新教材2021-2022學年人教A版選擇性必修第三冊 -　正態(tài)分布 學案

1、75正態(tài)分布新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量通過實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征數學抽象、直觀想象2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義數學建模、數學運算高斯是一個偉大的數學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上就印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線問題你知道正態(tài)分布有哪些應用嗎？知識點一正態(tài)分布1正態(tài)曲線若f(x)eq f(1,r(2)eeq f(x2,22)，xR，其中R，0為參數，我們稱f(x)為正態(tài)密度函數，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線2正態(tài)分布(1)若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布

2、，記為XN(，2)當eq avs4al(0)，eq avs4al(1)時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布；(2)若XN(，2)，則E(X)eq avs4al()，D(X)2.3正態(tài)曲線的性質(1)曲線在eq avs4al(x)軸的上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，關于直線x對稱；(3)曲線的最高點位于x處；(4)當x時，曲線上升；當x時，曲線下降；并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線理解正態(tài)分布要注意如下四點(1)0，1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布；(2)參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(數學期望)；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本標準差去估計；(3)正態(tài)分

3、布是自然界中最常見的一種分布，許多現象都近似地服從正態(tài)分布，如長度測量誤差，正常生產條件下各種產品的質量指標等；(4)由一些相互獨立的偶然因素所引起的，每一種偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，這一類隨機現象的隨機變量的概率分布一般近似服從正態(tài)分布 若隨機變量XN(，2)，則X是離散型隨機變量嗎？提示：若XN(，2)，則X不是離散型隨機變量，由正態(tài)分布的定義： P(aXb)為區(qū)域B的面積，X可取a，b內的任何值，故X不是離散型隨機變量，它是連續(xù)型隨機變量1設兩個正態(tài)分布N(1，eq oal(2,1)(10)和N(2，eq oal(2,2)(20)的密度函數圖象如圖所示，則有()A

4、12，12B12C12，12，12解析：選A反映的是正態(tài)分布的平均水平，x是正態(tài)密度曲線的對稱軸，由題圖可知12; 反映的是正態(tài)分布的離散程度，越大， 越分散， 曲線越“矮胖”，越小，越集中，曲線越“瘦高”， 由題圖可知1c1)P(2)0.023，則P(2X2)_.解析：隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，2)，正態(tài)分布密度曲線關于直線x0對稱P(X2)0.023，P(X2)0.023.P(2X2)10.0230.0230.954.答案：0.954正態(tài)密度曲線的概念與性質例1(鏈接教科書第86頁例)(1)已知正態(tài)曲線的函數解析式為f(x)eq f(1,3r(2)eeq f(x22,18)(xR)，則

5、均值為_，_；(2)如圖是一個正態(tài)曲線，試根據該圖象寫出其正態(tài)分布密度函數的解析式，并求出總體隨機變量的均值和方差(1)解析將所給的函數解析式與正態(tài)分布密度函數的解析式對照可得2，3.答案23(2)解從正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x20對稱，最大值為eq f(1,2r()，所以20，eq f(1,r(2) )eq f(1,2r()，所以eq r(2).于是f(x)eq f(1,2r()eeq f(x202,4)，x(，)，總體隨機變量的均值是20，方差是2(eq r(2)22.由正態(tài)曲線確定均值與方差的方法正態(tài)分布的兩個重要參數是與2，刻畫了隨機變量取值的平均水平，2是衡量隨機變量總體波動

6、大小的特征數，因此我們由正態(tài)曲線的形狀與位置可比較參數的大小，反之利用參數之間的大小關系，也可以確定正態(tài)曲線的形狀與位置對稱軸是直線x；的值由x時的函數值計算，即f()eq f(1,r(2)求得的值 跟蹤訓練1某市教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布圖如圖所示(由于人數眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，下列說法正確的是()A甲科總體的標準差最小B丙科總體的平均數最小C乙科總體的標準差及平均數都居中D甲、乙、丙總體的平均數不相同解析：選A本題考查，的意義以及它們在正態(tài)曲線中的作用由正態(tài)曲線的性質知，曲線的形狀由參數確定，越大，曲線越“矮胖”；越小，曲線越“瘦高”，且是標準差，故選

7、A.2某市組織一次高三調研考試，考試后統(tǒng)計的數學成績服從正態(tài)分布，其密度函數為f(x)eq f(1,10r(2)eeq f(x802,200)(xR)，則下列命題不正確的是()A該市這次考試的數學平均成績?yōu)?0分B分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同C分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同D該市這次考試的數學成績標準差為10解析：選B由密度函數知，均值(期望)80，標準差10，又曲線關于直線x80對稱，故分數為100分以上的人數與分數在60分以下的人數相同，所以B是錯誤的.利用正態(tài)分布的性質求概率例2(鏈接教科書第87頁練習1題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，

8、2)，且P(X4)0.8，則P(0X2)等于()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，2，正態(tài)曲線的對稱軸是直線x2.P(X4)0.8，P(X4)P(X0)0.2，P(0X4)0.6，P(0X2)0.3.答案C正態(tài)總體在某個區(qū)間內取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1；(2)熟記P(X)，P(2X2), P(3X3)的值；(3)注意概率值的求解轉化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)；若b，則P(Xb)eq f(1PbX2b,2). 跟蹤訓練1已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X4)0.158 7，則P(2X4)

9、()A0.682 6 B0.341 3C0.460 3 D0.920 7解析：選A隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，正態(tài)曲線的對稱軸是直線x3.P(X4)0.158 7，P(X2)0.158 7，P(2X4)120.158 70.682 6.2設XN(6,1)，則P(4X5)_.解析：由已知得6，1.P(5X7)P(X)0.682 7.P(4X8)P(2X2)0.954 5.如圖，由正態(tài)分布的對稱性知P(4X5)P(7X8)，P(4X0)，試卷滿分150分，統(tǒng)計結果顯示數學成績優(yōu)秀(高于120分)的人數占總人數的eq f(1,5)，則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為多少人？解

10、：P(X120)0.2，P(90X120)10.40.6，P(90X105)eq f(1,2)P(90X120)0.3，此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為1 0000.3300.正態(tài)曲線的應用及求解策略解答此類題目的關鍵在于將待求的問題向，, 2，2，3，3這三個區(qū)間進行轉化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應的概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數形結合思想 跟蹤訓練在某次數學考試中，考生的成績服從正態(tài)分布，即N(90,100)(1)試求考試成績位于區(qū)間70,110上的概率是多少？(2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在80,100間的考生大約有多少人？解：因為N(9

11、0,100)，所以90，10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間2，2內取值的概率是0.954 5，而該正態(tài)分布中，29021070，290210110，于是考試成績位于區(qū)間70,110內的概率為0.954 5.(2)由90，10，得80，100.由于正態(tài)變量在區(qū)間，內取值的概率是0.682 7，所以考試成績位于區(qū)間80,100內的概率為0.682 7，一共有2 000名考生，所以考試成績在80,100間的考生大約有2 0000.682 71 365(人)標準正態(tài)分布和非標準正態(tài)分布、二項分布之間的關系1標準正態(tài)分布N(0,1)在正態(tài)分布的研究中占有非常重要的地位，已專門制作了“標準正態(tài)分布表”在這個表

12、中，相應于x0的值f(x0)是指變量取值小于x0的概率，即f(x0)P(Xx0)，如圖中左邊的陰影部分所示2由于標準正態(tài)曲線關于y軸對稱，表中僅給出了對應于非負值x0的值f(x0)如果x00，那么由圖中兩個陰影部分面積相等知f(x0)1f(x0)3一般的正態(tài)分布N(，2)均可以化成標準正態(tài)分布N(0,1)來進行研究事實上，可以證明，對任一正態(tài)分布N(，2)來說，取值小于x0的概率P(Xx0)feq blc(rc)(avs4alco1(f(x0,).問題探究1“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征，是社會主義法治理念的價值追求“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，已被廣泛采用每次考試過后

13、，考生最關心的問題是：自己的考試名次是多少？自己能否被錄??？能獲得什么樣的職位？某單位準備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用300名員工，其中275個高薪職位和25個普薪職位實際報名人數為2 000名，考試滿分為400分(一般地，對于一次成功的考試來說，考試成績應服從正態(tài)分布)考試后考試成績的部分統(tǒng)計結果如下：考試平均成績是180分，360分及其以上的高分考生有30名(1)最低錄取分數是多少？(結果保留為整數)(2)考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請說明理由參考資料：當XN(，2)時，令Yeq f(X,)，則YN(0,1)；當YN(0,1)時，P(Y2.

14、17)0.985，P(Y1.28)0.900，P(Y1.09)0.863，P(Y1.04)0.850.提示：(1)設考生的成績?yōu)閄，則由題意可得X應服從正態(tài)分布，即XN(180，2)，令Yeq f(X180,)，則YN(0,1)由360分及以上高分考生有30名可得P(X360)eq f(30,2 000)，即P(X360)1eq f(30,2 000)0.985，即有Peq blc(rc)(avs4alco1(Y267，能被錄取，P(X286)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(286180,83)P(Y5且np(1p)5時，二項分布就可以用正態(tài)分布近似替代即P(Xx)P(Yx)

15、，其中隨機變量YN(np，np(1p)(1)如果某射手每次射擊擊中目標的概率為0.6，每次射擊的結果相互獨立計算他在連續(xù)三次射擊中恰連續(xù)兩次命中目標的概率；他在10次射擊中，擊中目標幾次的概率最大？并說明理由；(2)如果某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，每次射擊的結果相互獨立，在100次的射擊中，記擊中目標的次數為，計算P(6892)提示：(1)依題意，設事件A表示擊中目標，eq xto(A)表示沒有擊中目標，B表示連續(xù)三次射擊中恰連續(xù)兩次命中目標所以P(B)P(AAeq xto(A)P(eq xto(A)AA)0.60.60.40.40.60.60.288.在10次射擊中，擊中6次的概率

16、最大10次射擊中擊中目標k次的概率為PkCeq oal(k,10)0.6k(10.6)10k，k0,1,2，10.由eq blcrc (avs4alco1(f(Pk,Pk1)1，,f(Pk,Pk1)1)得，5.6k6.6，所以k6.(2)因為E(X)1000.8805，D(X)1000.80.2165，所以近似于N(80,16)，所以P(6892)P(80348034)0.997 3.遷移應用2019年2月13日煙臺市全民閱讀促進條例全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權利，培養(yǎng)全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況，隨機調查了200名學生每

17、周閱讀時間X(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數eq xto(x)和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認為，目前該校學生每周的閱讀時間X服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數eq xto(x)，2近似為樣本方差s2.一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若XN(，2)，令Yeq f(X,)，則YN(0,1)，且P(Xa)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(a,).利用直方圖得到的正態(tài)分布，求P(X10)；從該高校的學生中隨機抽取20名，記Z表示這20名學生中每周閱

18、讀時間超過10小時的人數，求P(Z2)(結果精確到0.000 1)以及Z的數學期望參考數據：eq r(178)eq f(40,3)，0.773 4190.007 6，若YN(0,1)，則P(Y0.75)0.773 4.解：(1)eq xto(x)60.0370.180.290.35100.19110.09120.049，s2(69)20.03(79)20.1(89)20.2(99)20.35(109)20.19(119)20.09(129)20.041.78.(2)由題知9，21.78，XN(9,1.78)，eq r(1.78)eq f(r(178),10)eq f(4,3).P(X10)Peq blc(rc)(avs4alco1(Yf(109,f(4,3)P(Y0.75)0.773 4.由知P(X10)1P(X10)0.226 6，可得ZB(20,0.226 6)，P(Z2)1P(Z0)P(Z1)10.773 420Ceq oal(1,20)0.226 60.773 4191(0.773 4200.226 6)0.007 60.959 7.Z的數學期望E(Z)200.226 64.532.1已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X1)0.5，則實數a的值為()A1Beq r(3)C2 D4解析：選A隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，P(