2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第二十二講-面積問題與面積方法

1、幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們測量土地面積的需要面積不僅是幾何學(xué)研究的一個重要內(nèi)容，而且也是用來研究幾何學(xué)的一個有力工具下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下(1)三角形的面積(i)三角形的面積公式bc)是半周長，r是ABC的內(nèi)切圓半徑(ii)等底等高的兩個三角形面積相等(iii)兩個等底三角形的面積之比等于高之比；兩個等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個三角形面積之比等于底、高乘積之比(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方(2)梯形的面積梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半(3)扇形面積其中r為半徑，l為弧長，為弧l所對的圓心角的度數(shù)，是弧度數(shù)1有關(guān)圖形面積的計算和證明解 因為C

2、DAB，AC=CB，且ABD內(nèi)接于半圓，由此可得所以，陰影部分AEFBDA的面積是例2 已知凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且ABC，ACD，ABD的面積分別為S1=5，S2=10，S3=6求ABO的面積(圖2-128)解 首先，我們證明ABC與ACD的面積比等于BO與DO的比過B，D分別作AC的垂線，垂足為E，F(xiàn)于是RtBEO由題設(shè)設(shè)SAOB=S，則所以例3 如圖2-129，AD，BE，CF交于ABC內(nèi)的一點P，并將ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖中給出求ABC的面積分析 如果能把未知的兩個小三角形的面積求出，那么ABC的面積即可得知根據(jù)例1，這兩個面積是不

3、難求出的解 設(shè)未知的兩個小三角形的面積為x和y，則即又即得再由得x=56因此SABC847056354030=315例4 如圖2-130，通過ABC內(nèi)部一點Q引平行于三角形三邊的直線，這些直線分三角形為六個部分，已知三個平形四邊形部分的面積為S1，S2，S3，求ABC的面積解 為方便起見，設(shè)SQDG=S1，SQIE=S2，SQFH=S3，則所以同理可得從，中可以解得所以例5 在一個面積為1的正方形中構(gòu)造一個如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來如果小正方形(圖中陰影部分)的面積恰解 如圖2-131，過F作BC的平行線交BG于H

4、，則GHF=CED，F(xiàn)GH=DCE=90，故n2-n-90=0，所以n=102利用面積解題有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，然而若靈活地運用面積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍例6 在ABC內(nèi)部或邊界上任取一點P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z求證：ax+by+cz是一個常數(shù)證 如圖2-132，連結(jié)PA， PB，PC，把ABC分成三個小三角形，則SABCSPABSPCBSPCA 所以 axbycz=2SABC，即axbycz為常數(shù)說明 若ABC為等邊三角形，則此即正三角形內(nèi)一點到三邊的距離和為常數(shù)，此常數(shù)是正三角形的高例7 如圖2-133，設(shè)P是ABC內(nèi)任一點，AD，BE，CF是過點P且分別交邊BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)求證：證 首先，同例2類似，容易證明說明 本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線交于一點的問題時，常?？梢杂眠@一結(jié)論去解決例8 如圖2-134，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角三角形ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD，BE，CF相交于點P，AP=BP=CP=6，設(shè)PD=x，PE=y，PF=z，若xyyz+zx=28，求xyz的值解 由上題知去分母整理得3(xy+yzzx