圓錐曲線硬解定理

1、錐曲線硬解定理圓錐曲線硬解定理，又稱CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時(shí)、尤+尤、尤尤及相交弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)便算法。121 21/定理簡(jiǎn)介在將圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立求解時(shí)人們發(fā)現(xiàn)了可消項(xiàng)的存在,但其一 般化的推導(dǎo)結(jié)果不具有普適性，且一直無法用一個(gè)簡(jiǎn)潔的形式表示.由 CGY(2010)以橢圓曲線推導(dǎo)，重新排列分組形式，并引入& ,從而得出了較為簡(jiǎn)潔 的表示形式.后再由CGY成功引入弦長(zhǎng)計(jì)算公式，并將適用范圍擴(kuò)大到對(duì)y值求解 與對(duì)的求解，從而奠定了 CGY-EH定理強(qiáng)大的通用性與普適性.2/定理內(nèi)容若曲線C:三+

2、 2 =1 m n與直線Ax+By+C=0相交于E、F兩點(diǎn)，則：與 +苑=MCmn) A =)/Fl+ B2) =+ B2n為一與同號(hào)的值.3/定理說明寸咸二1應(yīng)用該定理于橢圓廣 一 時(shí)應(yīng)將小二d二代入必 儼應(yīng)用于雙曲線應(yīng)一戶二時(shí)：應(yīng)將小二*二-代入同時(shí)頭0,艮口 8不為零.注：求解y + y與yy只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與 121 2A的值不會(huì)因此而改變.4/定理簡(jiǎn)證設(shè)：曲線蘭+2=1m n直線 Ax + By + C = 0相交于E、F兩點(diǎn)，聯(lián)立式可得最終的二次方程：G.2 m + B 2 nA 2 + 2 ACmx + B 2C2 m - mnB 2 = 0應(yīng)用韋達(dá)定理

3、，可得：+(2ACm)12 * m + B 2 nmC2 - B2n)12 A2m+b2氣A = 4mnB21 -C2)對(duì)于等價(jià)的一元二次方程的數(shù)值不唯一，且的意義僅在于其與零的關(guān)系,由4B20恒成立，貝何取與同號(hào)的A=mn(g -C2)作為的值.1 EF = / -x2 * +(y1 -y2* =*2JI +x2 -4x1x21r/口vG_2 + B kmA m + B 2 n - C 2可得I EFI=上IA2m + B2n I令8= A2m + B2n則得到CGY-EH定理：xi f二一小5址（-B句寥二響C?）勺$E 芯函= 二 |5/可行性應(yīng)用1.橢圓x2/4+y2/3=1與直線y=x+1相交于E、F兩點(diǎn)，求解相交弦|EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2.列表：ABCmn1-1143772求解：x1+x2x1*x2|EF|-8/7-8/7247互換表中A與B的值,m與n的值：ABmn-11324求解：y1+y2y1*y269772.雙曲線x2/3-y2/4=1與直線y=x+2相交于E、F兩點(diǎn)，求解相交弦|EF| ， x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2.列表：ABCmn1-123-4-160求解：x1+x2