線段的垂直平分線

1、秉烈中學(xué)教師課堂教學(xué)設(shè)計(jì) （理科教師用）授課教師： 金光智科目：數(shù)學(xué)授課主題 ：1.3 線段的垂直平分線教材分析及處理：知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷探索、猜測(cè)過(guò)程，能夠運(yùn)用公理和所學(xué)過(guò)的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì) 定里和判定定理能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出以 a為底， h為高的等腰三角形 能力目標(biāo)：經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力 體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果 情感與價(jià)值觀要求能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心預(yù)達(dá)

2、目標(biāo)： 能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論 已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形學(xué)生活動(dòng)： 學(xué)生討論并動(dòng)手自己操作。教師活動(dòng) ：引導(dǎo)操作教學(xué)資源及教具的運(yùn)用 ：直尺 、 圓規(guī)典型習(xí)題：已知直線 l 和l 上一點(diǎn) P，利用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 已知：直線 l 和 l 上一點(diǎn) P求作： PCl1教學(xué)流程及板書設(shè)計(jì) ： 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課如圖，A、B 表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在 A、B 一側(cè) 的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離 相等，碼頭應(yīng)建在什么位置 ?其中 “到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等 ”，要強(qiáng)調(diào)這幾 個(gè)字在題中有很重要的作用在七年級(jí)時(shí)研究過(guò)線段的性質(zhì)，線段是 軸對(duì)稱

3、圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)A、B稱軸我們用折紙的方法， 根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在 一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等 ”利用此性質(zhì)就能完成定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等第二環(huán)節(jié)：探究新知第一環(huán)節(jié)提出問(wèn)題后，有學(xué)生提出了一個(gè)問(wèn)題： “要證線段垂直平分線上的點(diǎn)到 線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ，可線段垂直平分線上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè)，需一個(gè)一個(gè)依次證 明嗎?何況不可能呢”已知：如圖，直線 MN AB ，垂足是 C，且 AC=BC ，P是 MN 上的點(diǎn) 求證： PA=

4、PB分析：要想證明 PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等A證明： MN AB， PCA=PCB=90AC=BC ，PC=PC, PCA PCB(SAS)；PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 ) 第三環(huán)節(jié)：想一想你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎 ? 這個(gè)命題不是 “如果 那么”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成 “如 果那么”的形式，逆命題就容易寫出鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是 “有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn) ”結(jié)論是 “這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ”此時(shí)，逆命題就很容易寫出來(lái) “如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離

5、相等，那么這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ”寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明證法一：已知：線段 AB，點(diǎn) P 是平面內(nèi)一點(diǎn)且 PA=PB求證： P 點(diǎn)在 AB 的垂直平分線上證明：過(guò)點(diǎn) P作已知線段 AB 的垂線 PC,PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL 定理 )AC=BC ，即 P 點(diǎn)在 AB 的垂直平分線上證法二：取 AB 的中點(diǎn) C，過(guò) PC 作直線AP=BP，PC=PC.AC=CB， APC BPC(SSS) PCA=PCB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ）又 PCA+PCB=180 ， PCA=PCB=90，即 PCABP 點(diǎn)在

6、AB 的垂直平分線上證法三：過(guò) P點(diǎn)作APB 的角平分線AP=BP，1=2，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC ，PCA=PCB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等 ）又 PCA+PCB=180 PCA=PCB=90P 點(diǎn)在線段 AB 的垂直平分線上證法四：過(guò) P作線段 AB 的垂直平分線 PCAC=CB ，PCA=PCB=90 ，BP 在 AB 的垂直平分線上四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問(wèn)： “前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的，而第四個(gè)同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂師生共析：如圖(1)，PD上 AB，D是垂足，但 D不平分 AB ；如圖(2)，PD平分AB ， 但PD不垂直于 AB這說(shuō)明一般情況

7、下：過(guò) P作 AB 的垂直平分線 “是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理我們?cè)谜奂埖姆椒ㄕ鄢鲞^(guò)線段的垂直平分線現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直(1)平分線的性質(zhì)定理和判定定理，能否用B尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢?第四環(huán)節(jié)：做一做活動(dòng)內(nèi)容： 用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的 點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線已知：線段

8、 AB( 如圖)求作：線段 AB 的垂直平分線1作法： 1分別以點(diǎn) A 和 B為圓心，以大于 2 AB 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) C 和 D2作直線 CD直線 CD 就是線段 AB 的垂直平分線第五環(huán)節(jié)：講述新課已知：在ABC 中，設(shè) AB、BC 的垂直平分線交于點(diǎn) P， 連接 AP，BP，CP求證： P 點(diǎn)在 AC 的垂直平分線上CBA證明：點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線上，PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ）同理 PB=PCPA=PCP點(diǎn)在 AC 的垂直平分線上 （到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) .在這條線段的垂直平分 線上）AB 、BC、AC 的垂直平分線相交

9、于點(diǎn) P 進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，你還能得出什么結(jié)論?”（交點(diǎn) P 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 ）定理 三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 練習(xí)1分別作出直角三角形、 銳角三角形、 鈍角三角形三邊的垂直平分線， 說(shuō)明交點(diǎn)分； 別在什么位置2已知： ABC 中， AB=AC ，AD 是 BC 邊一上的中線， AB 的垂直平分線交 AD 于O求證： OA=OB=OC 解：1如圖所示：可以發(fā)現(xiàn)，銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直 平分線交點(diǎn)在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外2證明： AB=AC ，A

10、D 是 BC 的中線，AD 垂直平分 BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊 )又 AB 的垂直平分線與交于點(diǎn) O，OB=OC=OA( 三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距 離相等 )第六環(huán)節(jié)：議一議活動(dòng)內(nèi)容： 借用尺規(guī)作圖作已知一條邊及這條邊上的高，求作出相關(guān)的三角形。已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè) ?所作出的三角形都全等嗎 ?已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎 ?如果能，能作幾個(gè) ?所作 出的三角形都全等嗎 ?已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個(gè) ?由學(xué)生思考可得： (1)已知三角形

11、的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且 能作出無(wú)數(shù)多個(gè)，如下圖：已知：三角形的一條邊 a 和這邊上的高 h求作： ABC，使 BC=a，BC 邊上的高為 hA h DA1從上圖我們會(huì)發(fā)現(xiàn)， 先作已知線段 BC=a；然后再作 BC邊上的高 h，但垂足不確定 ,我們可將垂足取在線段BC 上或其所在直線上的任意一點(diǎn)D，過(guò)此點(diǎn)作 BC 邊的垂線，最后以 D 為端點(diǎn)在垂線上截取 AD（或 A1D），使 AD=A 1D=h，連接 AB，AC（或A1B， AlC），所得 ABC（或 A 1BC）都滿足條件，所以這樣的三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)觀察還可以 發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等（2）如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)

12、作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無(wú) 數(shù)多個(gè)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等，因?yàn)橹灰饕阎妊切蔚走叺拇怪逼椒志€，取它上面的任意一點(diǎn)，和 底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以得到一個(gè)等腰三角形另外有學(xué)生補(bǔ)充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點(diǎn)都滿足條件， 如底邊的中點(diǎn)在 底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點(diǎn)從底邊的垂直平分線上挖去（3）如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng) 該只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形已知：線段 a、 h求作： ABC，使 AB=AC ，BC=a，高 AD=h作法： 1作 BC=a；2作線段 Bc 的垂直平分線 MN 交 BC 于 D 點(diǎn)；3以 D 為圓心， h 長(zhǎng)為半徑作弧交 MN 于 A 點(diǎn)；4連接 AB、 ACABC 就是所求作的三角形 （如圖所示 ）完成作圖后，可能有學(xué)生會(huì)后這樣的疑問(wèn)： “滿足條件的 ABC 應(yīng)有兩個(gè)，為什么 不作出另一個(gè)呢 ?教師說(shuō)明，作圖分 “定位作圖”和“活位作圖 ”，前者則對(duì)所求作的圖形必須作在指定 的位置，而后者則對(duì)所求作圖形的位置沒(méi)有硬性限制如 “作已知線段的垂直平分線 ”屬 定位作圖，而 “以已知正方形的一邊為邊作等邊三角形 ”已“知兩邊及其夾角作三角形 ”都 屬于活位作