北師大版必修5高中數(shù)學(xué)第二章《正弦定理》word教案1

1、名師精編 優(yōu)秀教案其次章 解三角形 課標(biāo)要求 : 本章的中心內(nèi)容 是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最終 落實在解三角形的應(yīng)用上；通過本章學(xué)習(xí),同學(xué)應(yīng)當(dāng)達到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探究,把握正弦定理、余弦定理,并能解決 一些簡潔的三角形度量問題；（2）能夠嫻熟運用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些與測量和幾何運算有關(guān) 的生活實際問題；編寫意圖與特色 1數(shù)學(xué)思想 方法的重要性數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分,解和把握；有利于同學(xué)加深數(shù)學(xué)學(xué)問的理本章重視與內(nèi)容親密相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),并且在提出問題、 摸索解決問題的策略等方面對

2、同學(xué)進行詳細(xì)示范、引導(dǎo)； 本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理,它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論；在中學(xué),同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān) 系的定性的知識,就是“ 在任意三角形中有大邊對大角,小邊對小角”邊及其所夾的角相等 , 那么這兩個三角形全” 等；,“ 假如已知兩個三角形的兩條對應(yīng)教科書在引入正弦定理內(nèi)容時,讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問動身,提出探究性問題：“ 在任意三角形中有大邊對大角,小邊對小角的邊角關(guān)系. 我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢 .” ,在引入余弦定理內(nèi)容時,提出探究性問題 “ 假如已知三角形的兩條邊及其所夾的角 , 依據(jù)三角形全等的判定方法,這個三角形是大小、外

3、形完全確定的三角形 . 我們?nèi)耘f從量化的角度來爭論這個問題,也就是爭論如何從已知的兩邊和它們的夾角運算出三角形的另一邊和兩個角的問題；” 設(shè)置這些問題,都是為了加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；2留意加強前后學(xué)問的聯(lián)系加強與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系,留意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容,并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好預(yù)備, 能使整套教科書成為一個有機整體,學(xué)習(xí)和鞏固；提高教學(xué)效益, 并有利于同學(xué)對于數(shù)學(xué)學(xué)問的本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系,與中學(xué)學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系,已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的學(xué)問有著親密聯(lián)系；教科書在引入正弦定理內(nèi)容時,讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問動身,提出探究性問題 “ 在任意三角形中有大

4、邊對大角,小邊對小角名師精編 優(yōu)秀教案的邊角關(guān)系 . 我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系精確量化的表示呢 時,提出探究性問題 “ 假如已知三角形的兩條邊及其所夾的角.”,在引入余弦定理內(nèi)容 , 依據(jù)三角形全等的判定方法,這個三角形是大小、外形完全確定的三角形 . 我們?nèi)耘f從量化的角度來爭論這個 問題,也就是爭論如何從已知的兩邊和它們的夾角運算出三角形的另一邊和兩個角的問題；” 這樣,從聯(lián)系的觀點, 從新的角度看過去的問題,使同學(xué)對于過去的學(xué)問有了新的熟悉,同時使新知識建立在已有學(xué)問的堅實基礎(chǔ)上,形成良好的學(xué)問結(jié)構(gòu)；課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書把“ 解三角形” 這部分內(nèi)容支配在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容,位置相對靠后

5、, 在此內(nèi)容之前同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面對量、 直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系親密的內(nèi)容,這使這部分 內(nèi)容的處理有了 比較多的工具,某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔； 比如對于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對于三角形進行討論,方法不夠簡潔,教科書就用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力；在證明白余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個摸索問題 “ 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理就指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”,并進而指出,“ 從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,假如一個三角形兩邊

6、的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角； 假如小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角；假如大于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角 . 從上可知,余弦定理是勾股定理的推廣 . ”3重視加強意識和數(shù)學(xué)實踐才能學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué),而如今比較突出的兩個問題是,同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強,制造才能較弱； 同學(xué)往往不能把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用到實際問題中去,對所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問的實際背景明白不多,雖然同學(xué)氣械 地仿照一些常見數(shù)學(xué)問題解法的才能較強,但當(dāng)面臨一種新的問題時卻方法不多,對于諸如觀看、 分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)覺問題、解決問題的科學(xué)思維方

7、法明白不夠；針對這些實際情況,本章重視從實際問題動身,引入數(shù)學(xué)課題,最終把數(shù)學(xué)學(xué)問應(yīng)用于實際問題；教學(xué)內(nèi)容及課時支配建議1.1 正弦定理和余弦定理（約 3 課時）評判建議1要在本章的教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)依據(jù)教學(xué)實際,啟示同學(xué)不斷提出問題,爭論問題；在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中,問題的方一直啟示同學(xué)得到自己對于定理的證明；應(yīng)當(dāng)因勢利導(dǎo), 依據(jù)詳細(xì)教學(xué)過程中同學(xué)摸索 如對于正弦定理, 可以啟示得到有應(yīng)用向名師精編 優(yōu)秀教案量方法的證明, 對于余弦定理就可以啟示得到三角方法和解析的方法；在應(yīng)用兩個定懂得決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中,一個問題也經(jīng)常有多種不同的解決方案,應(yīng)當(dāng)勉勵學(xué)生提出自己

8、的解決方法,并對于不同的方法進行必要的分析和比較；對于一些常見的測量問題甚至可以勉勵同學(xué)設(shè)計應(yīng)用的程序,得到在實際中可以直接應(yīng)用的算法；2適當(dāng)支配一些實習(xí)作業(yè),目的是讓同學(xué)進一步鞏固所學(xué)的學(xué)問,提高同學(xué)分析問題的解決實際問題的才能、動手操作的才能以及用數(shù)學(xué)語言表達實習(xí)過程和實習(xí)結(jié)果才能,增強同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實踐才能；老師要留意對于同學(xué)實習(xí)作業(yè)的指導(dǎo),包括對于實際測量問題的挑選,準(zhǔn)時訂正實際操作中的錯誤,解決測量中顯現(xiàn)的一些問題；11 正弦定理（一）教學(xué)目標(biāo)1學(xué)問與技能 : 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探究,把握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定懂得 2. 過

9、程與方法 : 讓同學(xué)從已有的幾何學(xué)問動身斜三角形的兩類基本問題；, 共同探究在任意三角形中,邊與其對角的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生通過觀看, 推導(dǎo),比較,由特別到一般歸納出正弦定理,并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作；3情態(tài)與價值：培育同學(xué)在方程思想指導(dǎo)下處懂得三角形問題的運算才能；培育同學(xué)合情推理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想才能,通過三角形函數(shù)、 正弦定理、 向量的數(shù)量積等學(xué)問間的聯(lián)系來表達事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一；教學(xué)重點 ：正弦定理的探究和證明及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點 ：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判定解的個數(shù)；學(xué)法： 引導(dǎo)同學(xué)第一從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：aAbBcC,接著就一般斜sinsinsi

10、n三角形進行探究,發(fā)覺也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導(dǎo),讓同學(xué)發(fā)覺向量學(xué)問的簡捷,新奇；教學(xué)設(shè)想 創(chuàng)設(shè)情形 如圖 11-1 ,固定 ABC的邊 CB及 B,使邊 AC圍著頂點 C轉(zhuǎn)動； A 摸索：C的大小與它的對邊 AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？明顯,邊 AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大；能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ B C 探究爭論 名師精編優(yōu)秀教案圖 11-1 在中學(xué), 我們已學(xué)過如何解直角三角形,下面就第一來探討直角三角形中,角與邊的等式關(guān)系；如圖 11-2 ,在 Rt ABC中,設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 依據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函

11、數(shù)的定義,有 a c sin A,b c sin B,又 sin C 1 c c, A 就aAbcCcBc b c C a B sinsinBsinabC從而在直角三角形ABC中,Asinsinsin 圖 11-2 摸索：那么對于任意的三角形,以上關(guān)系式是否仍舊成立？（由同學(xué)爭論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情形：如圖 11-3 ,當(dāng)ABC是銳角三角形時,設(shè)邊AB上的高是 CD,依據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,有 CD= sinBb sinA, 就aAbB,sinsin C c 同理可得 sinCbB, b a 圖 11-3 sin從而aABbcC A c B sinsinsin 摸索：是

12、否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題,這個問題；（證法二）：過點 A 作 j AC,由向量的加法可得 AB AC CB C 就j ABcos 900jABjAC CB A B aja C ,即 sinAc jABjAC jCBA0j CBcos 900C sinAsinsinC同理,過點C作 jBC ,可得名師精編優(yōu)秀教案bcsinBsinC從而abc（由同學(xué)課后自己推導(dǎo)）從sinAsinBsinC類似可推出,當(dāng)ABC是鈍角三角形時,以上關(guān)系式仍舊成立；上面的研探過程,可得以下定理正弦定理： 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C

13、 懂得定理 : （1）正弦定理 說明同一三角形中,邊與其對角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù) k 使 a k sin A,b k sin B,c k sin C；（2）sin aA sin bB sin cC 等價于 sin aA sin bB, sin cC sin bB, sin aA sin cC從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,如absinA；sinB已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值；一般地,已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過程叫作 解三角形 ； 例題分析 : 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0

14、 81.8,a42.9cm,解三角形；0 66.2 ；解：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理,C1800AB0 1800 32.00 81.8 依據(jù)正弦定理,basinB0 42.9sin81.80 sin32.080.1 cm ；sinA依據(jù)正弦定理,casinC74.1 cm .42.9sin66.20sinAsin32.00評 述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用運算器；例 2在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形 （角度精確到0 1 ,邊長精確到 1cm）；解：依據(jù)正弦定理,sinBbsinA28sin4000.8999.,casinC20sin76030 cm .a20由于0

15、0 B 0 180 ,所以B640,或B0 116 . 當(dāng)B640時,C1800A B 18004000 64 760sinAsin400 當(dāng)B1160時,C1800AB 18004000 116 240,casinC013 cm .20sin24 0 sin40sinA評述：應(yīng)留意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可能有兩解的情形；名師精編 優(yōu)秀教案 隨堂練習(xí) 第 47 頁練習(xí) 1、2 題；例 3已知 ABC中,A 60 ,0a 3 , 求 a b csin A sin B sin C分析：可通過設(shè)一參數(shù) kk0 使 a b c k , sin A sin B sin C證明出 a b c

16、 a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：設(shè)sin aA sin bB sin cC k k o 就有 a k sin A,b k sin B ,c k sin C從而 sin A asin bB csin C = k sinsin AA ksin sinB Bsin k sinC C =k又sin aA sin60 30 2 k ,所以sin A asin bB csin C =2 評述：ABC中,等式 a b c a b c k k 0 恒成立；sin A sin B sin C sin A sin B sin C 補充練習(xí) 已知 ABC中, sin A :s