新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊 4.3.1　對數(shù)的概念 學案

1、4.3對數(shù)核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.理解對數(shù)的概念和基本性質(zhì),知道自然對數(shù)和常用對數(shù).2.理解并掌握對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式.3.能運用對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式進行化簡、求值和證明.4.通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用.1.通過對數(shù)的概念和基本性質(zhì)的學習,達成數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).2.通過對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式的應用,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4.3.1對數(shù)的概念對數(shù)的概念,首先是由蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.Napier,15501617)提出的.那時候天文學是熱門學科.可是由于數(shù)學的局限性,天文學家不得不花費很大精力去計算那些繁雜的“天

2、文數(shù)字”,浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間.納皮爾也是一位天文愛好者,他感到,“沒有什么會比數(shù)學的演算更加令人煩惱諸如一些大數(shù)的乘、除、平方、立方、開方因此我開始考慮怎樣才能排除這些障礙.”經(jīng)過20年潛心研究大數(shù)的計算技術,他終于獨立發(fā)明了對數(shù),并于1614年出版的名著奇妙的對數(shù)定律說明書中闡明了對數(shù)原理,后人稱為納皮爾對數(shù).探究:對數(shù)主要作用是什么?提示:簡化運算.1.對數(shù)的概念實例 某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,.問題1-1 那么1個這樣的細胞分裂x次得到細胞個數(shù)N是多少?分裂多少次得到細胞個數(shù)為8個,256個呢?提示:N=2x,3次,8次.問題1-2 如果已知細胞分裂后

3、的個數(shù)N,如何求分裂次數(shù)呢?提示:由2x=N可知當N已知時,x的值即為分裂次數(shù).梳理1對數(shù)的概念(1)若ax=N(a0,且a1),則x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(2)ax=Nx=logaN.(3)常用對數(shù):以10為底,記作lg N.自然對數(shù):以無理數(shù)e2.718 28為底,記作ln N.2.對數(shù)的性質(zhì)問題2-1 對數(shù)的概念中,真數(shù)N需滿足什么條件?為什么?提示:真數(shù)N需滿足N0.由對數(shù)的定義:ax=N(a0,且a1),則總有N0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在N0的情況.問題2-2 對數(shù)的概念中,如果N=1,x的值是多少?N=a時呢?

4、提示:x=0,x=1.問題2-3 對數(shù)與指數(shù)之間有怎樣的關系?提示:等價關系,即當a0,且a1時,ax=Nx=logaN.問題2-4 如果將對數(shù)式x=logaN代入到指數(shù)式ax=N中會得到哪個式子?提示:alogaN=N.梳理2對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的恒等式(1)負數(shù)和0沒有對數(shù).(2)loga1=0.(3)logaa=1.(4)alogaN=N.1.下列說法正確的是(D)(A)根據(jù)對數(shù)的定義,因為(-2)4=16,所以log(-2)16=4(B)對數(shù)式log32與log23的意義一樣(C)因為1a=1,所以log11=a(D)lg 10+ln e=2解析:因為對數(shù)的底數(shù)a應滿足a0且a1,所以A錯

5、;log32表示以3為底2的對數(shù),log23表示以2為底3的對數(shù),所以B錯;因為對數(shù)的底數(shù)a應滿足a0且a1,所以C錯;由常用對數(shù)和自然對數(shù)定義知lg 10=1,ln e=1,故D正確.2.若2a=b,則下列說法正確的是(B)(A)a=logb2(B)a=log2b(C)2=logab(D)2=logba解析:將指數(shù)式2a=b化為對數(shù)式,得a=log2b.故選B.3.若logx8=3,則x=.解析:由指對互化知x3=8,所以x=2.答案:24.3log32+log21+log55=.解析:因為3log32=2,log21=0,log55=1,所以原式=2+1=3.答案:3對數(shù)的概念探究角度1對

6、數(shù)式與指數(shù)式的互化例1 將下列對(或指)數(shù)式化成指(或?qū)?數(shù)式.(1)log3x=3;(2)logx64=-6;(3)3-2=19;(4)( 14) x=16.解:(1)因為log3x=3,所以(3)3=x.(2)因為log x64=-6,所以x-6=64.(3)因為3-2=19,所以log319=-2.(4)因為(14)x=16,所以log1416=x.即時訓練1-1:利用指數(shù)式、對數(shù)式的互化求下列各式中x的值.(1)log2x=-12;(2)logx25=2;(3)log5x2=2;(4)2log3x=4.解:(1)由log2x=-12,得2-12=x,所以x=22.(2)由logx25=

7、2,得x2=25.因為x0,且x1,所以x=5.(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=5.因為52=250,(-5)2=250,所以x=5或x=-5.(4)由2log3x=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9. (1)利用對數(shù)與指數(shù)間的互化關系時,要注意各字母位置的對應關系,其中兩式中的底數(shù)是相同的.(2)并非任何指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式,如(-3)2=9就不能直接寫成log(-3)9=2,只有符合a0,a1且N0時,才有ax=Nx=logaN.(3)求對數(shù)式中x的值,可將對數(shù)式化成指數(shù)式建立x的方程求解.探究角度2對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)概念的理解例2 求下列各式中x的取值

8、范圍.(1)log(2x+1)(x+2);(2)lg(2x+5)log2x.解:(1)由題意得x+20,2x+10,2x+11.即x-2,x-12,x0.解得x-12且x0.所以x的取值范圍是x|x-12且x0.(2)根據(jù)題意得log2x0,2x+50,即x1,x-52,x0.解得x0且x1.所以x的取值范圍是x|x0且x1.即時訓練2-1:求下列各式中x的取值范圍.(1)lg(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).解:(1)由(x+2)20得x-2,故x的取值范圍是x|xR且x-2.(2)由3x+20,1-2x0,1-2x1,解得-23x12且x0,所以x的取值范圍是x|-23x0且a1,N0).1.(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(ACD)(A)e0=1與ln 1=0(B)log39=2與912=3(C)8-13=12與log812=-13(D)log77=1與71=7解析:對于A:e0=1可化為0=ln 1,所以A正確;對于B:log39=2可化為32=9,所以B不正確;對于C:8-13=12可化為log812=-13,所以C正確;對于D:log77=1可化為71=7,所以D正確.故選ACD.2.若x=log1216,則x等于(A)(A)-4(B)-3(C)3(D)4解析