信息論與編碼第二講

1、信息論與編碼第二講第1頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一主要內(nèi)容1234信道編碼定理線性分組碼的編譯碼碼的檢、糾錯(cuò)能力信道編碼概念第2頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一一、信道編碼概念第3頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 1.1 通信系統(tǒng)模型第4頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一信源編碼器 把消息轉(zhuǎn)換成為二進(jìn)制形式的信息序列，并且為了使傳輸有效，去掉了與傳輸信息無關(guān)的多余度。糾錯(cuò)編碼器 為了抗擊傳輸過程中各種干擾，要人為地增加一些多余度，使其具有自動(dòng)檢錯(cuò)或糾錯(cuò)能力。糾錯(cuò)碼譯碼器 由于信道干擾，該信息序列中

2、可能有錯(cuò)誤，經(jīng)過糾錯(cuò)碼譯碼器，對錯(cuò)誤進(jìn)行糾正。第5頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 信源指原來的信源和信源編碼器，其輸出是二(多)進(jìn)制信息序列。 信道包括發(fā)射機(jī)、實(shí)際信道（或稱傳輸媒質(zhì)）和接收機(jī)在內(nèi)的廣義信道，它的輸入是二（多）進(jìn)制數(shù)字序列，輸出是二（多）進(jìn)制數(shù)字序列。 1.2 編碼信道第6頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第7頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一二、信道編碼定理第8頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.1 信道編碼理論 每個(gè)信道具有確定的信道容量C，對任何小于C的碼率Rs，存在有速率為Rs

3、、碼長為n的編碼方法，若用最大似然譯碼，則隨著碼長的n增加其譯碼錯(cuò)誤概率Pe可任意小， 即 ：第9頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一式中，E(RS)為正實(shí)函數(shù)，稱為誤差指數(shù)，它與RS、C的關(guān)系如下圖所示。圖中，C1、C2為信道容量，且C1C2。第10頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.2 信道編碼基本思想 第11頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第12頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第13頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第14頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期

4、一第15頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.3譯碼平均錯(cuò)誤概率 第16頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第17頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第18頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.4 譯碼規(guī)則 第19頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.4.1 最大后驗(yàn)概率譯碼準(zhǔn)則第20頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例 題第21頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第22頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.4.2 極大似然譯

5、碼準(zhǔn)則第23頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例 題第24頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第25頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一兩種譯碼準(zhǔn)則比較第26頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一2.4.3 最小碼距譯碼準(zhǔn)則第27頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第28頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一最小碼距第29頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一最小碼距對錯(cuò)誤概率的影響第30頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一最小距離譯碼準(zhǔn)則

6、第31頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一最小距離準(zhǔn)則與最大似然準(zhǔn)則關(guān)系第32頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例：重復(fù)碼早期的檢錯(cuò)碼為重復(fù)碼。該碼用000代表信息“0”，用111代表信息“1”。顯然所增加的2個(gè)碼元并不增多信息，是多余的,使傳信率降低。此外，除去傳送信息的000和111這2種組合外,還有001,010,011,100,101,110等6種組合沒采用。當(dāng)信道上信噪比足夠大時(shí),可認(rèn)為000和111中產(chǎn)生的錯(cuò)誤一般不會(huì)多于一個(gè)碼元。如接收到001,010,100,在接收端怎么譯碼呢？根據(jù)最小碼距譯碼準(zhǔn)則，可判定實(shí)際上是000,即信息為0；同

7、理,如接收到011,110,101,在接收端也可判定111,即信息為1。 可見,多余碼元可檢出并糾正一個(gè)錯(cuò)誤，這樣就提高了傳信的可靠性。 第33頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一三、線性分組碼第34頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第35頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一m2m1m0C5C4C3C0C1C23.1 生成矩陣第36頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一m2 m1 m0100111010110001011=c5 c4 c3 c2 c1 c0 m G = C100111010110001011張成碼空

8、間的三個(gè)基，本身也是碼字。第37頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第38頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一信息空間到碼空間的線性映射信息組(m2 m1 m0 ) 碼字(c5 c4 c3 c2 c1c0 )000000000001001011010010110011011101100100111101101100110110001111 111010 k維k重k維n重 信息空間 碼字空間第39頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 gk-1G = = g1 g0c = m G = mk-1,m1 m0 gk-1 g1 g0 T = m

9、k-1 gk-1 + + m1 g1 + m0 g0 第40頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 生成矩陣G 是由k個(gè)行矢量組成的，其中的每個(gè)行矢量g i既是一個(gè)基底，也是一個(gè)碼字。 任何碼字都是生成矩陣G的k個(gè)行矢量的線性組合。 只要這k個(gè)行矢量線性無關(guān)，就可以作為k個(gè)基底張成一個(gè)k維n重空間，它是n維n重空間的一個(gè)子空間，子空間的所有2k個(gè)矢量構(gòu)成碼集C。第41頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一不同的生成矩陣產(chǎn)生不同的碼，生成矩陣的特點(diǎn)決定了碼的特點(diǎn)。由于構(gòu)成同一空間的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩陣可能生成同一碼集。碼集相同，編碼不一定相

10、同，因?yàn)榫幋a涉及碼集和映射兩個(gè)因素，碼集一樣而映射方法不同不能說是同樣的編碼。第42頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 由于基底不是唯一的，因此允許將基底線性組合后挑出其中k個(gè)線性無關(guān)的矢量作為新的基底，依然可以張成同一個(gè)碼空間。 對應(yīng)到生成矩陣，等效于允許通過行運(yùn)算（行交換、行的線性組合）改變生成矩陣的行而不改變碼集，只要保證矩陣的秩仍是k（k行線性無關(guān))。 所以，任何生成矩陣可通過行運(yùn)算轉(zhuǎn)化成“系統(tǒng)碼”形式。第43頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一3.2 系統(tǒng)碼 把信息組原封不動(dòng)搬到碼字前k位的(n,k)碼，其碼字具有如下形式： c = (cn-

11、1,cn-k , cn-k-1 ,c0) = ( mk-1 ,m1, m0 , cn-k-1 ,c0 )其生成矩陣具有如下形式：G = Ik P =第44頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一3.3 校驗(yàn)矩陣 對于kn矩陣G，存在一個(gè)(n-k)n矩陣H，使得G的行空間和H正交。 基底數(shù)k的碼空間C是n維n重空間的子空間，若能找出全部n個(gè)基底的另外n-k個(gè)基底，也就找到了對偶空間D。將D空間的n-k個(gè)基底排列起來可構(gòu)成一個(gè) (n-k)n矩陣，稱為是碼空間C的校驗(yàn)矩陣H，它與所有碼字正交。 既然用k個(gè)基底能產(chǎn)生一個(gè)(n,k)線性碼，那么也能用其余n-k個(gè)基底產(chǎn)生一個(gè) (n,n-k

12、)線性碼，稱（n,n-k）線性碼是(n,k)線性碼的對偶碼。C和D的對偶是相互的，G是C的生成矩陣又是D的校驗(yàn)矩陣，而H是D的生成矩陣又是C的校驗(yàn)矩陣。第45頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 n維n重空間R k維k重 k維n重 n-k維n重 信息組 碼空間C 對偶空間D 空間m G H 圖3-1 碼空間與映射第46頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 c是G空間的一個(gè)碼字，那么由正交性得到： c HT= 00代表零陣，它是1nn(n-k)=1(n-k)矢量。 上式可以用來檢驗(yàn)一個(gè)n重矢量是否為碼字：若等式成立，該n重是碼字，否則不是碼字。 由于生成矩

13、陣的每行都是一個(gè)碼字，因此有： GHT=0這里0代表一個(gè) knn(n-k)= k(n-k)的零矩陣。第47頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一對于系統(tǒng)碼，其校驗(yàn)矩陣也是規(guī)則的，必為：HPT In-k 因?yàn)椋?GHT= IkP PTIn-k T =Ik P + P In-k = P + P = 0 第48頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例3.1 考慮一個(gè)(7，4) 碼，其生成矩陣是： G = = I4 P 對于信息組m= (1 0 1 1), 編出的碼字是什么？ 畫一個(gè)（7，4）分組碼編碼器原理圖。 若接收到一個(gè)7位碼r = (1 0 0 1 1 0

14、1), 檢驗(yàn)它是否碼字？ 第49頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一3.3 伴隨式與譯碼 線性分組碼 C=(cn-1,c1,c0)， 接收碼 R =( rn-1,r1,r0)， 差錯(cuò)圖案 : E = (e n1,，e 1,e0) = R C 對于二進(jìn)制碼，有E = RC 及R = CE RHT = (CE)HT = C HTE HT= 0E HT= EHT 如收碼無誤，必有R = C 即RHT = 0, 如信道差錯(cuò)E 0，必有RHT = EHT 0。定義伴隨式S：S = (s n-k-1,，s1, s0) = RHT = EHT S僅與E有關(guān)，而與C無關(guān)。 第50頁，共84

15、頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一從物理意義看，伴隨式S并不反映發(fā)送的碼字是什么，而只反映信道對碼字造成了怎樣的干擾。伴隨式S是一個(gè)(n-k)重矢量，只有2n-k種可能的組合；而差錯(cuò)圖案E是n重矢量，共有2n個(gè)可能的組合。因此，同一伴隨式可能對應(yīng)若干個(gè)不同的差錯(cuò)圖案。在接收端我們并不知道發(fā)碼C究竟是什么，但可以知道HT和接收碼是R什么，從而算出S是什么。譯碼最重要的任務(wù)：從伴隨式S找出C的估值。第51頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 一般的譯碼思路 RHT = S E C = RE E m 編碼 C RS= no 計(jì)算 輸出 mG RH T=0？ E R+E

16、 yes 輸出R 圖3-3 譯碼過程框圖 第52頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一S = (s n-k-1,，s1, s0) = E HT = (e n1,e 1,e0) (3-18)展開成線性方程組形式，為：sn-k-1 = en-1h(n-k-1)(n-1) + e1 h(n-k-1)1 + e0 h(n-k-1)0 s1 = en-1h1(n-1) + + e1 h11 + e0 h10s0 = en-1h0(n-1) + + e1 h01 + e0 h00方程組中有n個(gè)未知數(shù)en1, e1,e0，卻只有n-k個(gè)方程。第53頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)

17、16分，星期一 在二元域中，少一個(gè)方程導(dǎo)致兩個(gè)解，少兩個(gè)方程導(dǎo)致四個(gè)解少n-( n-k) = k個(gè)方程導(dǎo)致有2k個(gè)解。在E的2k個(gè)解中選一，最合理的方法是概率譯碼，它把所有2k個(gè)解的重量(差錯(cuò)圖案E中1的個(gè)數(shù))作比較，選擇其中最輕者作為E的估值。 該算法的理論根據(jù)就是最小漢明距離譯碼。 第54頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一3.4 標(biāo)準(zhǔn)陣列第55頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一某一個(gè)(5,2)系統(tǒng)線性碼的生成矩陣：G = 碼集： 00000, 10111, 01101, 11010S0=000E0+C0=00000C1=10111C2=01101

18、C3=11010S1=111E1=10000001111110101010S2=101E2=01000111110010110010S3=100E3=00100100110100111110S4=010E4=00010101010111111000S5=001E5=00001101100110011011S6=011E6=00011101000111011001S7=110E7=00110100010101111100第56頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一E2n-k +C2kE2n-k+ CiE2n-k-1 + C1E2n-k+C0 = E2n-kEj+C2k1Ej+C

19、iEj+C1Ej +C0= EjE1+C2k1E1+CiE1 +C1E1+C0= E1E0+C2k1= C2k1E0+Ci= CiE0 +C1= C1E0 +C0= 0+0= 0表3-2 標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表第57頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一對于(6,3)碼的8個(gè)碼矢：v1=(0 0 0 0 0 0), v2=(0 0 1 1 1 0), v3=(0 1 0 1 0 1), v4=(1 0 0 0 1 1),v5=(0 1 1 0 1 1), v6=(1 0 1 1 0 1), v7=(1 1 0 1 1 0), v8=(1 1 1 0 0 0)。其標(biāo)準(zhǔn)陣列：第58頁，共

20、84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例：某一個(gè)(5,2)系統(tǒng)線性碼的生成矩陣是G = ，設(shè)收碼是R = (10101), 請先構(gòu)造該碼的標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表，然后譯出發(fā)碼的估值。分析：H = PT I3 = ，由S=(E+C)HT =EHT得：s2 = e4+ e3 + e2s1 = e4+ e1 5個(gè)未知數(shù)，3個(gè)方程s0 = e4+ e3 + e0 必有4組解令S0=000,并分別令e4e3=00、01、10、11,解得E0的4組解是(00000)(01101)(10111)(11010)，取E0 =(00000)再依次令S=001,010,011每次有4組解，取最輕者為“解”。其中

21、有的組最輕解是唯一的，有的卻不是，比如伴隨式S=(011)的4個(gè)解是(00011)、(10100)、(01110)、(11001)，其中(00011)和(10100)并列最小重量，任取其中一個(gè)？第59頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一S0=000E0+C0=00000C1=10111C2=01101C3=11010S1=111E1=10000001111110101010S2=101E2=01000111110010110010S3=100E3=00100100110100111110S4=010E4=00010101010111111000S5=001E5=000011

22、01100110011011S6=011E6=00011101000111011001S7=110E7=00110100010101111100第60頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第61頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一查表譯碼方法1 計(jì)算R的伴隨式S=RHT；2 找出伴隨式S等于RHT的陪集首el；3 碼矢v=R+el就是發(fā)送碼矢。第62頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例3.3對于(6,3)碼，校驗(yàn)矩陣為： S=EHT第63頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 如果發(fā)送的碼矢為v=(111000)，接

23、收的矢量r =(111001)，怎樣來譯碼？第64頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一四、碼的糾、檢錯(cuò)能力第65頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一4.1 計(jì)算最小距離的方法1 直接計(jì)算。含2k個(gè)碼字的碼集需計(jì)算2k(2 k-1) /2個(gè)距離后才能找出dmin。2 利用群碼封閉性兩碼字之和仍是碼字： d(C1,C2)=w(C1C2)=w(C3 ) 可得定理3.1:線性分組碼的最小距離等于碼集中非零碼字的最小重量： dmin=min w (Ci ) C iC 及Ci 0于是最小距離問題轉(zhuǎn)化為尋找最輕碼字問題，含2k個(gè)碼字的碼集僅需計(jì)算2k次。第66頁，共8

24、4頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一3 利用校驗(yàn)矩陣H的秩定理3.4： (n,k) 線性分組碼最小距離等于dmin的充要條件是校驗(yàn)矩陣H中有（dmin-1)列線性無關(guān)。換言之，dmin=校驗(yàn)矩陣H的秩+1。第67頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一定理3.2: 任何最小距離dmin的線性分組碼，其檢測隨機(jī)差錯(cuò)的能力為（dmin1）。 定理3.3: 任何最小距離等于dmin的線性分組碼，其糾正隨機(jī)差錯(cuò)的能力t為： t =INT 若最小距離為dmin的碼同時(shí)能檢ed個(gè)、糾ec個(gè)差錯(cuò),則edec dmin1 ec ed。抑制糾錯(cuò)能力才能提高檢錯(cuò)能力。第68頁，共84頁

25、，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一第69頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例：每個(gè)分組碼dmin=7，那么怎么來糾錯(cuò)和檢錯(cuò)？（1）糾錯(cuò) t=3；（2）2重糾錯(cuò)，并且4重錯(cuò)誤檢測 t=2, D=4；（3）6重錯(cuò)誤檢測 D=6。第70頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一定理3.5：(n,k) 線性分組碼的最小距離必定小于等于 (n-k+1)即 dmin (n-k+1)因?yàn)镠是(n-k)n矩陣，該矩陣的秩最大不會(huì)超過(n-k)，即線性無關(guān)的列不會(huì)超過(n-k) 。第71頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 4.2 完備碼如果某碼

26、的伴隨式組合數(shù)目恰好和不大于t個(gè)差錯(cuò)的圖案數(shù)目相等，相當(dāng)于在標(biāo)準(zhǔn)陣列中能將所有重量不大于t的差錯(cuò)圖案選作陪集首而沒有一個(gè)陪集首的重量大于t，這時(shí)的伴隨式就能和可糾差錯(cuò)圖案實(shí)現(xiàn)一一對應(yīng)，校驗(yàn)位得到最合理的利用。滿足方程：的二元(n,k)線性分組碼稱為完備碼。t = 1的完備碼叫漢明碼。第72頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一4.3 漢明碼糾錯(cuò)能力t = 1的完備碼稱為漢明碼。漢明碼指一類碼，既可以是二進(jìn)制的，也可以是非二進(jìn)制的。二進(jìn)制漢明碼應(yīng)滿足條件： 2n-k=1+n。令r= n-k，漢明碼n和k服從以下關(guān)系 碼長：n=2r - 1 信息位：k=2r-1-r 最小距離 d

27、 min = 3當(dāng)r3、4、5、6、7、8時(shí)，有以下漢明碼：(7,4)、(15,11)、(31,26)、(63,57)、(127,120)、(255,247)。第73頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 從n維矢量空間的角度看(n,k)完備碼，假定每個(gè)碼字為中心放置一個(gè)半徑t的球，與該碼漢明距離小于等于t的所有接收矢量均包含在此球內(nèi)，每球包含的矢量點(diǎn)數(shù)是 。以碼集2k個(gè)碼字為中心、半徑t (不相重疊) 的球共可包含 2k 點(diǎn)。由于n重矢量的總數(shù)是2n個(gè)，包含在2 k個(gè)球中的點(diǎn)數(shù)不可能多于總點(diǎn)數(shù)，所以下列不等式必定成立： 第74頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分

28、，星期一如果上式等號成立，表示全部2n個(gè)接收矢量等分地落在2k個(gè)半徑t的球內(nèi)，而沒有一個(gè)矢量落在球外，這就是完備碼。圍繞完備碼2k個(gè)碼字、漢明距離為t的所有球都是不相交的、不相切的，每一個(gè)接收矢量不是落在這個(gè)球、就是落在那個(gè)球內(nèi)，沒有一點(diǎn)是在球外。這樣，接收矢量離碼字的距離至多為t，所有重量Wt的差錯(cuò)圖案都能通過最小距離譯碼得到糾正，而所有重量Wt+1的差錯(cuò)圖案都不能糾正。 第75頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一例3.4:構(gòu)造一個(gè)m=3的二元(7，4)漢明碼。0 0 0 1 1 1 1 列置換1 1 1 0 1 0 0 H = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1

29、 0 1 01 0 1 0 1 0 11 1 0 1 0 0 1那么系統(tǒng)漢明碼的生成矩陣G為：1 0 0 0 1 0 1 G = I4 P =0 1 0 0 1 1 10 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1第76頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 4.4 高萊碼高萊碼是二進(jìn)制（23，12）線性碼，其最小距離dmin7，糾錯(cuò)能力t=3。由于滿足： 223-12 = 2048 = 它也是完備碼。在(23,12)碼上添加一位奇偶位即得二進(jìn)制線性(24,12)擴(kuò)展高萊碼，其最小距離dmin8。 第77頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 4.5

30、擴(kuò)展碼(n,k)分組碼 + 1位奇偶校驗(yàn)= (n1,k)擴(kuò)展碼校驗(yàn)位c校的選擇應(yīng)滿足校驗(yàn)方程 c n1 c1 c0 c 校0矩陣H與H擴(kuò)的關(guān)系如下： 0 H 0 k個(gè)0H擴(kuò) 0 1 1 1 1 1(n+1)個(gè)1從最小距離角度看，若擴(kuò)展前原碼的最小距離dmin是奇數(shù), 則擴(kuò)展后的最小距離變成dmin+1；若原碼的最小距離是偶數(shù)，則偶校驗(yàn)不改變其最小距離。第78頁，共84頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)16分，星期一 4.6 縮短碼(n,k)分組碼 縮短i位= (n-i,k-i) 縮短碼如果縮短1位,可在碼集中去掉所有第1位是0的碼字,剩下的碼組成一個(gè)新的碼集，其最小碼重不變；如果縮短2位,可在碼集中去掉所有前2位是0的碼字,剩下的碼組成一個(gè)新的碼集，其最小碼重仍不變；以此類推，縮短i位，在碼集中去掉所有前i位是0的碼字，剩下碼集的dmin與縮短前一樣。因此,（n-i, k-i, dmin）縮短碼與原（n, k, dmin）碼具有相同的糾檢錯(cuò)能力。 第79頁，共84頁，2022年，5月20日，1