2004年考研數(shù)學(xué)試題及解析

1、PAGE PAGE 692004年考研數(shù)學(xué)(一)試題填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分,把答案填在題中橫線上)選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).) 2004年考研數(shù)學(xué)（一）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)。【詳解】 由，得x=1, 可見切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲

2、線y=lnx過此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分?！驹斀狻?正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評(píng)注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定

3、積分計(jì)算即可.（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可。【詳解】 令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)【詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評(píng)注】 先化簡(jiǎn)再計(jì)算是此類問題求解的特點(diǎn)，而題設(shè)含有伴隨矩陣，一般均應(yīng)先利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。 （6）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】

4、 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算即可?！驹斀狻?由題設(shè)，知，于是 = =【評(píng)注】 本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算。二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項(xiàng)，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 本題是無窮小量

5、的比較問題，也可先將分別與進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序.（8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對(duì)任意的有f(x)f(0) . (D) 對(duì)任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可。【詳解】 由導(dǎo)數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有 即當(dāng)時(shí)，f(x)f(0). 故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 題設(shè)函數(shù)一點(diǎn)可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論。（9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A

6、) 若=0，則級(jí)數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散.(C) 若級(jí)數(shù)收斂，則. 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對(duì)于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選項(xiàng).【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選(B).（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積

7、函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量x求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應(yīng)先通過恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號(hào)外或積分線上。（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì)A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有 ， ，于是， 可見，應(yīng)選(D).【評(píng)注】

8、涉及到初等變換的問題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】 設(shè)A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)0,r(B)0. 可見r(A)n, r(B)e時(shí)， 所以單調(diào)減

9、少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)xe時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，即 ，故 .【評(píng)注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可。 （16）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).【分析】 本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再

10、解微分方程即可。【詳解1】 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度. 從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時(shí)， 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 或由，知，故最長(zhǎng)距離為當(dāng)時(shí)，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【評(píng)注】 本題求飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離，可理解為或的極限值，這種條

11、件應(yīng)引起注意.（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評(píng)注】 本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號(hào)).（18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂

12、散性可用比較法判定?！咀C】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實(shí)數(shù)根當(dāng)x0時(shí)，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實(shí)數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時(shí)，.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. 【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級(jí)數(shù)的斂散性，題型設(shè)計(jì)比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證。（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.【分析】 可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【詳解】 因?yàn)?，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ，

13、 ，所以 ，故，又，從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9, -3)= -3.【評(píng)注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對(duì)系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù)a

14、的可能取值進(jìn)行討論即可?！驹斀?】 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時(shí)， r(A)=1n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換，有 可知時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即a=0或時(shí)，方程組有非零解.當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為

15、，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評(píng)注】 矩陣A的行列式也可這樣計(jì)算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，確定A是否可相似對(duì)角化即可.【詳解】 A的特征多項(xiàng)式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當(dāng)a= -2時(shí)，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而A可相似對(duì)角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當(dāng)時(shí)，A的特

16、征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而A不可相似對(duì)角化?！驹u(píng)注】 n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是：對(duì)于A的任意重特征根，恒有 而單根一定只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 (22)（本題滿分9分）設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且，令 求：（ = 1 * ROMAN I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （ = 2 * ROMAN II）X和Y的相關(guān)系數(shù)【分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù)?！驹斀狻?（ =

17、1 * ROMAN I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 ( = 2 * ROMAN II) X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 【評(píng)注】 本題盡管難度不大，但考察的知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng)。通過隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量或通過隨機(jī)變量定義隨機(jī)事件，可以比較好地將概率論的知識(shí)前后連貫起來，這種命題方式值得注意。（23）（本題滿分9分）設(shè)總體X的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（ = 1 * ROMAN I） 的矩估計(jì)量；（ = 2 * ROMAN II） 的最大似然

18、估計(jì)量.【分析】 先由分布函數(shù)求出概率密度，再根據(jù)求矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行討論即可?！驹斀狻?X的概率密度為 （ = 1 * ROMAN I） 由于 ，令，解得 ，所以參數(shù)的矩估計(jì)量為 （ = 2 * ROMAN II）似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，令，可得 ，故的最大似然估計(jì)量為 【評(píng)注】 本題是基礎(chǔ)題型，難度不大，但計(jì)算量比較大，實(shí)際做題時(shí)應(yīng)特別注意計(jì)算的準(zhǔn)確性。 2004年考研數(shù)學(xué)（二）試題一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分,把答案填在題中橫線上)(1)二. 選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合

19、要求的,把所有選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)2004年考研數(shù)學(xué)（二）試題解析一. 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上. ）（1）設(shè), 則的間斷點(diǎn)為 0 .【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).對(duì)不同的,先用求極限的方法得出的表達(dá)式, 再討論的間斷點(diǎn).【詳解】顯然當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), ,所以 ,因?yàn)?故 為的間斷點(diǎn). （2）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為.【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】 , ,令 .又 單調(diào)增, 在 時(shí), 。(時(shí)，時(shí)，曲線凸.)（3）.【分析

20、】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】 .【詳解2】 .（4）設(shè)函數(shù)由方程確定, 則.【分析】此題可利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法、公式法或全微分公式求解.【詳解1】在 的兩邊分別對(duì),求偏導(dǎo),為的函數(shù). , ,從而 , 所以 【詳解2】令 則 , , , ,從而 【詳解3】利用全微分公式,得 即 , 從而 （5）微分方程滿足的特解為.【分析】此題為一階線性方程的初值問題.可以利用常數(shù)變易法或公式法求出方程的通解,再利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)而得特解.【詳解1】原方程變形為 ,先求齊次方程 的通解: 積分得 設(shè)為非齊次方程的通解,代入方程得 從而 , 積分得 ,于

21、是非齊次方程的通解為 ,故所求通解為 .【詳解2】原方程變形為 ,由一階線性方程通解公式得 ,從而所求的解為 .（6）設(shè)矩陣, 矩陣滿足, 其中為的伴隨矩陣, 是單位矩陣, 則.【分析】利用伴隨矩陣的性質(zhì)及矩陣乘積的行列式性質(zhì)求行列式的值.【詳解1】 , , , .【詳解2】由,得 二. 選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求, 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi). ）（7）把時(shí)的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） 【分析】對(duì)與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔

22、法則實(shí)現(xiàn)對(duì)變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解】 ,即 .又 ,即 .從而按要求排列的順序?yàn)? 故選（B）.（8）設(shè), 則（A）是的極值點(diǎn), 但不是曲線的拐點(diǎn).（B）不是的極值點(diǎn), 但是曲線的拐點(diǎn).（C）是的極值點(diǎn), 且是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn), 也不是曲線的拐點(diǎn). 【分析】求分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)， 按要求只需討論兩方, 的符號(hào).【詳解】 , , ,從而時(shí), 凹, 時(shí), 凸, 于是為拐點(diǎn).又, 時(shí), , 從而為極小值點(diǎn).所以, 是極值點(diǎn), 是曲線的拐點(diǎn), 故選（C）.（9）等于（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】將原極限變型，使其對(duì)應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后

23、,從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確的.【詳解】 故選（B）.（10）設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對(duì)任意的有.（D）對(duì)任意的有. 【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知 ,由極限的性質(zhì), , 使時(shí), 有 即時(shí), ， 時(shí), ,故選（C）.（11）微分方程的特解形式可設(shè)為（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式.【詳解】對(duì)應(yīng)齊次方程 的特征方程為 ,特征根為 ,對(duì) 而言, 因0不是特征根, 從而其特解形式可設(shè)為 對(duì) , 因?yàn)樘卣鞲? 從而其特解形式可設(shè)為 從而

24、的特解形式可設(shè)為 （12）設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D） 【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見圖.在直角坐標(biāo)系下, 故應(yīng)排除（A）、（B）.在極坐標(biāo)系下, , ,故應(yīng)選（D）.（13）設(shè)是3階方陣, 將的第1列與第2列交換得, 再把的第2列加到第3列得, 則滿足的可逆矩陣為（A）. （B）. （C）. （D）. 【分析】根據(jù)矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系，對(duì)題中給出的行（列）變換通過左(右)乘一相應(yīng)的初等矩陣來實(shí)現(xiàn).【詳解】由題意 , , ,從而 ,故選（D）

25、.（14）設(shè),為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣, 則必有（A）的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（B）的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).（C）的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（D）的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān). 【分析】將寫成行矩陣, 可討論列向量組的線性相關(guān)性.將寫成列矩陣, 可討論行向量組的線性相關(guān)性.【詳解】設(shè) , 記 （1）由于, 所以至少有一 (),從而由（1）知, ,于是 線性相關(guān).又記 , 則 由于,則至少存在一 (),使 ,從而 線性相關(guān),故應(yīng)選（A）.三. 解答題（本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）（15）（本題滿分

26、10分）求極限.【分析】此極限屬于型未定式.可利用羅必塔法則,并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解1】 原式 【詳解2】 原式 （16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對(duì)任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達(dá)式;()問為何值時(shí), 在處可導(dǎo).【分析】分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性只能用導(dǎo)數(shù)定義討論.【詳解】()當(dāng),即時(shí), .()由題設(shè)知 . .令, 得.即當(dāng)時(shí), 在處可導(dǎo).（17）（本題滿分11分）設(shè),()證明是以為周期的周期函數(shù);()求的值域.【分析】利用變量代換討論變限積分定義的函數(shù)的周期性,利用求函數(shù)最值的方法討論函數(shù)的值域.【詳解】 () ,設(shè), 則有 ,故是以為周

27、期的周期函數(shù).()因?yàn)樵谏线B續(xù)且周期為, 故只需在上討論其值域. 因?yàn)?,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.（18）（本題滿分12分）曲線與直線及圍成一曲邊梯形. 該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體, 其體積為, 側(cè)面積為, 在處的底面積為.()求的值;()計(jì)算極限.【分析】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積，二者及截面積都是的函數(shù),然后計(jì)算它們之間的關(guān)系.【詳解】 () , , .(), （19）（本題滿分12分）設(shè), 證明.【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明,常用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.【詳證1】設(shè), 則 ,

28、所以當(dāng)時(shí), , 故單調(diào)減小, 從而當(dāng)時(shí), ,即當(dāng)時(shí), 單調(diào)增加.因此, 當(dāng)時(shí), , 即 故 .【詳證2】設(shè), 則 ,時(shí), , 從而當(dāng)時(shí), ,時(shí), 單調(diào)增加.時(shí), 。令有即 . 【詳證3】證 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日定理, 得 , .設(shè), 則,當(dāng)時(shí), , 所以單調(diào)減小,從而, 即 ,故 （20）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為.經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少? 注 表示千克,表示千米/

29、小時(shí).【分析】本題屬物理應(yīng)用.已知加速度或力求運(yùn)動(dòng)方程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中一類重要的計(jì)算,可利用牛頓第二定律,建立微分方程,再求解.【詳解1】由題設(shè),飛機(jī)的質(zhì)量,著陸時(shí)的水平速度.從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí),設(shè)時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為,速度為. 根據(jù)牛頓第二定律,得 .又 , ,積分得 ,由于, 故得, 從而 .當(dāng)時(shí), .所以,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為.【詳解2】根據(jù)牛頓第二定律,得 .所以 ,兩邊積分得 ,代入初始條件 , 得, ,故飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 .【詳解3】根據(jù)牛頓第二定律,得 ,其特征方程為 ,解得, ，故 ，由, ，得，.當(dāng)時(shí), .所以,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為.（21）（本題滿分10分）設(shè),其中具

30、有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.【分析】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的方法直接計(jì)算.【詳解】 , , .（22）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時(shí), 該方程組有非零解, 并求出其通解.【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組的解.由系數(shù)行列式為0確定參數(shù)的取值,進(jìn)而求方程組的非零解.【詳解1】對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換, 有 當(dāng)時(shí), , 故方程組有非零解, 其同解方程組為 .由此得基礎(chǔ)解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), , 故方程組也有非零解, 其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ,所以所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).【詳解2】方程組的系數(shù)行列

31、式.當(dāng), 即或時(shí), 方程組有非零解.當(dāng)時(shí), 對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換, 有故方程組的同解方程組為 .其基礎(chǔ)解系為 , , ,于是所求方程組的通解為 , 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí), 對(duì)作初等行變換, 有 故方程組的同解方程組為 其基礎(chǔ)解系為,所以所求方程組的通解為, 其中為任意常數(shù)（23）（本題滿分9分）設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根, 求的值, 并討論是否可相似對(duì)角化.【分析】由矩陣特征根的定義確定的值，由線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)與秩之間的關(guān)系確定是否可對(duì)角化.【詳解】的特征多項(xiàng)式為 .若是特征方程的二重根, 則有, 解得.當(dāng)時(shí), 的特征值為2, 2, 6, 矩陣的秩為1,故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩

32、個(gè), 從而可相似對(duì)角化.若不是特征方程的二重根, 則為完全平方, 從而, 解得. 當(dāng)時(shí), 的特征值為2, 4, 4, 矩陣的秩為2,故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè), 從而不可相似對(duì)角化.2004年考研數(shù)學(xué)（三）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【評(píng)注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設(shè)函數(shù)f (u

33、 , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.【評(píng)注】 本題屬基本題型.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x 1 = t，. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)橛谑?/p>

34、二次型的矩陣為 ,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因?yàn)? 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因?yàn)?, ,故應(yīng)填 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填

35、在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在( , +)

36、內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性. (9) 設(shè)f (x) = |

37、x(1 x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x

38、)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x ( , 0)時(shí)，f (x) = x(1 x)，當(dāng)x (0 , )時(shí)，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)

39、命題的正確性.【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因?yàn)楦淖儭⒃黾踊驕p少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n )，所以發(fā)散.(4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【

40、詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度. (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又 與等價(jià), 故, 即, 故選(D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型. 相關(guān)知識(shí)要點(diǎn)見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.284-286.(13)

41、設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B).【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查. (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若

42、, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得. 故正確答案為(C).【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】=.【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無窮小替換來簡(jiǎn)化計(jì)算. (16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍

43、成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】令，由對(duì)稱性，.所以，.【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來簡(jiǎn)化計(jì)算. (17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) g(x)，由題設(shè)G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a

44、 , b，故有，即 .因此 .【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法. (18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當(dāng)10 P 1，于是，故當(dāng)10 P 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式： ，(收益對(duì)

45、價(jià)格的彈性).這些公式在文登學(xué)校輔導(dǎo)材料系列之五數(shù)學(xué)應(yīng)用專題(經(jīng)濟(jì)類)有詳細(xì)的總結(jié). (19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題. (20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), ()

46、 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*)記. 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有.() 當(dāng)時(shí), 有 .可知.故方程組(*)無解, 不能由線性表示.() 當(dāng), 且時(shí), 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時(shí)可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當(dāng)時(shí), 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為 【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過

47、兩次(1991, 2000). (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來解決.【詳解】() 當(dāng)時(shí)， ,得的特征值為，對(duì)，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對(duì)， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當(dāng)時(shí)，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當(dāng)時(shí)，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，令，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意可逆矩陣, 均有 【評(píng)注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算, 齊次線性方程組的求解

48、和矩陣的對(duì)角化等問題, 屬于有一點(diǎn)綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況. (22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件和表示即可【詳解】 () 因?yàn)?，于是，則有，( 或)，即的概率分布為： 0 1 0 1 ()方法一：因?yàn)?，所以與的相關(guān)系數(shù) 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故

49、，從而 () 的可能取值為：0，1，2 ，即的概率分布為： 0 1 2 【評(píng)注】本題考查了二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布等計(jì)算問題，屬于綜合性題型 (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量;() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; () 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 【分析】本題是一個(gè)常規(guī)題型, 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都須已知密度函數(shù), 從而先由分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù).【詳解】 當(dāng)時(shí), 的概率密度為 () 由于 令 , 解得 , 所以

50、, 參數(shù)的矩估計(jì)量為 .() 對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), , 取對(duì)數(shù)得 ,對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，令，解得，于是的最大似然估計(jì)量為 ( ) 當(dāng)時(shí), 的概率密度為對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), 越大，越大, 即的最大似然估計(jì)值為,于是的最大似然估計(jì)量為 【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型, 往年曾經(jīng)考過多次.2004年考研數(shù)學(xué)（四）試題解析填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【評(píng)注】一般地，已知 A

51、，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設(shè)，則.【分析】本題為基礎(chǔ)題型，先求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋裕?【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x 1 = t， .【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. 設(shè)，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉(zhuǎn)化為的冪次, 并注意到為對(duì)角矩陣即得答案.【詳解】因?yàn)? .故 , .【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣高次冪運(yùn)算的考查設(shè)是實(shí)正

52、交矩陣，且，則線性方程組的解是【分析】利用正交矩陣的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?, 而且是實(shí)正交矩陣, 于是 , 的每一個(gè)行(列)向量均為單位向量, 所以 .【評(píng)注】本題主要考查正交矩陣的性質(zhì)和矩陣的運(yùn)算 (6) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (1 , 0).(B)

53、 (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在( , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0

54、必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性. (9) 設(shè)f (x) = |x(1 x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲

55、線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x ( , 0)時(shí)，f

56、 (x) = x(1 x)，當(dāng)x (0 , )時(shí)，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷. (10) 設(shè)，則(A) F(x)在x = 0點(diǎn)不連續(xù).(B) F(x)在( , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo).(C) F(x)在( , +)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.(D) F(x)在( , +)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. B 【分析】先求分段函數(shù)f (x)的變限積分，再討論函數(shù)F(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可.【詳解】當(dāng)x 0時(shí)，當(dāng)x = 0時(shí)，F(xiàn)(0) = 0. 即F(x

57、) = |x|，顯然，F(xiàn)(x)在( , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo). 故選(B).【評(píng)注】本題主要考查求分段函數(shù)的變限積分. 對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)：在處不可導(dǎo)；f (x) =在處有n階導(dǎo)數(shù)，則. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，

58、即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度. (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必須當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又與等價(jià), 故, 即, 從而選 (D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型. (13) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得

59、.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得.故正確答案為(B).【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查. (14) 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且方差令隨機(jī)變量， 則(A) (B) (C) (D) C 【分析】 利用協(xié)方差的性質(zhì)立即得正確答案.【詳解】 由于隨機(jī)變量獨(dú)立同分布, 于是可得 .故正確答案為(C).【評(píng)注】本題是對(duì)協(xié)方差性質(zhì)的考查, 屬于基本題. 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】 =. .【評(píng)

60、注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無窮小替換來簡(jiǎn)化計(jì)算. (16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】令，由對(duì)稱性，.所以，.【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來簡(jiǎn)化計(jì)算. (17) (本題滿分8分)設(shè)f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知關(guān)系，可得到關(guān)于y的一階微分方程.【詳解】，因此，所求的一階微分方程為.