立體幾何中探索問題

1、立體幾何中探索問題立體幾何中探索問題立體幾何中探索問題1如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BCCD1AD，E為AD的中點.2P（）求證：PACD；（）求證：平面PBD平面PAB；（）在平面PAB內(nèi)是否存在M，使得直線CM平面PBE，請說明原因.CBDAE1證明：（）因為平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因為PAAB，所以PA平面ABCD.則PACD.5分（）由已知，BCED，且BCED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，又CDAD，BCCD，所以四邊形BCDE是正方形，P連結(jié)CE，所以BDCE，又因為BCAE,BCAE，所以四邊

2、形ABCE是平行四邊形，所以CEAB，則BDAB.由（）知PAM平面ABCD，所以PABD，B又因為PAABA，C則BD平面PAB，DEA且BD平面PBD，所以平面PBD平面PAB.10分（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延伸AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點.原因如下：由已知，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CDEB，即CMEB，EBPBECMPBECMPBE.142.14PABCD,ABCDPCABCDEPA.BDPACPC/BDEAEEPPEABDEPBDC1PEDE.3PACAB3（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，

3、底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，PAAC過點A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點E,F,G（E,F,G三點均不在棱的端點處）（）求證：平面PAB平面PBC；（）若PC平面AEFG，求PF的值；PC（）直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結(jié)論3（本小題滿分14分）解：（）因為PA平面ABCD，所以PABC1分因為ABCD為正方形，所以ABBC，2分所以BC平面PAB3分所以平面PAB平面PBC4分（）連結(jié)AF5分因為PC平面AEFG，所以PCAF7分又因為PAAC，所以F是PC的中點8分所以PF19分PC2（）AE與平面PCD不可能平行10分證明如下：假定AE/平面PCD，因為A

4、B/CD，AB平面PCD所以AB/平面PCD12分而AE，AB平面PAB，所以平面PAB/平面PCD，這顯然矛盾！13分所以假定不建立，即AE與平面PCD不可能平行14分4（本小題滿分14分）如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF/CD，CDEA，CD2EF2，ED3M為棱FC上一點，平面ADM與棱FB交于點N（）求證：EDCD；（）求證：AD/MN；（）若ADED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出FM的值；若不能，說明理FC由3（本小題滿分14分）解：（）因為ABCD為矩形，所以CDAD1分又因為CDEA，2分所以CD平面EAD3分所以EDCD4分（）因為

5、ABCD為矩形，所以AD/BC，5分所以AD/平面FBC7分又因為平面ADMN平面FBCMN，所以AD/MN8分（）平面ADMN與平面BCF能夠垂直證明如下：9分連結(jié)DF因為ADED，ADCD，所以AD平面CDEF10分所以ADDM因為AD/MN，所以DMMN11分因為平面ADMN平面BCFMN，若使平面ADMN平面BCF，則DM平面BCF，所以DMFC12分在梯形CDEF中，因為EF/CD，EDCD，CD2EF2，ED3，所以DFDC2所以若使DMFC能建立，則M為FC的中點所以FM114分FC24（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/BC，BAD90，PAPDABPAAD

6、2ABBC1（）求證：ABPD；（）若E為PD的中點，求證：CE/平面PAB；（）設(shè)平面PAB平面PCDPM，點M在平面ABCD上當(dāng)PAPD時，求PM的長4（本小題滿分14分）解：（）因為BAD90，所以ABAD，1分又因為ABPA，2分所以AB平面PAD，3分所以ABPD4分（）取PA的中點F，連結(jié)BF，EF5分因為E為棱PD中點，所以EF/AD，EF1AD，2又因為BC/AD，BC1AD，2所以BC/EF，BCEF所以四邊形BCEG是平行四邊形，EC/BF8分又BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE/平面PAB9分（）在平面ABCD上，延伸AB，CD交于點M因為MAB，所以M平面PAB；

7、又MCD，所以M平面PCD，所以平面PAB平面PCDPM11分在ADM中，因為BC/AD，BC1AD，2所以AM2AB212分因為PAPD，所以APD是等腰直角三角形，所以PA213分由（）得AM平面PAD，所以AMPA在直角PAM中，PMPA2AM2614分6（12分）在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為菱形，側(cè)面ABE為等邊三角形，且側(cè)面ABE底面BCDE，O,F分別為BE,DE的中點A（）求證：AOCD；（）求證：平面AOF平面ACE；（）側(cè)棱AC上是否存在點P，使得BP/平面AOF?EFDAP的值；若不存在，請說明原因O若存在，求出BCPC6.解：（）因為ABE為等邊三角形，O為BE的

8、中點，所以AOBE又因為平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDEBE，AO平面ABE，所以AO平面BCDE又因為CD平面BCDE，所以AOCD3分（）連結(jié)BD，因為四邊形BCDE為菱形，所以CEBD因為O,F分別為BE,DE的中點，所以O(shè)F/BD，所以CEOF由（）可知，AO平面BCDE因為CE平面BCDE，所以AOCE.因為AOOFO，所以CE平面AOF又因為CE平面ACE，所以平面AOF平面ACE7分（）當(dāng)點P為AC上的三平分點（湊近A點）時，BP/平面AOF證明如下：A設(shè)CE與BD,OF的交點分別為M,N，連結(jié)AN,PMP因為四邊形BCDE為菱形，O,F分別為BE,DE的中點，所以

9、NM1EFDONMC2BM設(shè)P為AC上湊近A點的三平分點，C則APNM1，所以PM/ANPCMC2因為AN平面AOF，PM平面AOF，所以PM/平面AOF由于BD/OF，OF平面AOF，BD平面AOF，所以BD/平面AOF，即BM/平面AOF因為BMPMM，所以平面BMP/平面AOF因為BP平面BMP，所以BP/平面AOF.可見側(cè)棱AC上存在點P，使得BP/平面AOF，且AP112分PC27如圖，在多面體ABCDEF中，側(cè)面ABFE底面ABCD,ABCD為矩形，四邊形ABFE為梯形，底面AB/EF,EAAB,AB3EF,AEEBG為線段CD上的一點，若AFFG.EF,GE（1）求DG的值；GC

10、G（2）若ADAE，點A到平面CDE的距離為2，求四棱錐FAGCB的體積8（本小題滿分12分）如圖，直角三角形ABC中，A60，沿斜邊AC上的高BD，將ABD折起到PBD的地點，點E在線段CD上1）求證：PEBD；2）過點D作DMBC交BC于點M，點N為PB中點，若PE平面DMN，求DE的值DC8.解析：（1）因為BD是AC邊上的高，所以BDCD,BDPD，又PDCDD，BD平面PCD.PE平面PCD，所以PEBD.6分（2）連結(jié)BE，交DM與點F，PE/平面DMN，且PE平面PEB，平面PEB平面DMNNF，PE/NF,DF1BEEF，又BCD900600300，DEF是等邊三角形2DE1設(shè)

11、DEa，則BD3a，DC3BD3a，DC.12分39如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，ACC1CC1B160，AC23（1）求證：ABlCCl；（2）若AB132，D1為線段A1C1上的點，且三棱錐CB1C1D1的體積為3，求A1D1的值C1D110如圖（1），已知平行四邊形ACDP中，ADAP，ADAP，延伸PA至B，使得1ABAP1，連結(jié)BC?，F(xiàn)沿AD進行4翻折，使得平面ABCD平面ADP，連接PB、PC，獲得如圖（2）所示的空間圖形，點Q在線段PC上，且CQmPQ（1）若BQ平面ADP，求m的值；（2）在（1）的條件下，求點Q到平面ABP的距

12、離11.(本小題滿分12分）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，ABBD5,PB7.（）求證：平面PAD平面ABCD；（）設(shè)Q是棱PC上的點，當(dāng)PA/平面BDQ時，求QB與面ABCD成角的正弦值。解答：（1）取AD中點O，連結(jié)OP,OB，因為PAD是邊長為2的正三角形，所以O(shè)PAD,OP3，ABBD5OBAD,OB2，OB2OP2PB2OPOBOPABCDOPPAD平面PAD平面ABCD（2）331112已知等腰梯形(圖1),AB/EC,ABBC14,0,D是EC,ADEABCE中ECABC120中點將2沿AD折起,組成四棱錐PABCD(圖2),M

13、,N分別是BC,PC的中點.1）求證:AD平面DMN;（2）當(dāng)平面PAD平面ABCD時,求點C到平面PAB的距離.PEDCNDCABM圖1A圖2B證明：取AD的中點O,連結(jié)PO,OB,BD.PAD,ABD都是等邊三角形,POAD,BOAD,POBOO,AD平面POB.M,N分別為BC,PC的中點,MN/PB,AD/BCOD/BM,四邊形OBMD是平行四邊形.DM/OBMNDMM,平面DMN/平面POBAD平面DMN設(shè)點C到平面PAB的距離為h平面PAD平面ABCD,POADPO平面ABCDVCPABVPABC,PO23,SABC43,SPAB215SABCPO=415.hSPAB513（1）證明：連結(jié)AO，在AOA1中，作OEAA1于點E，因為AA1/BB1，得OEBB1，因為A1O平面ABC，所以A1OBC，因為ABAC,OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以O(shè)E平面BB1C1C，又AOAB2BO21,AA15，得AEAO255分AA15（2）由已知可得ABB1A1的高h(yuǎn)22(2)226，BCC1B1的高h(yuǎn)22125S側(cè)215525264545612分5141516如圖，菱形ABCD與等腰梯形ABFE所在平面互相垂直，AB2EF2