾角余弦值。 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz，則 1，2 1 a(0,0,0),c(-1,1,0),d(0,0),s(0,0,1) 2 111 易知面sba的法向量為n1=ad=(0,0)，cd=(1,-,0),sd=(0,-1) 222 y? x-=0?1?2n2=(1,1)設(shè)面scd的法向量為n2=(x,y,z)，則有?，取z

17、=1，得x=1,y=2， 2?y-z=0 ?2 cosn1,n2= 12= 3 又n1方向朝面內(nèi)，n2方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角 即所求二面角的余弦值為 . 3 點(diǎn)撥 求二面角的方法有兩種：（1）利用向量的加法及數(shù)量積公式求出與兩半平面的棱垂直的向量的夾角，從而確定二面角的大小；（2）根據(jù)幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，先求二面角兩個(gè)半平面的法向量，再求法向量的夾角，從而確定二面角的大小。 練習(xí)1：正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)e、f分別為cd、dd1的中點(diǎn).求二面角 f-ae-d的余弦值。 1111 解：由題意知，f(0,1,),e(,1,0)，

18、則af=(0,1,),ae=(,1,0) 2222 設(shè)平面aef的法向量為=(x,y,z)，則 1?y+z=0?n?af=0?2?，取y=1，得x=z=-2 ? ?1x+y=0?n?ae=0 ?2 n=(-2,1,-2) 又平面aed的法向量為aa) 1=(0,0,1y -22 =- cosn,aa1= 313?1 觀察圖形知，二面角f-ae-d為銳角，所以所求二面角f-ae-d的余弦值為練習(xí)2：如圖，三棱柱中，已知a bcd是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形aabb 是矩形， 2 3 平面aabb平面abcd。 試問(wèn)：當(dāng)aa的長(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角d-ac-a的大小為60？ 解： 如圖建立空間坐標(biāo)系a

19、-xyz，則 da=(-1,0,a) dc=(0,1,0) 設(shè)面dac的法向量為n1=(x,y,1) ? ?da?n1=0則? 得n1=(a,0,1) ?dc?n1=0 易得面aac的法向量n2=(-1,1,0) 向量n1,n2的夾角為60 n1?n21 =由cos?n1,n2?= 得 a=1|n1|n2|2 當(dāng)aa時(shí)，二面角d-ac-a的大小為60 設(shè)計(jì)說(shuō)明：復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會(huì)說(shuō)明為什么這兩個(gè)角相等或 互補(bǔ)，就沒(méi)有其他情況 練習(xí)3：正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱長(zhǎng)均為，是側(cè)棱aa1上任意一點(diǎn) 當(dāng)bc1b1p時(shí)，求二面角c-b1p-c1的平面角的余弦

20、值 解：如圖建立空間坐標(biāo)系o-xyz，設(shè)ap=a 則a,c,b1,p的坐標(biāo)分別為(0,-1,0),(0,1-1,a) , bc1=(,2) 由bc1b1p，得bc1 b1p=0 即2+2(a-2)=0 a=1 又bc1b1c bc1面cb1p bc1=(,2)是面cb1p的法向量 ? ?b1p?n=0 設(shè)面c1b1p的法向量為n=(1,y,z)，由? 得n=(1-, ?b1c1?n=0 4|bc1|n| 、小結(jié)與收獲 n1?n2 2、求平面法向量的方法. 、課后練習(xí) 1、如圖,已知四棱錐p-abcd的底面是直角梯形,abc=bcd=90, ab=bc=pb=pc=2cd,側(cè)面pbc底面abcd

21、. 求二面角p-bd-c的大小. 2、如圖,已知正三棱柱abca1b1c1的各棱長(zhǎng)均相等,點(diǎn)d是bc上一點(diǎn),adc1d. 求二面角cac1d的大小.【篇三：二面角的求法】 二面角的求法 教學(xué)目的：掌握求二面角的常規(guī)方法，能準(zhǔn)確地作出二面角的平面角，理解用射影圖形與 原圖形面積比的方法求二面角的大小。 教學(xué)重點(diǎn)：二面角的平面角的作法及求法。 教學(xué)難點(diǎn)：“無(wú)棱二面角”的大小的求法。 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí) 二面角的概念、二面角的平面角的常規(guī)作法： 運(yùn)用定義作平面角運(yùn)用三垂線（及其逆）定理作平面角 作棱的垂面（垂面與二面角的交線即為平面角）“無(wú)棱二面角”的平面角的作法 射影圖形與原圖形面積比的方法求二面角大小二、例題講析 例1 過(guò)正方形abcd的頂點(diǎn)a作pa面abcd，設(shè)pa= （1）二面角p-bd- ab=a，求： a的平面角的正切值；（2）二面角p-bc-a的大小；（3）二面角b-pc-d的大??；（4）平面pab與平面pcd所成二面角的大小。分析：（1）取bd中點(diǎn)o，連結(jié)ao、po，則aop為二面角p-bd-a的平 pa=面角，tanaop=ao= 2 （2）abp為所求二面角的平面角，abp （3）作bm=450。 pc于m，連結(jié)dm，則bmd為所求二面角的一個(gè)平面角，可計(jì) 算bd=,bm=dm=a3，在?bmd中由余