傅里葉變換拉普拉斯變換的物理解釋及區(qū)別

1、傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼 學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處 理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦 函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不 同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法，一種工具，一種看待問(wèn)題的角度。理解 的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻 域疊加都可以組成原來(lái)的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。我們?cè)瓉?lái)對(duì)一個(gè)

2、信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺中，其實(shí)是按 照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是 一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率 的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確 有固定的周期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)， 那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí) 域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過(guò)如果信號(hào)是周期的話，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要 幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。 傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射

3、到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉 變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把 證明看懂了更好。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅 度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義頻域的相位與時(shí) 域的相位有關(guān)系嗎信號(hào)前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號(hào) 的頻率成正比關(guān)系。傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無(wú)數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號(hào)。也就是 說(shuō)，用無(wú)數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。想一想這個(gè)問(wèn)題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢答案是要 兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之

4、間的相位差。所 以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模 型，而數(shù)字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣，而通過(guò)傅立葉變換很容易得到 信號(hào)的頻率域特性。傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、 頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正 弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的 信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根 據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。 拉

5、普拉斯變換，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí) 變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換， 并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相 應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變 換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求 解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析 和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng) 的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整

6、個(gè)特性（見信號(hào) 流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌 跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。 拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可 以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重 大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示；在線性系 統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。回到正題，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問(wèn)題是其 存在的條件比較苛刻，比如時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才可能存在傅里葉變換。拉普 拉斯變換可以說(shuō)是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信

7、號(hào)exp（-x）是衰減最快的信 號(hào)之一，對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后，很容易滿足絕對(duì)可積的條件。因此將原始信 號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變 換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18世紀(jì)計(jì)算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā)明的時(shí) 候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的 一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為exp（0）。也即是說(shuō)拉普拉斯變換是傅里葉變 換的推廣，是一種更普遍的表達(dá)形式。在進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的分析過(guò)程中，可以先 得到拉普拉斯變換這種更普遍的結(jié)果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結(jié)果。 這種由普遍到特殊的解決辦法，已經(jīng)證明在連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的分析

8、中能夠帶來(lái)很 大的方便2傅氏變換與拉氏變換的比較研究傅立葉變換與拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著極其廣泛的 應(yīng)用。由（一）可知兩種變換的性質(zhì)有很多相似之處，故兩者在求解問(wèn)題時(shí)也會(huì) 有許多類似。另外，由于傅氏變換的積分區(qū)間為（-8,+8），拉氏變換的積分區(qū)間為（0,+8），兩者又會(huì)在不同的領(lǐng)域中有著各自的應(yīng)用。下面我們通過(guò)一些具體的例子對(duì)兩種變換的應(yīng)用做一些比較研究。兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用傅氏變換與拉氏變換都可以用來(lái)求解一些用普通方法難以求解的廣義積分，下面 舉例說(shuō)明：求函數(shù)f (t)=1If1的傅里葉積分表達(dá)式。0 其它解：由(1-1)式有f (t)=心J+8 f

9、(t )e-im dcei3tdw2 冗 一3 一3=J+8 J1 f (t )。-血 dTed32兀 一8_/二J+8 竺Ml e、2 兀 一8iif+8 sin 嘰=(cos it + isinit)di兀一8 l旦J+8迎竺竺l兀一8lf+8 sin i cos it=+8di , (t 1)兀 0i當(dāng)t=1時(shí)，傅里葉積分收斂于f (1+0)+f (一0)=上，根據(jù)以上的結(jié)果可以寫22成2 sin i cos it , J +8di =兀0i|f(t)，12,V Jt。1t= 1+s sin icosit 7 兀J +8di = 0 i40,|t|v 1|t| = 1|t| 1兩種積分變

10、換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用求解積分方程g (t) = h(t) + J+8 f (T ) g (t-T )dT一8其中h(t),f(t)都是已知的函數(shù)，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里葉變換都存在。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是(-8,+8)，故首先應(yīng)考慮用傅里葉積分變換法求解。積分項(xiàng)內(nèi)是函數(shù)f (t)與g (t)的卷積，對(duì)方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性 質(zhì)便可以很方便的求解該問(wèn)題。解： 設(shè) Fg (t) = G(w),Ff (t) = F(w),Fh(t) = H()由 卷積定 義可知心f (T ) g (t-T ) dT= f (t)* g (t)。因此對(duì)原積分方程兩邊取傅里葉變換

11、，可得一3G ()=H ()+ F ()-G ()因此有G(ro)=H ()1一 F ()由傅里葉逆變換求得原積分方程的解為g (t) = J* G (奐以 2兀一8=_2兀 一8 1 - F ()3總結(jié)本文以上內(nèi)容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問(wèn)題中的應(yīng)用，兩種 變換存在許多相似的地方，也存在一些不同的地方。從()中我們可以看出，用傅里葉變換在求解問(wèn)題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在(-,+)內(nèi)滿足絕對(duì)可積(j+8|f(t)|+3)這個(gè)條件。該條件的限制是非常強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如 -S常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個(gè)條件。我們按如下方式對(duì)傅氏變換進(jìn)行改造：對(duì)于任何函數(shù)f

12、(t)，我們假定在t 0)所具有的特點(diǎn)，那么，只要足夠的大，函數(shù)f (t)e-Pt的傅氏變換就有可能存在，即F f (t )e-Pt = J+ f (t )e 或而 dt = J+ f (t )e - (y)tdt80根據(jù)傅氏逆變換得到1f(t)e-pt = J* Ff(t)e-pteitd2兀-記s = p + S, F (s) = F f (t )e - Pt ds = id并注意到于是便可得到F (s) = j+ (t )e - stdt0 rf (t) = j p & F (s)estds2兀i夕-8以上兩式便是()中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以 看成是一種特殊

13、的傅里葉變換7。傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積分、 微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問(wèn)題中得到應(yīng)用。但是兩者之間也存在差異。從另一個(gè)角度講，傅氏變換與拉氏變換相對(duì)于兩種不同的積分變換20。所謂積 分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f (x)，乘上一個(gè)確定的二元函數(shù)K(x,p)， 然后計(jì)算積分，即F (p) = jb f (x)K(x, p)dxa這樣，便變成了另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)F(p)，其中的積分域是確定的。F(p)稱為f (x)的像函數(shù)，f (x)稱為F(p)的像原函數(shù)；K(x, p)是p和x的已知函數(shù)，稱為積分變換的核，K(x,p)的不同形式?jīng)Q定著變換的不同名稱。下面我們列表 說(shuō)明兩者的不同：積分變換 名稱積分域積分 核定義公式逆變換公式傅里 葉變 換(-8, +8)e-iotF (o)=j+8 f (t)e-odt81f (t)=j+8 F (o)eiotd o 2兀8拉普 拉斯 變換0, +8)e - stF (s) = j+8 f (t )e - stdt 0f (t) = Jj 夕+i8 F(s)estds2兀 i &i8兩者之間的差異首先表現(xiàn)在積分域上，積分域的不同限制了拉氏變換在某些問(wèn)題 中的應(yīng)用，在處理問(wèn)題時(shí)首先應(yīng)考慮到這一點(diǎn)。兩者之間的差異在信號(hào)處理中的表現(xiàn)得尤為顯著：傅里葉變換將時(shí)域函數(shù)