人教版八下數(shù)學(xué) 專題6 與正方形有關(guān)的計(jì)算與證明

1、人教版八下數(shù)學(xué) 專題6 與正方形有關(guān)的計(jì)算與證明如圖，已知正方形 ABCD，點(diǎn) P 在對角線 BD 上，PEPA 交 BC 于點(diǎn) E，PFBC，垂足為 F(1) 求證：PEC=BAP；(2) 求證：EF=FC；(3) 求證：DP=2CF如圖，分別以 ABC 的邊為邊向外作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，連接 EG，若 O 為 EG 的中點(diǎn)求證：(1) AO=12BC；(2) AOBC如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個邊長為 5 的正方形 ABCD，使得它的兩個頂點(diǎn) B 和 A 恰好落在 x 軸正半軸和 y 軸正半軸上，M 為正方形的中心(1) 若點(diǎn) B 和點(diǎn) A 在 x 軸和 y 軸上滑

2、動，求證：在這個運(yùn)動過程中，M 始終在第一象限的角平分線上；(2) 若點(diǎn) A 運(yùn)動到點(diǎn) 0,3，求此時點(diǎn) M 的坐標(biāo)已知：如圖，在邊長為 1 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) P 是對角線 AC 上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn) A，C 不重合），過點(diǎn) P 作 PEPB，PE 交邊 CD 于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作 EFAC，垂足為 F(1) 求證：PB=PE；(2) 在點(diǎn) P 的運(yùn)動過程中，PF 的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，寫出解答過程；若變化，試說明理由答案1. 【答案】(1) 在四邊形 ABEP 中，BAP+APE+BEP+ABE=360， BAP+BEP=360-90-90=180， BE

3、P+PEC=180， BAP=PEC(2) 如答圖，連接 PC BA=BC，ABP=CBP=45，BP=BP， ABPCBP， BAP=BCP， BAP=PEC， PEC=BCP， PE=PC， PFBC， EF=FC(3) 如答圖，作 PMDC，垂足為 M，則 DPM 是等腰直角三角形， DP=2PM， PMDC，PFBC，DCBC， 四邊形 PFCM 是矩形， PM=CF， DP=2CF2. 【答案】(1) 如答圖，延長 AO 至點(diǎn) H，使 OH=AO，連接 GH，EH，延長 OA 交 BC 于點(diǎn) M OA=OH，OG=OE， 四邊形 AGHE 是平行四邊形， GH=AE，GHAE， AG

4、H+GAE=180， 四邊形 ABFG，四邊形 ACDE 是正方形， AG=AB，AE=AC=GH，GAB=CAE=90， BAC+GAE=360-GAB-CAE=180， BAC=AGH， BACAGHSAS， BC=AH=2AO， AO=12BC(2) 由 BACAGH 得 ABC=GAH GAH+GAB+BAM=180， GAH+BAM=90， ABC+BAM=90， AMB=180-ABC+BAM=90， AOBC3. 【答案】(1) 作 MEy 軸于點(diǎn) E，作 MFx 軸于點(diǎn) F，如答圖所示 AOB=90， 四邊形 EMFO 是矩形， MEA=MFB=90，EMA+AMF=90， 四

5、邊形 ABCD 是正方形， MA=MB，AMF+FMB=90， EMA=FMB，在 MEA 和 MFB 中， MEA=MFB,EMA=FMB,MA=MB, MEAMFBAAS， ME=MF， 四邊形 EMFO 是正方形， 點(diǎn) M 始終在 AOB 的平分線上， 點(diǎn) M 始終在第一象限的角平分線上(2) 點(diǎn) A 運(yùn)動到點(diǎn) 0,3， OA=3， AB=5， OB=AB2-OA2=52-32=4，作 MEy 軸于點(diǎn) E，作 MFx 軸于點(diǎn) F，作 CNx 軸于點(diǎn) N，如答圖，則 MFOACN，四邊形 AONC 是直角梯形，四邊形 EMFO 是正方形， AOB=CNB=90， 四邊形 ABCD 是正方形

6、， MA=MC，AB=BC，ABC=90， MF 是直角梯形 AONC 的中位線，ABO+CBN=90， BAO+ABO=90， BAO=CBN，在 BAO 和 CBN 中， AOB=CNB,BAO=CBN,AB=BC, BAOCBNAAS， CN=OB=4， MF=12OA+CN=123+4=72， 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 72,724. 【答案】(1) 過點(diǎn) P 作 PGBC 于點(diǎn) G，過點(diǎn) P 作 PHDC 于點(diǎn) H，如答圖 四邊形 ABCD 是正方形，PGBC，PHDC， GPC=ACB=ACD=HPC=45 PG=PH，GPH=PGB=PHE=90 PEPB，即 BPE=90， BPG=90-GPE=EPH在 PGB 和 PHE 中， PGB=PHE,PG=PH,BPG=EPH, PGBPHEASA， PB=PE(2) 連接 BD，交 AC 于點(diǎn) O，如答圖 四邊形 ABCD 是正方形， BOP=90 PEPB，即 BPE=90， PBO=90-BPO=EPF EFPC，即 PFE=90， BOP=PFE，在 BOP 和 PFE 中， PBO=EPF,BOP=PFE,PB