阻尼振動與受迫振動

1、關(guān)于阻尼振動和受迫振動1第一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2 簡諧振動的勢能： 1.5 簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例 簡諧振動的動能：第二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3 簡諧振動的總能量：彈性力是保守力總機械能守恒，即總能量不隨時間變化。第三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4求出勢能的時間平均值:求出動能的時間平均值:第四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5 這些結(jié)論同樣適用于任何簡諧振動。求出勢能的時間平均值:* 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還 反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度。* 任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比* 即彈簧

2、振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機械能的一半 結(jié)論：第五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月61.6 相圖坐標和速度組成的坐標系，稱為相空間。在相空間中，用每一點表示運動狀態(tài)，可得出相圖。簡諧振動在相空間中的軌跡為橢圓。第六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月72 諧振子的阻尼振動2-2 諧振子的阻尼振動2-1 無阻尼的自由振動實際振動過程存在著阻力，這種由彈性恢復(fù)力和阻力共同作用的振動叫阻尼振動振動系統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力與速度大小成正比，與其方向相反。當物體低速運動時，阻力當物體高速運動時，阻力子彈運動、衛(wèi)星發(fā)射過程，受到的阻力與速度平方正比反向。由于振動系統(tǒng)要不斷克服阻力

3、作功，所以要逐漸損耗振動的能量使振幅逐漸變小直至振動停止。第七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月8以彈簧一維振動為例彈性力或準彈性力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：阻尼振動微分方程令：稱 為振動系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼系數(shù)第八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月9（1）阻尼較小時，為二階常系數(shù)齊次微分方程。通解為虛數(shù)，令第九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月10振幅項隨時間周期性衰減。txo周期因子振動周期無阻尼時有阻尼時，周期慢長。這種情況稱為欠阻尼阻力使周期增大第十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11由初始條件決定A和初相位 ,設(shè)即有： 欠阻尼第十一張，P

4、PT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月12（2）阻尼較大時， 方程的解：其中 是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況稱為過阻尼。過阻尼無振動發(fā)生。兩項都衰減，不是周期振動。第十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月13臨界阻尼稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)剛剛不能作準周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中。是由初始條件決定的積分常數(shù)。（3）如果 方程的解：是從有周期性因子 到無周期性的臨界點。第十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月14過阻尼臨界阻尼三種阻尼振動比較欠阻尼第十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月15CAIUPS3-1 諧振子的受迫振動3 諧振

5、子的受迫振動 共振設(shè)強迫力阻尼力：是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。由微分方程理論：非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的解+非齊次的一個特解。在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一個周期的強迫力-策動力。這種在周期性處力作用下進行的振動叫受迫振動。第十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月16，則其通解為：受迫振動可以看成是兩個振動合成的。第一項為阻尼振動項，當時間較長時衰減為0。第二項為策動力產(chǎn)生的周期振動。開始時運動比較復(fù)雜，當?shù)谝豁椝p為 0 后， 只作受迫振動，振動頻率為策動力的頻率。第十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月17經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：該等幅

6、振動的角頻率就是強迫力的頻率；穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強迫力的相位差分別為：第十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月18 在受迫振動中，振子因外力對它作功而獲得能量，同時又因有阻尼而損耗能量。受迫振動開始時，前者大于后者，從而振動逐漸加強，隨著振動加強，損耗能量增多，直到獲得能量恰好補償損耗的能量時，達到穩(wěn)定狀態(tài)。強調(diào)：無阻尼的線性振子的振動與受迫穩(wěn)態(tài)振動，從運動學(xué)角度看，都是簡諧振動。但從動力學(xué)角度看二者有本質(zhì)的區(qū)別：線性振子是保守的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒，有其自身的固有頻率；而受迫穩(wěn)態(tài)振動是開放的耗散系統(tǒng)，它不斷從策動力源吸收能量，同時又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的頻率振動。并且受

7、迫振動的振幅、初位相只由振動系統(tǒng)和外力性質(zhì)決定，而與初始條件無關(guān)。第十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月19討論：較小若 很小， 很大。求振幅 對頻率的極值，得出共振的角頻率。 共振的振幅。振幅有極大值：3-2 共振第十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月20當強迫力的頻率為某一值時，穩(wěn)定受迫振動的位移振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象，叫做位移共振，簡稱共振（resonance)。共振的角頻率。 代入共振時的初相位當 弱阻尼時共振發(fā)生在固有頻率處，稱為尖銳共振。第二十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月21受迫振動相位落后于強迫力相位 ，即振動速度與強迫力同相位，即外力始終對系統(tǒng)作

8、正功，對速度的增大有最大的效率。這正是振動振幅急劇增大的原因。但是，隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷增大，最后與強迫力的功率相抵，從而使振幅保持恒定。從能量觀點看在共振時，這能量轉(zhuǎn)變?yōu)楣舱褓|(zhì)點的能量，也叫共振吸收。陸果一書討論阻尼彈簧振子的相圖。p168第二十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月22通常稱 的關(guān)系曲線為頻率響應(yīng)曲線。當 時，即相對振幅為 0.707(即相對強度為1/2) 處曲線寬度，定義為共振峰的寬度 或共振帶寬?？勺C明在弱阻尼的情況下，共振帶寬為：定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：頻率響應(yīng)曲線第二十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月23頻率響應(yīng)曲線 值的意義，不僅表征

9、了受迫阻尼振動系統(tǒng)頻率選擇性能的好壞，而且系統(tǒng) 值越低，則系統(tǒng)的阻尼損耗越大，能量衰減越快。定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：第二十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月244 簡諧振動的合成4.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成4.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成4.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成本講提綱第二十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月25 代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，同一直線上運動，有不同的振幅和初相位4 簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成 結(jié)論：仍然是同頻率的簡諧振動。合振幅第二十五張，PPT共四十三頁

10、，創(chuàng)作于2022年6月26式中：可見：合振幅最大。第二十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月27XY 幾何方法第二十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月28上面得到：討論一：合振幅最大。當 稱為干涉相長。 第二十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月29討論二：當 時， 稱為干涉相消。討論三：一般情況：第二十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月304.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成利用三角函數(shù)關(guān)系式：合成振動表達式：為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：第三十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年

11、6月31附錄：三角函數(shù)關(guān)系式的證明第三十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月32合成振動表達式：當 都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，合成振動是以 為角頻率的諧振動。其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍。第三十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月33單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻Wave顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍。即拍頻為：第三十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月344.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成設(shè)一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即 第三十四張

12、，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月35上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差決定。質(zhì)點的運動方向與 有關(guān)。當 時，質(zhì)點沿順時針方向運動；當 時，質(zhì)點沿逆時針方向運動。當 時，正橢圓退化為圓。第三十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月36討論1 所以是在 直線上的運動。ZD_7hech第三十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月37討論2所以是在 直線上的振動。討論3所以是在X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。第三十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月38質(zhì)點的軌道是圓。X和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。討論5討論4所以是在X軸半軸長為 ， Y軸半軸

13、長為 的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。ZD_61ZD_62第三十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月39討論6則為任一橢圓方程。綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行(直線是退化了的橢圓)當兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。ZD_7hech第三十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月404.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復(fù)雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點運動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。當 時是順時針轉(zhuǎn)； 時是逆時針轉(zhuǎn)。第四十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月41第四十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022