PID初學必看-自動控制的故事-晨楓

1、自動控制的故事引子小時候喜歡看雜書，沒什么東西看，不正在文化大革命嘛？不過看進去了兩個“化”：機械化和自動化。打小就沒有弄明白，這機械化和自動化到底有什么差別，機器不是自己就會動的嗎？長大了，總算稍微明白了一點，這機械化是力氣活，用機器代替人的體力勞動，但還是要人管著的，不然機器是不知道該干什么不該干什么的；這自動化嘛，就是代替人的重復腦力勞動，是用來管機器的。也就是說，自動化是管著機械化的，或者說學自動化的是管著學機械的啊，不對，不對，哪是哪?。∮腥丝甲C古代就有自動化的實例，但現(xiàn)代意義上的自動控制開始于瓦特的蒸汽機。據(jù)說紐考門比瓦特先發(fā)明蒸汽機，但是蒸汽機的轉(zhuǎn)速控制問題沒有解決，弄不好轉(zhuǎn)速飛

2、升，機器損壞不說，還可能說大事故。瓦特在蒸汽機的轉(zhuǎn)軸上安了一個小棍，棍的一端和放汽閥連著，棍的另一端是一個小重錘，棍中間某個地方通過支點和轉(zhuǎn)軸連接。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)起來的時候，重錘由于離心力的緣故揮起來。轉(zhuǎn)速太高了，重錘揮得很高，放汽閥就被按下去，轉(zhuǎn)速下降；轉(zhuǎn)速太低了，重錘不起來，放汽閥就被松開，轉(zhuǎn)速回升。這樣，蒸汽機可以自動保持穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速，即保證安全，又方便使用。也就是因為這個小小的轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器，瓦特的名字和工業(yè)革命連在一起，而紐考門的名字就要到歷史書里去找了。類似的例子在機械系統(tǒng)里很多，家居必備的抽水馬桶是另一個例子。放水沖刷后，水箱里水位降低，浮子隨水面下降，進水閥打開。隨著水位的升高，進水閥逐漸關(guān)

3、閉，直到水位達到規(guī)定高度，進水閥完全關(guān)閉，水箱的水正好準備下一次使用。這是一個非常簡單但非常巧妙的水位控制系統(tǒng)，是一個經(jīng)典的設(shè)計，但不容易用經(jīng)典的控制理論來分析，不過這是題外話了。這些機械系統(tǒng)設(shè)計巧妙，工作可靠，實在是巧奪天工。但是在實用中，如果每次都需要這樣的創(chuàng)造性思維，那太累，最好有一個系統(tǒng)的方法，可以解決“所有”的自動控制問題，這就是控制理論的由來。反饋和動態(tài)從小大人就教我們，走路要看路。為什么呢？要是不看著路，走路走歪了也不知道，結(jié)果就是東撞西撞的。要是看著路呢？走歪了，馬上就看到，趕緊調(diào)整腳步，走回到正道上來。這里有自動控制里的第一個重要概念：反饋（feedback）。反饋是一個過程

4、：1、設(shè)定目標，對小朋友走路的例子來說，就是前進的路線。2、測量狀態(tài)，小朋友的眼睛看著路，就是在測量自己的前進方向。3、將測量到的狀態(tài)和設(shè)定的目標比較，把眼睛看到的前進方向和心里想的前進方向作比較，判斷前進方向是否正確；如果不正確，相差有多少。4、調(diào)整行動，在心里根據(jù)實際前進方向和設(shè)定目標的偏差，決定調(diào)整的量。5、實際執(zhí)行，也就是實際挪動腳步，重回正確的前進方向。在整個走路的過程中，這個反饋過程周而復始，不斷進行，這樣，小朋友就不會走得東倒西歪了。但是，這里有一個問題：如果所有的事情都是在瞬時里同時發(fā)生的，那這個反饋過程就無法工作。要使反饋工作，一定要有一定的反應時間。還好，世上之事，都有一個

5、過程，這就為反饋贏得了所需要的時間。小時候，媽媽在鍋里蒸東西，蒸好了，從鍋里拿出來總是一個麻煩，需要抹布什么的墊著，免得燙手。但是碗和鍋的間隙不大，連手帶抹布伸進去頗麻煩，我常常不知天高地厚，自告奮勇地徒手把熱的碗拿出來，只要動作快，手起碗落，可以不燙手，當然嘍，要是捧著熱碗再東晃晃，西蕩蕩，那手上感覺的溫度最終會和熱碗一樣，肯定要把手心、手指燙熟不可的。在從接觸碗到皮膚溫度和碗表面一樣，這里面有一個逐漸升溫的過程，這就是動態(tài)過程(dynamicprocess)。這里面有兩個東西要注意：一個是升溫的過程有多快，另一個是最終的溫度可以升到多少。要是知道了這兩個參數(shù)，同時知道自己的手可以耐受多少溫

6、度，理論上可以計算出熱的碗在手里可以停留多少時間而不至于燙手。反饋過程也叫閉環(huán)(closedloop)過程。既然有閉環(huán)，那就有開環(huán)(openloop)。開環(huán)就是沒有反饋的控制過程，設(shè)定一個控制作用，然后就執(zhí)行，不根據(jù)實際測量值進行校正。開環(huán)控制只有對簡單的過程有效，比如洗衣機和烘干機按定時控制，到底衣服洗得怎么樣，烘得干不干，完全取決于開始時的設(shè)定。對于洗衣機、烘干機這樣的問題，多設(shè)一點時間就是了，稍微浪費一點，但可以保證效果。對于空調(diào)機，就不能不顧房間溫度，簡單地設(shè)一個開10分鐘、關(guān)5分鐘的循環(huán)，而應該根據(jù)實際溫度作閉環(huán)控制，否則房間里的溫度天知道到底會達到多少。對于政府官員，更不能只顧計劃

7、不顧變化，盲目瞎指揮。記得80年代時，報告文學很流行。徐遲寫了一個哥德巴赫猜想，于是全國人民都爭當科學家。小說家也爭著寫科學家，成就太小不行，所以來一個語不驚人死不休，某大家寫了一個無反饋快速跟蹤。那時正在大學啃磚頭，對這個科學新發(fā)現(xiàn)大感興趣，從頭看到尾，也沒有看明白到底是怎么無反饋快速跟蹤的?，F(xiàn)在想想，小說就是小說，不過這無良作家也太扯，無反饋還要跟蹤，不看著目標，不看著自己跑哪了，這跟的什么蹤啊，這和永動機差不多了，怎么不挑一個好一點的題目，冷聚變什么的，至少在理論上還是可能的。題外話了。在數(shù)學上，動態(tài)過程用微分方程描述，反饋過程就是在描述動態(tài)過程的微分方程的輸入項和輸出項之間建立一個關(guān)聯(lián)

8、，這樣改變了微分方程本來的性質(zhì)。自動控制就是在這個反饋和動態(tài)過程里做文章的。開關(guān)控制房間內(nèi)的空調(diào)是一個簡單的控制問題。不過這只是指單一房間，整個高層大樓所有房間的中央空調(diào)問題實際上是一個相當復雜的問題，不在這里討論的范圍。夏天了，室內(nèi)溫度設(shè)在28度，實際溫度高于28度了，空調(diào)機啟動致冷，把房間的溫度降下來；實際溫度低于28度了，空調(diào)機關(guān)閉，讓房間溫度受環(huán)境氣溫自然升上去。通過這樣簡單的開關(guān)控制，室內(nèi)溫度應該就控制在28度。不過這里有一個問題，如果溫度高于28度一點點，空調(diào)機就啟動；低于28度一點點，空調(diào)機就關(guān)閉；那如果溫度傳感器和空調(diào)機的開關(guān)足夠靈敏的話，空調(diào)機的開關(guān)頻率可以無窮高，空調(diào)機不斷

9、地開開關(guān)關(guān)，要發(fā)神經(jīng)病了，這對機器不好，在實際上也沒有必要。解決的辦法是設(shè)立一個“死區(qū)”(deadband)，溫度高于29度時開機，低于27度時關(guān)機。注意不要搞反了，否則控制單元要發(fā)神經(jīng)了。有了一個死區(qū)后，室內(nèi)溫度不再可能嚴格控制在28度，而是在27到29度之間“晃蕩”。如果環(huán)境溫度一定，空調(diào)機的制冷量一定，室內(nèi)的升溫/降溫動態(tài)模型已知，可以計算溫度“晃蕩”的周期。不過既然是講故事，我們就不去費那個事了。這種開關(guān)控制看起來“土”，其實好處不少。對于大部分過程來說，開關(guān)控制的精度不高但可以保證穩(wěn)定，或者說系統(tǒng)輸出是“有界”的，也就是說實際測量值一定會被限制在一定的范圍，而不可能無限制地發(fā)散出去。

10、這種穩(wěn)定性和一般控制理論里強調(diào)的所謂漸進穩(wěn)定性不同，而是所謂BIBO穩(wěn)定性，前者要求輸出最終趨向設(shè)定值，后者只要求在有界的輸入作用下輸出是有界的，BIB0指boundedinputboundedoutput。對于簡單的精度要求不高的過程，這種開關(guān)控制(或者稱繼電器控制，relaycontrol，因為最早這種控制方式是用繼電器或電磁開關(guān)來實現(xiàn)的)就足夠了。但是很多時候，這種“毛估估”的控制滿足不了要求。汽車在高速公路上行駛，速度設(shè)在定速巡航控制，速度飄下去幾公里，心里覺得吃虧了，但要是飄上去幾公里，被警察抓下來吃一個罰單，這算誰的？開關(guān)控制是不連續(xù)控制，控制作用一加就是“全劑量”的，一減也是“全

11、劑量”的，沒有中間的過渡。如果空調(diào)機的制冷量有三個設(shè)定，：小、中、大，根據(jù)室溫和設(shè)定的差別來決定到底是用小還是中還是大，那室溫的控制精度就可以大大提高，換句話說，溫度的“晃蕩”幅度將大幅度減小。那么，如果空調(diào)機有更多的設(shè)定，從小小到小中到到大大，那控制精度是不是更高呢？是的。既然如此，何不用無級可調(diào)的空調(diào)機呢？那豈不可以更精確地控制室溫了嗎？是的。連續(xù)控制和PID無級可調(diào)或連續(xù)可調(diào)的空調(diào)機可以精確控制溫度，但開關(guān)控制不能再用了。家用空調(diào)機中，連續(xù)可調(diào)的不占多數(shù)，但沖熱水淋浴是一個典型的連續(xù)控制問題，因為水龍頭可以連續(xù)調(diào)節(jié)水的流量。沖淋浴時，假定冷水龍頭不變，只調(diào)節(jié)熱水。那溫度高了，熱水關(guān)小一點

12、；溫度低了，熱水開打一點。換句話說，控制作用應該向減少控制偏差的方向變化，也就是所謂負反饋?？刂品较?qū)α?，還有一個控制量的問題。溫度高了1度，熱水該關(guān)小多少呢？經(jīng)驗告訴我們，根據(jù)具體的龍頭和水壓，溫度高1度，熱水需要關(guān)小一定的量，比如說，關(guān)小一格。換句話說，控制量和控制偏差成比例關(guān)系，這就是經(jīng)典的比例控制規(guī)律：控制量=比例控制增益*控制偏差，偏差越大，控制量越大?？刂破罹褪菍嶋H測量值和設(shè)定值或目標值之差。在比例控制規(guī)律下，偏差反向，控制量也反向。也就是說，如果淋浴水溫要求為40度，實際水溫高于40度時，熱水龍頭向關(guān)閉的方向變化；實際水溫低于40度時，熱水龍頭向開啟的方向變化。但是比例控制規(guī)律

13、并不能保證水溫能夠精確達到40度。在實際生活中，人們這時對熱水龍頭作微調(diào)，只要水溫還不合適，就一點一點地調(diào)節(jié)，直到水溫合適為止。這種只要控制偏差不消失就漸進微調(diào)的控制規(guī)律，在控制里叫積分控制規(guī)律，因為控制量和控制偏差在時間上的累積成正比，其比例因子就稱為積分控制增益。工業(yè)上常用積分控制增益的倒數(shù)，稱其為積分時間常數(shù)，其物理意義是偏差恒定時，控制量加倍所需的時間。這里要注意的是，控制偏差有正有負，全看實際測量值是大于還是小于設(shè)定值，所以只要控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，也就是實際測量值最終會穩(wěn)定在設(shè)定值上，控制偏差的累積不會是無窮大的。這里再啰嗦一遍，積分控制的基本作用是消除控制偏差的余差（也叫殘差）。比例

14、和積分控制規(guī)律可以應付很大一類控制問題，但不是沒有改進余地的。如果水管水溫快速變化，人們會根據(jù)水溫的變化調(diào)節(jié)熱水龍頭：水溫升高，熱水龍頭向關(guān)閉方向變化，升溫越快，開啟越多；水溫降低，熱水龍頭向開啟方向變化，降溫越快，關(guān)閉越多。這就是所謂的微分控制規(guī)律，因為控制量和實際測量值的變化率成正比，其比例因子就稱為比例控制增益，工業(yè)上也稱微分時間常數(shù)。微分時間常數(shù)沒有太特定的物理意義，只是積分叫時間常數(shù)，微分也跟著叫了。微分控制的重點不在實際測量值的具體數(shù)值，而在其變化方向和變化速度。微分控制在理論上和實用中有很多優(yōu)越性，但局限也是明顯的。如果測量信號不是很“干凈”，時不時有那么一點不大不小的“毛刺”或

15、擾動，微分控制就會被這些風吹草動搞得方寸大亂，產(chǎn)生很多不必要甚至錯誤的控制信號。所以工業(yè)上對微分控制的使用是很謹慎的。比例-積分-微分控制規(guī)律是工業(yè)上最常用的控制規(guī)律。人們一般根據(jù)比例-積分-微分的英文縮寫，將其簡稱為PID控制。即使在更為先進的控制規(guī)律廣泛應用的今天，各種形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。PID整定在PID控制中，積分控制的特點是：只要還有余差（即殘余的控制偏差）存在，積分控制就按部就班地逐漸增加控制作用，直到余差消失。所以積分的效果比較緩慢，除特殊情況外，作為基本控制作用，緩不救急。微分控制的特點是：盡管實際測量值還比設(shè)定值低，但其快速上揚的沖勢需要及早加以

16、抑制，否則，等到實際值超過設(shè)定值再作反應就晚了，這就是微分控制施展身手的地方了。作為基本控制使用，微分控制只看趨勢，不看具體數(shù)值所在，所以最理想的情況也就是把實際值穩(wěn)定下來，但穩(wěn)定在什么地方就要看你的運氣了，所以微分控制也不能作為基本控制作用。比例控制沒有這些問題，比例控制的反應快，穩(wěn)定性好，是最基本的控制作用，是“皮”，積分、微分控制是對比例控制起增強作用的，極少單獨使用，所以是“毛”。在實際使用中比例和積分一般一起使用，比例承擔主要的控制作用，積分幫助消除余差。微分只有在被控對象反應遲緩，需要在開始有所反應時，及早補償，才予以采用。只用比例和微分的情況很少見。連續(xù)控制的精度是開關(guān)控制所不可

17、比擬的，但連續(xù)控制的高精度也是有代價的，這就是穩(wěn)定性問題。控制增益決定了控制作用對偏差的靈敏度。既然增益決定了控制的靈敏度那么越靈敏豈不越好？非也。還是用汽車的定速巡航控制做例子。速度低一點，油門加一點，速度低更多，油門加更多，速度高上去當然就反過來。但是如果速度低一點，油門就狂加，導致速度高一點，油門再狂減，這樣速度不但不能穩(wěn)定在要求的設(shè)定值上，還可能失控。這就是不穩(wěn)定。所以控制增益的設(shè)定是有講究的。在生活中也有類似的例子。國民經(jīng)濟過熱，需要經(jīng)濟調(diào)整，但調(diào)整過火，就要造成“硬著陸”，引起衰退；衰退時需要刺激，同樣，刺激過火，會造成過熱。要達成“軟著陸”，經(jīng)濟調(diào)整的措施需要恰到好處。這也是一個

18、經(jīng)濟動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。實際中到底多少增益才是最合適的，理論上有很多計算方法，但實用中一般是靠經(jīng)驗和調(diào)試來摸索最佳增益，業(yè)內(nèi)行話叫參數(shù)整定。如果系統(tǒng)響應在控制作用后面拖拖沓沓，大幅度振蕩的話，那一般是積分太過；如果系統(tǒng)響應非常神經(jīng)質(zhì)，動不動就打擺子，呈現(xiàn)高頻小幅度振蕩的話，那一般是微分有點過分。中頻振蕩當然就是比例的問題了。不過各個系統(tǒng)的頻率都是不一樣的，到底什么算高頻，什么算低頻，這個幾句話說不清楚，應了毛主席那句話：“具體情況具體分析”，所以就打一個哈哈了。再具體說起來，參數(shù)整定有兩個路子。一是首先調(diào)試比例增益以保證基本的穩(wěn)定性，然后加必要的積分以消除余差，只有在最必要的情況下，比如反映

19、遲緩的溫度過程或容量極大的液位過程，測量噪聲很低，才加一點微分。這是“學院派”的路子，在大部分情況下很有效。但是工業(yè)界有一個“歪路子”：用非常小的比例作用，但大大強化積分作用。這個方法是完全違背控制理論的分析的，但在實際中卻是行之有效，原因在于測量噪聲嚴重，或系統(tǒng)反應過敏時，積分為主的控制規(guī)律動作比較緩和，不易激勵出不穩(wěn)定的因素，尤其是不確定性比較高的高頻部分，這也是鄧小平“穩(wěn)定壓倒一切”的初衷吧。在很多情況下，在初始PID參數(shù)整定之后，只要系統(tǒng)沒有出現(xiàn)不穩(wěn)定或性能顯著退化，一般不會去重新整定。但是要是系統(tǒng)不穩(wěn)定了怎么辦呢？由于大部分實際系統(tǒng)都是開環(huán)穩(wěn)定的，也就是說，只要控制作用恒定不變，系統(tǒng)

20、響應最終應該穩(wěn)定在一個數(shù)值，盡管可能不是設(shè)定值，所以對付不穩(wěn)定的第一個動作都是把比例增益減小，根據(jù)實際情況，減小1/3、1/2甚至更多，同時加大積分時間常數(shù)，常常成倍地加，再就是減小甚至取消微分控制作用。如果有前饋控制，適當減小前饋增益也是有用的。在實際中，系統(tǒng)性能不會莫名其妙地突然變壞，上述“救火”式重新整定常常是臨時性的，等生產(chǎn)過程中的機械或原料問題消除后，參數(shù)還是要設(shè)回原來的數(shù)值，否則系統(tǒng)性能會太過“懶散”。對于新工廠，系統(tǒng)還沒有投運，沒法根據(jù)實際響應來整定，一般先估計一個初始參數(shù)，在系統(tǒng)投運的過程中，對控制回路逐個整定。我自己的經(jīng)驗是，對于一般的流量回路，比例定在0.5左右，積分大約1

21、分鐘，微分為0，這個組合一般不致于一上來就出大問題。溫度回路可以從2、5、0.05開始，液位回路從5、10、0開始，氣相壓力回路從10、20、0開始。既然這些都是憑經(jīng)驗的估計，那當然要具體情況具體分析，不可能“放之四海而皆準”。微分一般用于反應遲緩的系統(tǒng)，但是事情總有一些例外。我就遇到過一個小小的冷凝液罐，直徑才兩英尺，長不過5英尺，但是流量倒要8-12噸/小時，一有風吹草動，液位變化非常迅速，不管比例、積分怎么調(diào)，液位很難穩(wěn)定下來，常常是控制閥剛開始反應，液位已經(jīng)到頂或到底了。最后加了0.05的微分，液位一開始變化，控制閥就開始抑制，反而穩(wěn)定下來了。這和常規(guī)的參數(shù)整定的路子背道而馳，但在這個

22、情況下，反而是“唯一”的選擇，因為測量值和控制閥的飽和變成穩(wěn)定性主要的問題了。經(jīng)典的系統(tǒng)穩(wěn)定性對工業(yè)界以積分為主導控制作用的做法再啰嗦幾句。學術(shù)上，控制的穩(wěn)定性基本就是漸近穩(wěn)定性，BIBO穩(wěn)定性是沒有辦法證明漸近穩(wěn)定性時的“退而求其次”的東西，不怎么上臺面的。但是工業(yè)界里的穩(wěn)定性有兩個看起來相似、實質(zhì)上不盡相同的方面：一個當然是漸近穩(wěn)定性，另一個則是穩(wěn)定性，但不一定向設(shè)定值收斂，或者說穩(wěn)定性比收斂性優(yōu)先這樣一個情況。具體來說，就是需要系統(tǒng)穩(wěn)定在一個值上，不要動來動去，但是不是在設(shè)定值并不是太重要，只要不是太離譜就行。例子有很多，比如反應器的壓力是一個重要參數(shù)反應器不穩(wěn)定，原料進料比例就亂套，催

23、化劑進料也不穩(wěn)定，反應就不穩(wěn)定，但是反應器的壓力到底是10個大氣壓還是12個大氣壓，并沒有太大的關(guān)系，只要慢慢地但是穩(wěn)定地向設(shè)定值移動就足夠了。這是控制理論里比較少涉及的一個情況，這也是工業(yè)上時常采用積分主導的控制的一個重要原因。前面說到系統(tǒng)的頻率，本來也就是系統(tǒng)響應持續(xù)振蕩時的頻率，但是控制領(lǐng)域里有三撥人在搗騰：一撥是以機電類動力學系統(tǒng)為特色的電工出身，包括航空、機器人等，一撥是以連續(xù)過程為特色的化工出身的，包括冶金、造紙等，還有一撥是以微分方程穩(wěn)定性為特色的應用數(shù)學出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里，各打各的山頭，井水不犯河水，倒也太平。但控制從藝術(shù)上升為理論后，總有人喜歡“統(tǒng)一”，電工幫搶

24、了先，好端端的控制理論里被塞進了電工里的頻率。童子們哪，那哪是頻率啊，那是復頻率。既然那些變態(tài)的電工幫能折騰出虛功率，那他們也能折騰出復頻率來，他們自虐倒也算了，只是苦了我等無辜之眾，被迫受此精神折磨。事情的緣由是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。前面提到，PID的參數(shù)如果設(shè)得不好，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。除了摸索，有沒有辦法從理論上計算出合適的PID參數(shù)呢？前面也提到，動態(tài)過程可以用微分方程描述，其實在PID的階段，這只是微分方程中很狹窄的一支：單變量線性常微分方程。要是還記得大一高數(shù)，一定還記得線形常微的解，除了分離變量法什么的，如果自變量時間用t表示的話，最常用的求解還是把exp（入t）代入微分方程，然后解已經(jīng)變成

25、入的代數(shù)方程的特征方程，解出來的解可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，是復數(shù)的話，就要用三角函數(shù)展開了（怎么樣，大一噩夢的感覺找回來一點沒有？）。只要實根為負，那微分方程就是穩(wěn)定的，因為負的指數(shù)項最終向零收斂，復根到底多少就無所謂了，對穩(wěn)定性沒有影響。但是這么求解分析起來還是不容易，還是超不出“具體情況具體分析”，難以得出一般的結(jié)論。法國人以好色、好吃出名，但是他們食色性也之后，還不老實，其中一個叫拉普拉斯的家伙，搗鼓出什么拉普拉斯變換，把常微分方程變成S的多項式。然后那幫電工的家伙們，喜歡自虐，往S里塞就是那個復頻率，整出一個變態(tài)的頻率分析，用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不過說變態(tài)，也不完全公平，在沒有計算機

26、的年代，各種圖表是最有效的分析方法，還美其名曰幾何分析”。頻率分析也不例外。美國佬Evans搞出一個根軌跡（rootlocus），思路倒是滿有意思的。他用增益作自變量，將系統(tǒng)的根（不管實的虛的）在復平面上畫出軌跡來，要是軌跡在左半平面打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，那就是實根為負，就是穩(wěn)定的。再深究下去，系統(tǒng)響應的臨界頻率之類也可以計算出來。最大的好處是，對于常見的系統(tǒng)，可以給出一套作圖規(guī)則來，熟練的大牛、小牛、公牛、母牛們，眼睛一瞄，隨手就可以畫出根軌跡來，然后就可以告訴你，增益變化多多少，系統(tǒng)開始振蕩，再增加多少，系統(tǒng)會不穩(wěn)定，云云。根軌跡還是比較客氣的，還有更變態(tài)的奈奎斯特、伯德和尼科爾斯法，想想腦子都大。都是

27、叫那幫電工分子害的。時至今日，計算機分析已經(jīng)很普及了，但是古典的圖示分析還是有經(jīng)久不衰的魅力，就是因為圖示分析不光告訴你系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定，以及其他一些動態(tài)響應的參數(shù)，圖示分析還可以定性地告訴你增益變化甚至系統(tǒng)參數(shù)變化引起的閉環(huán)性能變化。咦，剛才還不是在說人家變態(tài)嗎？呃，變態(tài)也有變態(tài)的魅力不是？哈哈。非常規(guī)PID以頻率分析（也稱頻域分析）為特色的控制理論稱為經(jīng)典控制理論。經(jīng)典控制理論可以把系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析得天花亂墜，但有兩個前提：一、要已知被控對象的數(shù)學模型，這在實際中不容易得到；二、被控對象的數(shù)學模型不會改變或漂移，這在實際中更難做到。對簡單過程建立微分方程是可能的，但簡單過程的控制不麻煩

28、，經(jīng)驗法參數(shù)整定就搞定了，不需要費那個事，而真正需要理論計算幫忙的回路，建立模型太困難，或者模型本身的不確定性很高，使得理論分析失去意義。經(jīng)典控制理論在機械、航空、電機中還是有成功的應用，畢竟從F=ma出發(fā)，可以建立“所有”的機械系統(tǒng)的動力學模型，鐵疙瘩的重量又不會莫名其妙地改變，主要環(huán)境參數(shù)都可以測量。但是經(jīng)典控制理論至少在化工控制中實用成功的例子實在是鳳毛麟角，給你一個50塊塔板的精餾塔，一個氣相進料，一個液相進料，塔頂、塔底出料加一個側(cè)線出料，塔頂風冷冷凝器，塔底再沸器加一個中間再沸器，你就慢慢建模去吧，等九牛二虎把模型建立起來了，風冷冷凝器受風霜雨雪的影響，再沸器的高壓蒸汽的壓力受友鄰

29、裝置的影響，氣相進料的溫度和飽和度受上游裝置的影響而改變，液相進料的混合組分受上游裝置的影響而改變，但組分無法及時測量（在線氣相色譜分析結(jié)果要45分鐘才能出來），動態(tài)特性全變了。老家伙歌德兩百年前就說了，理論是灰色的，生命之樹常青。在實用中，PID有很多表兄弟，幫著大表哥一塊打天下。比例控制的特點是：偏差大，控制作用就大。但在實際中有時還嫌不夠，最好偏差大的時候，比例增益也大，進一步加強對大偏差的矯正作用，及早把系統(tǒng)拉回到設(shè)定值附近；偏差小的時候，當然就不用那么急吼吼，慢慢來就行，所以增益小一點，加強穩(wěn)定性。這就是雙增益PID（也叫雙模式PID）的起源。想想也對，高射炮瞄準敵機是一個控制問題。

30、如果炮管還指向離目標很遠的角度，那應該先盡快地把炮管轉(zhuǎn)到目標角度附近，動作猛一點才好；但炮管指向已經(jīng)目標很近了，就要慢慢地精細瞄準。工業(yè)上也有很多類似的問題雙增益PID的一個特例是死區(qū)PID(PIDwithdeadband)，小偏差時的增益為零，也就是說，測量值和設(shè)定值相差不大的時候，就隨他去，不用控制。這在大型緩沖容器的液位控制里用得很多。本來緩沖容器就是緩沖流量變化的，液位到底控制在什么地方并不緊要，只要不是太高或太低就行。但是，從緩沖容器流向下游裝置的流量要盡可能穩(wěn)定，否則下游裝置會受到不必要的擾動。死區(qū)PID對這樣的控制問題是最合適的。但是天下沒有免費的午餐。死區(qū)PID的前提是液位在一

31、般情況下會“自動”穩(wěn)定在死區(qū)內(nèi)，如果死區(qū)設(shè)置不當，或系統(tǒng)經(jīng)常受到大幅度的擾動，死區(qū)內(nèi)的“無控”狀態(tài)會導致液位不受限制地向死區(qū)邊界“挺進”，最后進入“受控”區(qū)時，控制作用過火，液位向相反方向不受限制地“挺進”，最后的結(jié)果是液位永遠在死區(qū)的兩端振蕩，而永遠不會穩(wěn)定下來，業(yè)內(nèi)叫hunting。雙增益PID也有同樣的問題，只是比死區(qū)PID好一些，畢竟只有強控制”和“弱控制”的差別，而沒有“無控區(qū)”。在實用中，雙增益的內(nèi)外增益差別小于2：1沒有多大意義，大于5：1就要注意上述的持續(xù)振蕩或hunting的問題。雙增益或死區(qū)PID的問題在于增益的變化是不連續(xù)的，控制作用在死區(qū)邊界上有一個突然的變化，容易誘發(fā)

32、系統(tǒng)的不利響應，平方誤差PID就沒有這個問題。誤差一經(jīng)平方，控制量對誤差的曲線就成了拋物線，同樣達到“小偏差小增益、大偏差大增益”的效果，還沒有突然的不連續(xù)的增益變化。但是誤差平方有兩個問題：一是誤差接近于零的時候，增益也接近于零，回到上面死區(qū)PID的問題；二是很難控制拋物線的具體形狀，或者說，很難制定增益在什么地方拐彎。對于第一個問題，可以在誤差平方PID上加一個基本的線性PID，使零誤差時增益不為零；對于后一個問題，就要用另外的模塊計算一個連續(xù)變化的增益了。具體細節(jié)比較瑣碎，將偏差送入一個分段線性化(也就是折線啦)的計算單元，然后將計算結(jié)果作為比例增益輸出到PID控制器，折線的水平段就對應

33、予不同的增益，而連接不同的水平段的斜線就對應于增益的連續(xù)變化。通過設(shè)置水平段和斜線段的折點，可以任意調(diào)整變增益的曲線。要是“野心”大一點，再加幾個計算單元，可以做出不對稱的增益，也就是升溫時增益低一點，降溫時增益高一點，以處理加熱過程中常見的升溫快、降溫慢的問題雙增益或誤差平方都是在比例增益上作文章，同樣的勾當也可以用在積分和微分上。更極端的一種PID規(guī)律叫積分分離PID，其思路是這樣的：比例控制的穩(wěn)定性好，響應快，所以偏差大的時候，把PID中的積分關(guān)閉掉；偏差小的時候，精細調(diào)整、消除余差是主要問題，所以減弱甚至關(guān)閉比例作用，而積分作用切入控制。概念是好的，但具體實施的時候有很多無擾動切換的問

34、題。這些變態(tài)的PID在理論上很難分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在實用中解決了很多困難的問題。大言不慚一句，這些PID本人在實際中都用過。復雜結(jié)構(gòu)PID打仗時，如果敵人太頑固，要么換更大的炮，把敵人轟倒；要么采用更巧妙的戰(zhàn)術(shù)，把敵人暈倒?？刂埔彩且粯樱瑔位芈稰ID難以解決的問題，常?？梢酝ㄟ^更巧妙的回路結(jié)構(gòu)來解決。單一的PID回路當然可以實現(xiàn)擾動抑制，但要是主要擾動在回路中，而且是明確的，加一個內(nèi)回路作幫手是一個很不錯的主意。還記得洗熱水澡的例子嗎？要是熱水壓力不穩(wěn)定，老是要為這個而調(diào)整熱水龍頭，那很麻煩。要是有一個人專門負責根據(jù)熱水壓力調(diào)節(jié)熱水流量，把熱水流量穩(wěn)定下來，而且穩(wěn)定在標定值，那洗澡的時候，水

35、溫就容易控制多了，只要告訴那個人現(xiàn)在需要多少熱水流量，而不必煩心熱水壓力對熱水流量的影響。這個負責熱水流量的控制回路就是內(nèi)回路，也叫副回路，而洗澡的溫度就是外回路，也叫主回路，當然是主回路指揮副回路，就像自動化指揮機械化、學自控的人指揮學機電的人打住打住。這種主回路套副回路的結(jié)構(gòu)叫串級控制(cascadecontrol)，曾經(jīng)是單回路PID后工業(yè)上第一種“先進過程控制”，現(xiàn)在串級已經(jīng)用得很多了，也不再有人叫它“先進過程控制”了。串級控制最主要的功用是抑制回路內(nèi)的擾動，增強總體控制性能。不過串級也不能亂用。如果主回路和副回路的響應速度差不多，或者主回路的相應速度甚至慢于副回路(通過變態(tài)的調(diào)試是可

36、以做到的)，這樣的串級要出問題。理論上可以用共振頻率什么的分析，但是不用費那個事，用膝蓋想想就知道，一個急性子的頭兒把一個溫吞水的下屬指揮得團團轉(zhuǎn)，結(jié)果只能是大家都精疲力竭，事情還辦砸了。相反，一個鎮(zhèn)定自若的頭兒指揮一個手腳麻利的下屬，那事情肯定辦得好。如果主要擾動在回路以外，但是可以預知，那就要用另一個辦法，就是前饋了。還是用洗熱水澡的例子。如果冷水管和同一個水房的抽水馬桶共用，你在洗澡，別人一抽水，那你就變煮熟的龍蝦了(本想說猴子PP的，但是那個不雅，我們要五講四美不是？)。這個時候，要是那個人在抽水的同時告訴你一聲，你算好時間，算好量，猛減熱水，那溫度還是可以大體不變的。這就是所謂前饋控

37、制(feedforwardcontrol)。前饋控制有兩個要緊的東西：一是定量的擾動對被控變量的影響，也就是所謂前饋增益；二是擾動的動態(tài)，別人抽水到洗澡龍頭的水溫變熱，這里面有一個過程，不是立時三刻的。如果可以精確知道這兩樣東西，那前饋補償可以把可測擾動完全補償?shù)?。但實際上沒有精確知道的事情，要是指望前饋來完全補償，弄巧成拙是肯定的。所以前饋通常和反饋一起用，也就是在PID回路上再加一個前饋。一般也只用靜態(tài)前饋，也就是只補償擾動對被控變量的靜態(tài)影響，而忽略擾動的動態(tài)因素，主要是因為靜態(tài)前饋已經(jīng)把前饋80%的好處發(fā)掘出來了。動態(tài)前饋既復雜又不可靠，在PID回路里很少有人用。理論上的前饋都是在PI

38、D的控制作用上再加一個前饋作用，實際上也可以乘一個控制作用。乘法前饋的作用太猛，我從來沒有用過，一般都是用加法。在實施中，前饋是和擾動的變化(也就是增量)成比例，所以擾動變量不變了，前饋作用就消失，否則，整定前饋控制增益會對PID主回路造成擾動。前饋增益可以根據(jù)粗略計算得到，比如說，抽水的量會造成溫度下降多少、需要調(diào)整多少熱水流量才能維持溫度，這不難從熱量平衡算出來。不想費這個事的話，也可以從歷史數(shù)據(jù)中推算。一般算出來一個前饋增益后，打上7折甚至5折再用，保險一點，不要矯枉過正。前饋作用一般是用作輔助控制作用的，但是在特殊情況下，前饋也可以作為“預加載”(pre-loading)作為基準控制作

39、用。比如說，在一個高壓系統(tǒng)的啟動過程中，壓力可以從靜止狀態(tài)的常壓很快地升到很高的壓力。正常情況下，高壓系統(tǒng)不容許閥門大幅度運動，所以控制增益都比較低，但是這樣一來，啟動升壓過程中，壓力控制的反應就十分遲緩，容易造成壓力過高。這時用壓縮機的轉(zhuǎn)速或高壓進料的流量作前饋，將壓力控制閥“預先”放到大概的位置，然后再用反饋慢慢調(diào)節(jié)，就可以解決這個問題。有時用單個閥門難以控制大范圍變化的流量，這是一個很實際的問題。工業(yè)閥門一般turndown只有10：1,也就是說，如果這個閥門的最大流量是100噸/小時的話，低于10噸/小時就難以控制了，當然，高于90噸/小時也幾近失去控制。所以，要真的保證0-100的精

40、確控制，需要將一個大閥和一個小閥并列，小閥負責小流量時的精確控制，大閥負責大流量時的精確控制，這就是所謂的分程控制(splitrangecontrol)。分程控制時，小閥首先打開，超過小閥最大流量時，小閥就固定在全開位置，大閥開始打開，接過控制。這是開-開型分程控制。也有關(guān)-開型分程控制，比如反應器夾套溫度控制，隨溫度逐漸上升，冷卻水逐漸關(guān)閉，直到冷卻水全關(guān)，加熱蒸氣開始打開。分程控制當然不一定只有兩截，三截甚至更多都是可以的，道理都一樣。分程控制的問題在于不同閥門的交接點。閥門在特別小的開度時，控制非常不靈敏，前面說到的10：1也是這個道理。所以實用中，開-開型分程控制常常在交接點附近有一段

41、重疊，也就是小閥快要全開但還沒有全開時，大閥已經(jīng)開始動作，這樣，到小閥全開、不能再動彈時，大閥已經(jīng)進入有效控制范圍。關(guān)-開型分程控制常常在交接點設(shè)置一個死區(qū)，避免出現(xiàn)兩個閥都有一點點開度的情況。分程控制的交接點的設(shè)置有一點講究，應該根據(jù)閥的大小。比如A閥比B閥大一倍，那分程點應該設(shè)在1/3先開B閥，而不是懶漢做法的1/2。很多過程參數(shù)都是可以測量的，但也有很多參數(shù)是沒法直接測量的，這時，如果能夠通過別的可以測量的過程參數(shù)來間接計算真正需要控制的參數(shù)，這就是所謂的推斷控制(inferentialcontrol)。比如精餾塔頂?shù)漠a(chǎn)品純度可以用氣相色譜(gaschromatograph，GC)來測量

42、，但結(jié)果要等40分鐘才能出來，用來做實時控制，黃花菜都涼了。推斷控制是和“軟傳感器”(softsensor)的概念緊密相連的。對精餾塔塔頂純度這個例子來說，可以用純度和塔頂溫度、壓力作一個數(shù)學模型，用可以測量的溫度和壓力，間接計算出純度。在計算機控制普及的今天，這是很容易實現(xiàn)的，但是在很多地方，推斷控制仍然被看成很神秘的東西，悲哀。有的時候，對同一個變量有不止一個控制手段。比如說，風冷器有風扇的轉(zhuǎn)速可以調(diào)節(jié)，也有百葉窗的開度可以調(diào)節(jié)。風扇轉(zhuǎn)速的效果快，控制精確；百葉窗開度的效果猛，不容易掌握，但有利于節(jié)能。所以，可以用風扇的快速響應來控制溫度，但是用百葉窗開度來通過溫度間接地緩慢地影響風扇的轉(zhuǎn)

43、速，使風扇轉(zhuǎn)速回到最經(jīng)濟的設(shè)定。當然百葉窗開度的控制回路必須要比風扇轉(zhuǎn)速的控制回路整定得慢得多，一般是緩慢的純積分控制，否則兩人要打架。由于這相當于控制風扇轉(zhuǎn)速的“閥位”，工業(yè)上稱其為閥位控制(valvepositioncontrol)。這個閥位控制也可以變一變，風扇轉(zhuǎn)速高于某一數(shù)值(比如80%的最大轉(zhuǎn)速)時，把百葉窗開大一格，還是高就繼續(xù)開大；風扇轉(zhuǎn)速低于某一數(shù)值(比如低于20%最大轉(zhuǎn)速)時，把百葉窗關(guān)小一格。這實際上是一個單向的積分作用，不同的地方有兩點：、有兩個設(shè)定值，由風扇轉(zhuǎn)速是高還是低而定二、積分作用只有在風扇轉(zhuǎn)速在這兩個“極限”的外面起作用，在里面時，百葉窗的開度不變這樣，風扇轉(zhuǎn)速

44、不必回到一個特定值，而是可以在一個范圍內(nèi)浮動。另外一個兩個控制器“競爭”一個控制閥的情況是選擇性控制(overridecontrol或selectivecontrol)。舉個例子，鍋爐的溫度由燃料流量控制，溫度高了，燃料流量就減下來，但是燃料流量低到燃料管路壓力低于爐膛壓力，那要出現(xiàn)危險的回火，所以，這時燃料管路壓力就要接管控制，而犧牲爐膛溫度。換句話說，正常時候，爐膛溫度控制起作用，燃料管路壓力低于一定數(shù)值時，燃料管路壓力控制器作用。在實施時，就是爐膛溫度控制器和燃料管路壓力控制器的輸出都接到一個高選器，然后高選器的輸出接到實際的燃料閥。這個概念很清楚，但是初次接觸選擇性控制的人，常常容易被

45、高選還是低選搞糊涂明明是壓力太低，怎么是高選呢？其實，只要記住高選還是低選是從閥門這一頭看的，和溫度、壓力的高度沒有關(guān)系，就不會搞暈了。如果“非?！弊兞砍^界限了，你要閥門打開，那就是高選；你要閥門關(guān)閉，那就是低選。現(xiàn)代控制理論PID從二、三十年代開始在工業(yè)界廣泛應用，戲法變了幾十年，也該換換花樣了。PID說一千道一萬，還是經(jīng)典控制理論的產(chǎn)物。50-60年代時，什么都要現(xiàn)代派，建筑從經(jīng)典的柱式、比例、細節(jié)的象征意義，變到“形式服從功能”的鋼架玻璃盒子；汽車從用機器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵的藝術(shù)；控制理論也要緊跟形勢，要現(xiàn)代化。這不，美國佬卡爾曼隆重推出現(xiàn)代控制理論。都看過舞龍吧？一個張牙舞

46、爪的龍頭氣咻咻地追逐著一個大繡球，龍身子扭來扭去，還時不時跳躍那么一兩下。中國春節(jié)沒有舞龍，就和洋人的圣誕節(jié)沒有圣誕老人一樣不可思議。想象一下，如果這是一條眼睛看不見的盲龍，只能通過一個人捏著龍尾巴在后面指揮，然后再通過龍身體里的人一個接一個地傳遞控制指令，最后使龍頭咬住繡球。這顯然是一個動態(tài)系統(tǒng)，龍身越長，人越多，動態(tài)響應越遲緩。如果只看龍頭的位置，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動態(tài)，那就是所謂的輸入-輸出系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論就是建立在輸入-輸出系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。對于很多常見的應用，這就足夠了。但是卡爾曼不滿足于“足夠”。龍頭當然要看住，龍尾巴當然要捏住，但龍身體為什么就要忽略呢？要是能夠看住龍身

47、體，甚至操縱龍身體，也就是說，不光要控制龍尾巴，控制指令還要直接傳到龍身體里的那些人，那豈不更好？這就是狀態(tài)空間的概念：將一個系統(tǒng)分解為輸入、輸出和狀態(tài)。輸出本身也是一個狀態(tài)，或者是狀態(tài)的一個組合。在數(shù)學上卡爾曼的狀態(tài)空間方法就是將一個高階微分方程分解成一個聯(lián)立的一階微分方程組，這樣可以使用很多線形代數(shù)的工具，在表述上也比較簡潔、明了?？柭且粋€數(shù)學家。數(shù)學家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子里轉(zhuǎn)的第一個念頭就是“我怎么控制這勞什子？增益多少？控制器結(jié)構(gòu)是什么樣的？”數(shù)學家想的卻是什么解的存在性、唯一性之類虛頭八腦的東西。不過呢，這么說數(shù)學家也不公平。好多時候工程師憑想象和“實干”，辛苦了

48、半天，發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)果完全不合情理，這時才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原來那些存在性、唯一性什么的還是有用的。還是回過來看這條龍?，F(xiàn)在，龍頭、龍尾巴、龍身體都要看，不光要看，還要直接操控龍頭到龍尾的每一個人。但是，這龍不是想看就看得的，不是想舞就舞得的。說到“看”，直接能夠測量/觀測的狀態(tài)在實際上是不多的，所謂看，實際上是估算。要是知道龍身體有多少節(jié)（就是有多少個人在下面撐著啦），龍身體的彈性/韌性有多少，那么捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭在哪里，是可以估算出龍身體每一節(jié)的位置的，這叫狀態(tài)觀測。那么，要是這龍中間有幾個童子開小差，手不好好拉住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒用，這時系統(tǒng)中的部分狀

49、態(tài)就是不可觀測的。如果你一聲令下，部分童子充耳不聞，那這些狀態(tài)就是不可控制的?？柭鼜臄?shù)學上推導出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什么時候才不是瞎耽誤工夫的問題。這是控制理論的一個重要里程碑。再來看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點人數(shù)，看每一個人的動作，排成橫列的容易看清楚。但是不管怎么排，這條龍還是這條龍，只是看的角度不同。那時候中國人的春節(jié)舞龍還沒有在美國的中國城里鬧騰起來，不知道卡爾曼有沒有看到過舞龍，反正他把數(shù)學上的線性變換和線性空間的理論搬到控制里面，從此，搞控制的人有了工具，一個系統(tǒng)橫著看不順眼的話，可以豎著看，興趣來了，還可以斜著看、倒著看、

50、擰著看，因為不管怎么看，系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的。但是不同的角度有不同的用處，有的角度設(shè)計控制器容易一點，有的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性容易一點，諸如此類，在控制理論里就叫這個那個“標準型”。這是控制理論的又一個里程碑。觀測狀態(tài)的目的最終還是控制。只用輸出的反饋叫輸出反饋，經(jīng)典控制理論里的反饋都可以歸到輸出反饋里，但是用狀態(tài)進行反饋的就叫狀態(tài)反饋了。輸出反饋對常見系統(tǒng)已經(jīng)很有效了，但狀態(tài)反饋要猛得多。你想象，一個系統(tǒng)的所有狀態(tài)都被牢牢地瞄住，所有狀態(tài)都乖乖地聽從調(diào)遣，那是何等的威風？臺商大奶們的最高境界呀。盡管學控制的人都要學現(xiàn)代控制理論，但大多數(shù)人記得卡爾曼還是因為那個卡爾曼濾波器（KalmanFilt

51、er）。說它是濾波器，其實是一個狀態(tài)觀測器（stateobserver），用來從輸入和輸出“重構(gòu)”系統(tǒng)的狀態(tài)。這重構(gòu)聽著玄妙，其實不復雜。不是有系統(tǒng)的數(shù)學模型嗎？只要模型精確，給它和真實系統(tǒng)一樣的輸入，它不就乖乖地把系統(tǒng)狀態(tài)給計算出來了嗎？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有一個初始條件，要是初始條件不對，微分方程的解的形式是正確的，但是數(shù)值永遠差一拍?？柭谙到y(tǒng)模型的微分方程后再加了一個尾巴，把實際系統(tǒng)輸出和模型計算的理論輸出相比較，再乘上一個比例因子，形成一個實際上的狀態(tài)反饋，把狀態(tài)重構(gòu)的偏差漸進地消除，解決了初始條件和其他的系統(tǒng)誤差問題?？柭鼮V波器最精妙之處，在于卡爾曼推導

52、出一個系統(tǒng)的方法，可以考慮進測量噪聲和系統(tǒng)本身的隨機噪聲，根據(jù)信噪比來決定上述比例因子的大小。這個構(gòu)型其實不是卡爾曼的獨創(chuàng)，隆伯格（Luenburg）也得出了類似的結(jié)構(gòu)，但是從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度出發(fā)，來決定比例因子。同樣的結(jié)構(gòu)大量用于各種“預測-校正”模型結(jié)構(gòu)，在工業(yè)上也得到很多應用，比如聚合反應器的分子重量分布可以用反應器的溫度、進料配比、催化劑等來間接計算，但不夠精確，也無法把林林總總的無法測量的干擾因素統(tǒng)統(tǒng)包括進數(shù)學模型里，這時用實驗室測定的真實值來定期校正，就可以結(jié)合數(shù)學模型及時地特點和實驗室結(jié)果精確的特點，滿足實時控制的要求，這或許可以算靜態(tài)的卡爾曼濾波器吧?？柭鼮V波器最早的應用還是在

53、雷達上。所謂邊掃描邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器估計敵機的位置，再由雷達的間隙掃描結(jié)果來實際校正。實際應用中還有一個典型的問題：有時候，對同一個變量可以有好幾個測量值可用，比如有的比較直接但不精確，有的是間接的估算，有很大的滯后但精確度高，這時可以用卡爾曼濾波器把不同來源的數(shù)據(jù)按不同的信噪比加權(quán)“整合”起來，也算是民用版的“傳感器融合”(sensorfusion)吧。除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實際中用得不多，但是卡爾曼的理論在理論上建立了一個出色的框架，對理解和研究控制問題有極大的作用。順便說一句，卡爾曼的理論基本局限于線形系統(tǒng)，也就是說，十塊大洋買一袋米，二十塊大洋就買兩袋米，都是成比例

54、的。實際系統(tǒng)中有很多非線性的，兩千塊大洋還能買兩百袋米，但兩千萬大洋就要看米倉有沒有貨了，不是錢越多，買的米越多，有一個“飽和”的問題。另一方面，要是米倉有足夠的貨，兩千萬大洋的集團購買力強，或許就可以買三百萬袋米了。這些只是非線性的簡單例子。所有偏離線性問題的都是非線性，所以非線性的問題研究起來要復雜得多。實際系統(tǒng)還有其他特性，有的是所謂時變系統(tǒng)，像宇宙火箭，其質(zhì)量隨時間和燃料的消耗而變，系統(tǒng)特性當然也就變了。很多問題都是多變量的，像汽車轉(zhuǎn)彎，不光方向盤是一個輸入，油門和剎車也是輸入變量。狀態(tài)空間的理論在數(shù)學表述上為線性、非線性、單變量、多變量、時變、時不變系統(tǒng)提供了一個統(tǒng)一的框架，這是卡爾

55、曼最大的貢獻。最優(yōu)控制前面說到，搞控制有三撥人：電工出身的，化工出身的，和應用數(shù)學出身的。在卡爾曼之前，電工出身的占主導地位，數(shù)學家們好在象牙塔里打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，化工出身則還對控制理論懵里懵懂，還在“實干”呢?？柭?，一大批數(shù)學出身的人，利用對數(shù)學工具的熟悉，轉(zhuǎn)攻控制理論。一時間，控制理論的數(shù)學化似乎成了“天下大勢，順我者昌，逆我者亡”了。在狀態(tài)空間的框架下，多變量沒有太多的問題好研究，于是最優(yōu)化成為控制理論的新時尚。對于一根給定的曲線，求一階導數(shù)為零的點，就是這個曲線的極點；在對這一極點求二階導數(shù)，大于零就是最小點，小于零就是最大點。這是牛頓老爺子就整明白的東東，現(xiàn)在高中或大一人人都學過的東西。

56、但是動態(tài)系統(tǒng)是一個微分方程，對微分方程求一階導數(shù)為零，就導致變分法和所謂歐拉方程。但這個東西用起來不方便。實際的最優(yōu)控制不大直接使用變分。俄羅斯是一個奇怪的地方。老毛子們要么蔫蔫的，要么瘋狂的。俄羅斯的悲劇電影看得你也郁悶得想去自殺。但是老毛子要是搭錯筋整出一個喜劇呢？那你要么跟著瘋狂，要么被逼瘋狂。就是這么一個地方，除了無數(shù)托爾斯泰、柴可夫斯基、普希金、屠格涅夫等文藝巨璧外，俄羅斯也盛產(chǎn)數(shù)學家，其中兩個是龐特里亞京和學控制的人老惦記著的李亞普諾夫。龐特里亞京的極大值原理聽起來嚇人，其實說白了很簡單?？匆娔巧絾?？山頂就是最高點(切，這還用說？)；看見那山坡嗎？要是在山腰劃一道線，從山下往上爬，

57、盡管山坡還在繼續(xù)往上延伸，但是到線為止，不得逾越，那山腰上那道三八線就是最高點(切，這還用說？)。這就是龐特里亞京的極大值原理。當然啦，龐特里亞京是用精巧、深奧的數(shù)學語言表述的，要不然他在數(shù)學界里也別混了。不過呢，意思就是這么一個意思。龐特里亞京極大值原理的一個典型應用就是所謂最速控制問題，或者叫時間最優(yōu)控制(timeoptimalcontrol)問題，簡單地說，就是給定最大馬力和最大剎車功率，問題是怎么開汽車能夠最快地從A點開到B點(什么轉(zhuǎn)彎、上下坡、紅綠燈，這種瑣碎的事情也要拿來煩人？一點品味都沒有！)。你可以用優(yōu)美但繁瑣的數(shù)學求證，或者用膝蓋想想：最快的方法，就是一上來就加足馬力，全速前

58、進；然后在不到終點的某一地點，全力剎車，使慢下來的汽車在到達終點時正好停下來。這是最快的方法，不可能比這更快了。稍微發(fā)揮一點想象力，可以想象“梆”的一下，控制量的油門板一腳到底，再是“梆”的一下，剎車板一腳到底，控制任務就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制(bangbangcontrol)。最速控制在理論上是一個很有趣的問題，解法也是簡潔、優(yōu)美，但在實際中直接使用的例子實在是鳳毛麟角，一般都是開始時用“梆-梆”，或者勻速上升到最大控制，以緩和控制的沖擊力；到終點附近時，改用PID作閉環(huán)微調(diào)，以克服“梆-梆”對系統(tǒng)模型誤差十分敏感的缺點。電梯控制就是這樣一個例子。從一樓到四樓，電動機很快勻速

59、上升到最高轉(zhuǎn)速，一過三樓，電動機就下降到較低的轉(zhuǎn)速，然后根據(jù)電梯實際位置和樓面之差，有控制地減速，直至停下來。要是控制參數(shù)調(diào)得好的話，一下子就穩(wěn)穩(wěn)當當?shù)赝Ｏ聛恚灰钦{(diào)的不夠好，會在停下來之前上下晃蕩幾下。最速控制問題是較早的最優(yōu)控制問題，它提供了一個很有趣的思路，但這顆樹上開花結(jié)果不多。相比之下，最優(yōu)控制的另外一支枝繁葉茂，有生氣得多了。這一支就是線型二次型最優(yōu)控制(linearquadraticcontrol)。數(shù)學是有趣的，但數(shù)學也是盲目的。在數(shù)學上，最優(yōu)化問題就是一個在曲面上尋找凸點的問題，只要你能把一個物理問題表述成一個曲面，數(shù)學是不理會姓無姓資的。既然如此，控制偏差的平方在時間上的累

60、積就是很自然的選擇，二次型就是平方在線性代數(shù)里的說法。線型系統(tǒng)的偏差平方有很好的性質(zhì)，這山峰是一個饅頭山，沒有懸崖峭壁，沒有溝坎，容易爬；一山只有一峰，不用擔心找錯地方。不過這山峰不能只包含控制偏差，還要包含控制量，原因有三個：1、如果不包括控制量，那最優(yōu)控制的解是沒有意義的，因為無窮大的控制量可以使累計平方偏差為最小，但無窮大的控制量是不現(xiàn)實的。2、控制量的大小通常和能量、物料的消耗連在一起，實際控制問題一般是“在最小能量、物料消耗小達到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同時包含控制偏差和控制量是很自然的。3、系統(tǒng)模型總是有誤差的，誤差“總是”在高頻、大幅度控制作用下最突出，所以為了減低系統(tǒng)