結(jié)構(gòu)動力學(xué)哈工大版課后習(xí)題集解答

1、- PAGE 7 - / 63第一章單自由度系統(tǒng)總結(jié)求單自由度系統(tǒng)固有頻率的方法和步驟。單自由度系統(tǒng)固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動量距定理法、 拉格朗日方程法和能量守恒定理法。、 牛頓第二定律法適用圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟： 1 對系統(tǒng)進(jìn)展受力分析,得到系統(tǒng)所受的合力； 2 利用牛頓第二定律m xF ,得到系統(tǒng)的運動微分方程； 3 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。、 動量距定理法適用圍：繞定軸轉(zhuǎn)動的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟： 1 對系統(tǒng)進(jìn)展受力分析和動量距分析；2 利用動量距定理JM ,得到系統(tǒng)的運動微分方程；3 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征

2、根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。、 拉格朗日方程法：適用圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟： 1設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，寫出系統(tǒng)對于坐標(biāo)的動能 T 和勢能 U 的表達(dá)式； 進(jìn)一步寫求出拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式：L=T-U ；2 由格朗日方程(L )dtL=0 ，得到系統(tǒng)的運動微分方程；3 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。、 能量守恒定理法適用圍：所有無阻尼的單自由度保守系統(tǒng)的振動。解題步驟：1 對系統(tǒng)進(jìn)展運動分析、選廣義坐標(biāo)、 寫出在該坐標(biāo)下系統(tǒng)的動能T 和勢能 U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫出機(jī)械能守恒定理的表達(dá)式T+U=Const2 將能量守恒定理T+U=Const對時間求導(dǎo)得零,即

3、d(TU )dt，進(jìn)一步得到系統(tǒng)的運動微分方程；3 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。表達(dá)用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟： 1 利用試驗測得單自由度系統(tǒng)的衰減振動曲線，并測得周期和相鄰波峰和波谷的幅值A(chǔ)i 、Ai 1 。2 由對數(shù)衰減率定義ln(AiAi 1) ，進(jìn)一步推導(dǎo)有2，12因為較小，所以有。2方法二：共振法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比。1 通過實驗，繪出系統(tǒng)的幅頻曲線，如下列圖：單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線2 分析以上幅頻曲線圖，得到：1,2max /22/ 4；于是12

4、2(12)；n2進(jìn)一步22(12)n ；最后21/ 2n/ 2n ；表達(dá)用正選弦鼓勵求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用正選弦鼓勵求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個：幅頻相頻曲線法和功率法。方法一：幅頻相頻曲線法當(dāng)單自由度系統(tǒng)在正弦鼓勵F0 sint 作用下其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：xA sin(t) ,其中： AmF04n2222n0 xst12422；(1)arctan 2/ 12(2)從實驗所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關(guān)差數(shù)，由上述1 ，2 式求得阻尼比。方法二：功率法：（ 1 ）單自由度系統(tǒng)在F0 sint 作用下的振動過程中，在一個周期，彈性力作功為Wc0 、阻尼力做功為W dc A 2 、

5、激振力做作功為WfF0 sin；（ 2 ）由機(jī)械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個周期所作功為零，即：Wc + Wd + W f0 ；A02于是F0 sin-c進(jìn)一步得：AF 0 sinc；（ 3 ）當(dāng)n時， sin1 ，那么Amaxxst2，得max1 2,2max 。求圖 1-35中標(biāo)出參數(shù)的系統(tǒng)的固有頻率。m a此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個彈簧串聯(lián)，彈簧剛度為k 1、48EIlk1l簡支梁剛度為那么有k2l 3111； 等效剛度為k;22；kk1k2圖 1-33 ak48EIl 3那么固有頻率為：m48 EI；3k1lmb 此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個彈簧并聯(lián), 等效剛度為 :ll48EI2m2kk13

6、; lk1 那么固有頻率為:k ml3k148EIml 3k1圖 1-33 b(c) 系統(tǒng)的等效剛度3EI3EImk1kk13lk13lk1那么系統(tǒng)的固有頻率為圖 1-33c1kk l 33EImml3d 由動量距定理m0 FI 0得：mk1l 2k1111lk1ll2221k1l =21 ml 22得：k10，l2m2k1那么。2m圖1-33求下列圖所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中勻質(zhì)輪A 半徑 R,重物 B 的重量為P/2, 彈簧剛度為k.解：以為廣義坐標(biāo)，那么系統(tǒng)的動能為ATT重物T輪子1m）x 212（I0222圖 1-34B1P2（）x 22gPx22g1 ( 122P R2 )xgRP x

7、 24gP x 204gx系統(tǒng)的勢能為：UU 重物U 彈簧 Px1 kx2；2拉格朗日函數(shù)為由拉格朗日方程(L )dtxL0得xL=T-U;P xkxP g那么，kg0 =Pkg所以：系統(tǒng)的固有頻率為P求圖 1-35所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中磙子半徑為R，質(zhì)量為M ，作純滾動。彈簧剛度為 K。k解：磙子作平面運動，RxM其動能 T=T 平動+T 轉(zhuǎn)動。圖 1-35T平動1 Mx 2 ;2T轉(zhuǎn)動21 Ix1MR 2x2;2R22RT1 Mx 221 Mx243 Mx 2 ；4而勢能U1 Kx 2 ；2系統(tǒng)機(jī)械能dTU3 Mx 241 Kx 2C ;2由TU d t0得系統(tǒng)運動微分方程3 MxKx0

8、 ；2得系統(tǒng)的固有頻率2Kn3M；求圖 1-36所示齒輪系統(tǒng)的固有頻率。齒輪A 的質(zhì)量為m A ，半徑為rA，齒輪 B 的質(zhì)量為 m B，半徑為r B,桿 AC 的扭轉(zhuǎn)剛度為KA , , 桿 BD 的扭轉(zhuǎn)剛度為KB,解：由齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系A(chǔ) r AB r B得角速度轉(zhuǎn)角r ArBA ；Br A；BAr B系統(tǒng)的動能為：TTATB12J AA212J BB221mArA21mB Br2AB 21 mAAmB rA 2A 2 ；C22224BD2系統(tǒng)的勢能為：1 K22AA12K BB212K AA2K BB2KK;1rA2Ar2B2A B圖 1-36222系統(tǒng)的機(jī)械能為ATU1 m 4mB r

9、AA12rr22K AK BABAC ；d由 d t TU0得系統(tǒng)運動微分方程12r A 2m Am Br AA2K AK B2r BA0 ；因此系統(tǒng)的固有頻率為：2Kr A2 K AB2r B2Kr A2 K AB21rB2nm AmB r Ar A；m AmB圖所示振動系統(tǒng)中，勻質(zhì)桿長為l ， 質(zhì) 量為m ，兩彈簧剛度皆為K，阻尼系數(shù)為 C，求當(dāng)初始條件000 時cl 2lf (t)2f (t)F sint 的穩(wěn)態(tài)解；- 8 - / 63kk- PAGE 15 - / 63f (t)(t) t 的解；解：利用動量矩定理建立系統(tǒng)運動微分方程222llllJckf (t)k；2222ll222

10、2mml2而Jr dmrdr；lll12222得22ml3cl6kl6lf(t) ；化簡得3c6 k6f (t )(1)mmml求f (t )F sint 的穩(wěn)態(tài)解；將 f (t )F sint 代入方程 1 得3c6k6 F sint 23c26kmmml6F令 2n;n; h;得mmmln2n2hsint 3設(shè)方程 3的穩(wěn)態(tài)解為xA sin(t) 4將 4 式代入方程3可以求得：Ah6F；2222n4n22l6km29c22arctg2narctg3c226km2；n求f (t )(t ) 的解；將 f ( t)(t ) 代入方程 1 得3c6k6(t )5 令 2 n3c2;n6k ;

11、hmmml6;得mmml2nn 2h ( t )6 方程 6 成為求有阻尼的單自由度系統(tǒng)對于脈沖鼓勵h( t ) 的響應(yīng)。由方程6 可以得到初始加速度0h( t) ；然后積分求初始速度000 d t00h( t) d t00h( t) d th；0再積分求初位移000 d t00h) d t0 ；0這樣方程 6 的解就是系統(tǒng)對于初始條件0、0 和0 的瞬態(tài)響應(yīng)xAen t sind t；將其代入方程6 可以求得：Ah;0 ;md最后得xAen t sind the n tmdsind t圖所示盒有一彈簧振子，其質(zhì)量為m ，阻尼為C，剛度為K，處于靜止?fàn)顟B(tài)， 方盒距地面高度為H ，求方盒自由落下

12、與地面粘住后彈簧振子的振動歷程及振動頻率。解：因為在自由落體過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對位移。在粘地瞬間，由機(jī)械能守恒定理mgH1 mV 2 的振子的初速度V2gH；200底版與地面粘住后，彈簧振子的振動是對于初速度mV02 gH的主動隔振k/2ck/2系統(tǒng)的運動微分方程為：HmxCxKx0 ；或xC xK x0 ;xmm圖 1-38n或x2nx20 ;系統(tǒng)的運動方程是對于初始條件的響應(yīng)：xAent sind t；2Ax02x0n x0 x0dd2gH；darctgx 0d x00 ；n x02gHxdsind t ;汽車以速度V 在水平路面行使。其單自由度模型如圖。設(shè)m 、k

13、、c。路面波動情況可以用正弦函數(shù)y=hsin(at)表示。求： 1建立汽車上下振動的數(shù)學(xué)模型；2 汽車振動y的穩(wěn)態(tài)解。m解：1 建立汽車上下振動的數(shù)學(xué)模型；由題意可以列出其運動方程：k/2ck/2myk( yy1 )c( yy1 )yy(t)其中： y 表示路面波動情況；y 1 表示汽車上下波動位移。將其整理為：圖 1-39mycykyky1cy1 (1)將 yh sin( at ) 代入得mycykyach cos(at )khsin( at )汽車振動的穩(wěn)態(tài)解:設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：yA sin(ta)代入系統(tǒng)運動微分方程1 可解得：k 2A(kmc 222 ) 2c22 h ；aacrtan(k

14、(kmc3m2 )c 22 ) ；假設(shè)電磁激振力可寫為F(t)H sin 20 t ，求將其作用在參數(shù)為m 、 k、 c 的彈簧振子上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：首先將此激振力按照傅里葉級數(shù)展開：a0F (t )22T(aii 1cos(it )2Tbi sin( it)其中： aiF (t ) cos(iT0t )dt ；biF (t ) sin( i T0t )dt因為 F (t )H sin 2 (0 t) 是偶函數(shù)，所以bi0 。于是HF (t)2Hcos(220 t)而x(t )HA sin( 2ta 2k/ 2) ；0式中H22A2m(n40 )；016n22aarctan2n22；n40nn

15、c,2k 2mm假設(shè)流體的阻尼力可寫為Fdbx 3 ,求其等效粘性阻尼。解：1 流體的阻尼力為Fdbx 3； 2設(shè)位移為xA cos(t) ，而dxxd t ； 3流體的阻尼力的元功為dWdFd dx( bx3 xd t ) ； 4流體的阻尼力在一個振動周期之所消耗的能量為：dWF dxbx3 dxbx4dtbA cos(4ta) dt3 b3 A442 5粘性阻尼力在一個振動周期之所消耗的能量為：cA 6等效粘性阻尼：3 b4n3 A 4ceq3 b取n ，令n ceq A2可得：A22n4第二章兩自由度系統(tǒng)求如圖 2-11所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型。解：1 系統(tǒng)的振動微分方程

16、u1u2mx1kx1k(x1x2 ) ;mmkkkmx2k( x2x1 )kx2 ;即mx12kx1kx20 ；圖 2-11mx2kx12kx20；1 2 系統(tǒng)的特征方程根據(jù)微分方程理論，設(shè)方程組1 的解為：x1A1 sin(t) ； x2A2 sin(t)2 將表達(dá)式 2 代入方程組1得：A2(m12kA1kA2) sin(t)0A2(m2kA12kA2) sin(t)0 3 因為 sin(t) 不可能總為零，所以只有前面的系數(shù)為零：(2km2 ) A1kA20;2；kA1(2km)A20;即2km2kkA12km2A20；4 0系統(tǒng)的頻率方程假設(shè)系統(tǒng)振動，那么方程有非零解，那么方程組的系數(shù)

17、行列式等于零，即：2km2kk0；2km2展開得2422m4 mk3k；5 系統(tǒng)的固有頻率為：1K / m；23K / m;6 系統(tǒng)的固有振型將1 ，2 代入系統(tǒng)的特征方程4 式中的任一式，得系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為：1(1)(1)A1A(1)211;(2)(2 )A1;1A(2 )27 系統(tǒng)各階振型如下圖：其中a是一階振型， b 是二階振型。+1+1+1ab-1系統(tǒng)的主振動系統(tǒng)的第一主振動為x(1)1(1)A1sin( 1 t1 )(1)A1sin(k t m1 ) ;x(1)2(1)A2sin( 1 t1 )A(1) sin(k t)1m1系統(tǒng)的第一主振動為x(2 )1( 2)A1s

18、in(2 t1 )(2)A1sin(3k t m1) ;x(2 )2( 2)A2sin(2 t1 )( 2)( 2)A1sin(3k t)m1uu確定圖 2-12所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。12- 16 - / 632mm- PAGE 19 - / 63解：1 系統(tǒng)的動能1T1 (2m)u 221 (m)u222mu 2mu 21222 系統(tǒng)的勢能因為彈簧上端A 、B 兩點的位移u A2u1u1u 22; u Bu1u2 2; 所以系統(tǒng)的勢能為VK (2u 21u1u 2 ) 22K ( u1 2u 2 ) 2221K (5u 242u1u2u 2 );(3) 系統(tǒng)的 Lagrange函數(shù)L

19、TVmu 2mu 2K (5u 22u uu2 )122411 224 系統(tǒng)的運動微分方程dL由 Lagrange方程d tu jl0j u j1,2可得2mu15 Ku12K u 20;2mu 2K Ku1 2K u20; 2即2mu1mu25KK22u10;KKu 2022(5) 系統(tǒng)的特征方程設(shè)系統(tǒng)的運動微分方程的解為u1A1 sin(t) , u2A2 sin(t)代入系統(tǒng)的運動微分方程得系統(tǒng)的特征方程2m25 KA12K A20;2KKA12m2KA0;22即2m25 K2K 2K2A10;m2KA202 6系統(tǒng)的頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零2m25

20、 K2K 2K20;m2K2即4m247Km22K 20;解得 ,系統(tǒng)的固有頻率K10.6mK;21.18；m(7) 系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的固有振型A(1)1A(1)21(1)0.28 ;( 2)A1A( 2)21( 2)1.67 ; 8系統(tǒng)的主振動u(1)A(1) sin(t)A(1) sin(0.6k t);m111111u(1)A(1) sin(t)0.28A(1) sin(0.6k t)m221111u( 2)1(2)A1sin(1 t)A(2) sin(1.18k t111m1 ) ;u( 2)2(2)A2sin(1 t1 )1.67

21、A( 2)sin(1.18k t1 )m一均質(zhì)細(xì)桿在其端點由兩個線性彈簧支撐圖2-13 ，桿的質(zhì)量為m ，兩彈簧的剛度分u1別為 2K 和 K。1 寫出用桿端鉛直位移u1 和 u2 表示的運動方程；2 寫出它的兩個固有頻率；3 畫出它的兩個固有振型； 解： (1)均質(zhì)桿的運動微分方程以均質(zhì)桿的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，均質(zhì)桿的質(zhì)心mu2k2kL圖 2-13C 的位移為u C12u1u2;1 u 2uu 2u1均質(zhì)桿繞質(zhì)心C 的轉(zhuǎn)角為sin;LL均質(zhì)桿的運動微分方程mucK (2u1u2 )JKu LKL uCm(u1u2 )122K (2uu )1222mL u1u2KuKL12L1 Lu22mu

22、1即mu1mu2 mu24Ku112Ku12Ku 206Ku201 2 系統(tǒng)的特征方程設(shè)運動微分方程1 的解為u1A1 sin(t) 、 u2A2 sin(t) ，代入方程1 m2 Am2 A4 KA2 KA01212m2 Am2 A12KA6 KA01212即4Km22Km2A10m212K;6Km2A20（ 4 ）系統(tǒng)的頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零4Km222Km220 ;m12K6Km即m2412Km224K 20;解得系統(tǒng)的兩個固有頻率11.612;23.066 ；（ 5 ）系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的兩階固有

23、振型A(1)1A(1)21(1)(2)A;31A7(2)21(2 )37 ;676 系統(tǒng)的兩階主振動u(1)A(1) sin(t)A(1) sin(1.612t)111111u(1)A(1) sin(t)2.33A(1) sin(1.612t)221111- 20 - / 63sin(1t1)Asin(3.066t(2)11)u2(2)A2sin( 1 t(2)1 )1.81A1sin(3.066 t(2)1)2.4 確定圖 2-14所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出固有振型。uu2解：1 系統(tǒng)運動微分方程12k2mu12K( u2mu 22K (u 2u1 )u1);2mm;即2mu1mu

24、 22Ku 12Ku 22KKu 12Ku 20;0圖 2-14;1 2 系統(tǒng)特征方程設(shè)運動微分方程1 的解為u1A1 sin(t)和u 2A2 sin(t) ，代入方程 1 Km2A1KA202KA2 Km2A012即Km22KKA10 ; 2Km2A20 3系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零- 21 - / 63Km22KK2Km20 ;即m43K20;解得3K10;2;m 4系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的兩階固有振型A(1)1A(1)21(1)(2 )A1 ;1A(2 )211( 2)2 ;+1+1+1-1/2圖 2

25、-15所示的均質(zhì)細(xì)桿懸掛成一擺，桿的質(zhì)量為m ，長為 L，懸線長為L/2 ，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。l2解：1 求均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)和質(zhì)心的速度xc1L sin 2sin, ycL cos 211cos2；xcL21 cos 12 cos2 , ycL1 sin122 sin2 ；2 求系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)LTV1 m x 2y21 J21 mgL coscos；2CC2C22122圖 2-15- 22 - / 63- PAGE 26 - / 63mL 22812221 2cos12mL222421mgL2cos 1cos2；3 求系統(tǒng)的運動微分方程由 Lagrange方程dLd

26、tjl0jj1,2可得mL2mL212mg L01442mL2mL212mg L02432mL 2即4mL 24mL241mL223mgL 20100;mgL2024 系統(tǒng)特征方程設(shè)運動微分方程1 的解為1A1 sin(t) 和2A2 sin(t) ，代入方程1 (mgLmL22) A1mL22A20244mL2122 A(mgLmL22 ) A0423(mg L2mL22)4mL224A102即mL24L( mg2mL2 3;2A20) 3系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零2(mgLmL22 )mL20;24422mL2(mg LmL2 )423即L 2414

27、g212g 20;解得系統(tǒng)的兩個固有頻率g1L;23.6gL ; ； 4系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的兩階固有振型A(1)1A(1)21(1)(2 )A1 ;1A(2 )21( 2)+113 ;11+1+1-13/11兩層樓用集中質(zhì)量表示如圖2-16所示的系統(tǒng)。其中m1 m ； k1 k；證明該系統(tǒng)122122的固有頻率和固有振型為：解： (1) 系統(tǒng)振動微分方程k11;22m12k1 m1(1);x1x(1)2(2)2;1 ；x1x2(2)m1x1m xkxkx0k11 1m2 x211 1k12 x1122k22 x201 x2m22 系統(tǒng)特征方程x

28、1設(shè)方程組的解為k2A1 sintx2A2sint圖 2-16代入方程組1 式得，系統(tǒng)特征方程k2 mAkA011111222 kAk2mA021122223 系統(tǒng)頻率方程因為考慮系統(tǒng)振動的情況，所以要求方程2 有非零解，而方程2有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零：K 11K 122 m1K22K 1202m2mm2即k112 k2 k12k210(3)1224 系統(tǒng)固有頻率根據(jù)條件k11k1 ， k21k12k1 ，k22k1k23k1 ， m11m2 ， k1211k 2 ;21k 22k1k23k1 ， m1m2 ， k12k2 ;2代入 3 式得245k12k10，2m1m12k1

29、1,2m122k12；m15 系統(tǒng)固有振型：將系統(tǒng)固有頻率代入系統(tǒng)特征方程2 得系統(tǒng)固有振型A(1)1k12k12 ；(1)A2A( 2)1A( 2)1 m122k12 2 mk11kk1k21k11 ；2k1k12111（ 6 ）系統(tǒng)的主振動：x(1)1(1)x2(1)A21(1)A2x( 2)1x( 2)2(2)A1 ；1A(2)2證畢。2 7 如圖 2-17所示的系統(tǒng)，設(shè)激振力為簡諧形式，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。x1x2m1m2k1wk2em圖 2-17解: (1) 建立系統(tǒng)運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，分別對m1 和m2 列出振動微分方程m1 x1 m2 x2k1 x1 k2 (x2k2 (

30、x1x1 )x2 ) 0f (t )1-1 即：m1x1m 2 x2( k1k2 x1k2 ) x1k 2 x 2k 2 x 20m2e sint)1-2 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x1A1 sin(tx2A2 sin(t1 )a 2 )1-3 即x1C1 sintC 2 cost1-4 x2D 1 sintD 2 cost將表達(dá)式 1-4 代入式1-2 ，根據(jù)兩個方程中包含sint 的系數(shù)和為零及包含cost 的系數(shù)和為零，可得如下方程組：(m12(m12k1k 2 )C1k1k 2 )C2k2 D1 k2 D 2m2 e; 0;即k2 C12(m 2k2 ) D10 ;1-5 k

31、2 C2k 2 D 20 ;求解方程組 1-5 得： C 2D 20C14m1m 2m m1 k22e( k 22m2 k12 m2 )2k1 k2;m2 k 22D14m1m2C 2D 20 ;m1 k2m2 ek22m2 k12k1k 2;m 2k 221-6 所以在公式x1A1 sin(t1) , x2A2 sin(ta 2 ) 中有2Ame( k2222m2 );214m1m2m1k 2m2 k1k1k 2m 2 k2A24m1m2m1k 2m2 ek22m 2k12k1k 2;m 2 k22(1-7)120 ;在如圖 2-18所示的系統(tǒng)中，一水平力Fsin( t) 作用于質(zhì)量塊M 上

32、，求使M 不動的條件。解：1 系統(tǒng)有兩個自由度，選廣義坐標(biāo)為x,2 系統(tǒng)的動能xT1 MX 221 mX 221 m(l) 221 2ml x2coskkM- 27 - / 63lm- PAGE 46 - / 633 系統(tǒng)的勢能U1 2 kx22mgl (lcos)4 Lagrange函數(shù)LTL1 (M2Um)x 21 ml 222mlxcoskx 2mglmgl cos5 對 Lagrange函數(shù)求導(dǎo)L(Mxm) xmlcos; d (L )( Mdtxm)xmlcos;L x2kx;Lml 2mlx cos; d (L )dtml 2mlx cos;Lmlxsinmgl sin;6 Lag

33、range方程d (L )dtxd (L )dtLF sint xL0得( Mm) xmlcos2kxF sint2mlmlx cosmlxsinmgl sin0因為振動為微幅振動，所以cos12 ,sin（ 7 ）解方程：設(shè) xA sint ，B sint 代入方程并整理得：A2 ( Mm)B2 ml (12 )2AkF2 Bml 2Aml2mlAB 22Bmgl0因為 M 不動，所以A=0 。而 B 不能等于零，故，mgl2 ml 20 ，解得g；l在圖 2-19所示的系統(tǒng)中，軸的彎曲剛度為EJ，圓盤質(zhì)量為m ，它對其一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量為I=mR 2 /4 ，其中R=L/4 。設(shè)軸在它的靜

34、平衡位置時是水平的，且忽略軸的質(zhì)量。求系統(tǒng)的運動微分方程和固有頻率。解：1系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)：圖 2-19所示的系統(tǒng)自由度N=2 ， 選 Y、為廣義坐標(biāo)。 2系統(tǒng)運動微分方程其中系數(shù)：L3,1112y11my 12 my2L,2212 I;22 I;L;1 3系統(tǒng)特征方程3EJ2EJEJlOy設(shè)yA1 sint,A2 sint代入方程 1 得A1 sin(t)11 m2 A1sin(t)12 I2 A2sin(t)0 ;圖 2-19A2 sin(t)12m2 A1 sin(t)22 I2 A2 sin(t)0 ;整理得2111 m212 m112 I2222 ImL313EJ L22EJ2L

35、2 I22EJ0;2L201EJ2 4 系統(tǒng)固有頻率特征方程 2 由非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零：mL 3213 EJL 222 EJL 2 I22 EJ0 ;1L2EJ即2L3 m4219L3 m10 ;2192 EJ48EJ解得：1.621LEJ ,mL28.6LEJ ;mL圖 2-20所示的是兩自由度系統(tǒng)。其中P1P cos(t ) ， k=987,m=1， C=0.6284，C0.0628 ,求系統(tǒng)的固有頻率、振型和u 1 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 cu2cu1c解：1 系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)系統(tǒng)自由度N=2 ；廣義坐標(biāo)選u1 和 u2 2系統(tǒng)運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，寫出mkkkp

36、1圖 2-20mu1Ku 1K (u 2u1 )C (u 2u1 )Cu1P1;mu 2Ku 2C u2C (u1u 2 )K ( u2u1 );寫成矩陣形式：m0u10mu 2CCCu1 CCCu 2KKKu1KKKu2P cost;02 系統(tǒng)的固有頻率和振型對于系統(tǒng)運動微分方程兩邊作拉氏變換得ms2CCsKKU 1 (s)(C sK )U 2 (s)Ps;s 22(C sK )U 1 (s)ms2CCsKKU 2 (s)0;有ms 2CCsKK( C sK)20 ;( C sK)msCCsKK解得s1,20.31j 31.4 , s3,40.346j 37.37 ;因此131.4 ,237

37、.37 ;系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為：1(1)(1)A1A(1)211;( 2)(2)A1;1A(2)2系統(tǒng)的第一主振動為x(1)1(1)A1sin(1 t1 )(1)A1sin(1 t1 ) ;(1)x2(1)A2sin(1 t1 )(1)(1)A1sin(1 t1 )系統(tǒng)的第一主振動為x( 2)1( 2)A1sin(2 t1)( 2)A1sin(2 t2 ) ;x( 2)2( 2)A2sin(2 t1)(2)(2)A1sin(2 t2 )3 u1 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由拉氏方程組解得U 1 (s)2Ps ms 2CCsKK222;msCCsKKmsCsKs于是A1Ps ms2CCsKK22msC

38、CsKK2;msCsKsj以 sj代入得A1P e j221421120420.7520.692222987;20.0.63arctan0.6912042arctan0.7514212arctan0.63; 9872u1 的穩(wěn)態(tài)解為u1A1 cos(t) ;減小受簡諧激振勵單自由度系統(tǒng)的振幅的方法之一，是在該系統(tǒng)上附加一個“可調(diào)吸 振器，吸振器由彈簧- 質(zhì)量組成。這樣原系統(tǒng)和吸振器就構(gòu)成了一個兩自由度系統(tǒng)，見圖2-21.1 建立系統(tǒng)的運動方程；2 設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)為u1m2P1cotsu1 (t)試證明U 1 cos(t ),u 2 (t )U 2 cos(t ) ，1m1k 12k2U 1

39、()(k222m2 ) p1 , U ()k 2 p1u 2k222D()D ()其中 D()(k1k 2m1 )( k2m2 )2圖 2-213 將吸振器調(diào)到k2m2k1m1，證明當(dāng)k1 m1時，即原系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，U 1 的2響應(yīng)振幅為零； 4 假 設(shè) 吸 振 器 調(diào) 到m2m10.25時 ， 畫 出k1U 1p1 和k1U 2p1 對 頻 率 比rk1m1的頻幅圖。解：1 對每個質(zhì)量進(jìn)展受力分析，由牛頓第二定律得系統(tǒng)的運動微分方程?m1 u1P1 cos?m2 u 2tk1u1 k 2 (u1k 2 (u 2u 2 )u1 ) ；?m1 u1( k1k2 )u1k2u 2?p1 cos

40、(t)m2 u 2k2 u1k2 u 20即；2 將系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)代入運動微分方程組得( k1k2m2 )Uk2U 2p11122；k2U 1( k2m2 )U0由 Cramer法那么，U1 ()(k 22m2D() p1,U 2 ()k222k2 p1 D()其中D()( k1k2m1 )(k 2m2 )23 當(dāng) k2 m2k1 m1 時，系統(tǒng)的頻率方程為2D()k1k2m1 k2k20；2k 2m22將k1 m1 代入上式，顯然滿足方程，故此時系統(tǒng)處于共振狀態(tài)。并且有U 1()(k22m2 ) p10D()設(shè) k2m2k1 m1 ，且m2 m10.25時，可得k1U 1p1(1k1U 21

41、r 222r)(1r)1p1(1r 2 )(1r 2 )所以頻幅圖為150100500kU/p121k1 U 1/p 1-50-10000.511.522.5r第三章多自由度系統(tǒng)3.1 試求圖 3-10所示系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動的振動方程。k5k6k1k2k3k4m1m2m3k12k2圖3-10 x3解：1 系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖示系統(tǒng)自由度N=2 ，選 x1 、x2 和 x3 為廣義坐標(biāo)； 2系統(tǒng)運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)運動微分方程如下：整理如下m1 x1 m2 x2 m3 x3K1 x1K 2 (x1 K2 ( x2x1 )K 3 (x3x2 )x 2 );K 3 ( x

42、2x3 )K 5 x2K 6 x 2K 4 x 3;m1 x1 m2 x2 m3 x3(K 1K 2 ) x1K 2 x1( K 2K 3 x 2( K 3K 2 x20;K 3K 5K 6 )x 2K 3 x30K 4 )x 30;寫成矩陣形式m100 x10m20 x200m3x3( K 1K 2 )K 20( K 2K 2K 3K 5K 3K 6 )( K 30 x1K 3x2K 4 )x300; 1 0 3系統(tǒng)特征方程設(shè) x1A1 sin(t) , x 2A2 sin(t) , x3A3 sin(t)代入系統(tǒng)運動微分方程1 得系統(tǒng)特征方程( K 1K 2m1) K 220(K 2K 2

43、K3K 5K 6K 3m22 )(K 30A12K 3A2K 4m3)A300; 204 系統(tǒng)頻率方程2系統(tǒng)特征方程2 有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零， 即( K1K 2m1)K 20( K 2K 2K 3K 5K 6K 3m22 )( K 302K 30 ;K 4m3)展開得系統(tǒng)頻率方程3(K 1K 2 )m2 )( KK 3K5K 6 )m2 )( KK 4 )m2 )212233K 2 ( K 3K4 )m32 )K 2 (K 1K 2 )m12 )0;進(jìn)一步計算得( K 1K 2 )2m12 )( K 22K 3K 52K 6 )m22 )( K 32K 4 )m 32 )K

44、2 ( K 3K 4 )m3)K 3 ( K 1K 2 )m1)( K 1K 2 )( K 2K 3K 5K 6 )2m1( K 2K 3K 5K 6 )m2 ( K12K 2 )m1m 24 )( K 3K 4 )m32 )K 2 ( KK 4 )m32 )K 2 ( KK 2 )m12 )2331( K 1K 2 )( K 3K 4 )( K 2K 3K 5K 6 )( K 1K 2 )( K 2K 3K 5K 6 ) m32( K 3K 4 )( K 2K 3K 5K 6 )m12(K 2K 3K 5K 6 )m1 m34(3)m2 ( K 1K 2 )( K 3K 4 )2( K1K

45、2 ) m 2 m34( K 3K 4 )m1 m246m1m 2 m36K 2 ( KK 4 )22K 2 ( KK 2 )22Km m431323Km3123m1m2m 3( K 1K 2 )m 2 m3(K 3K 4 )m1 m2( K 2K 3K 5K 6 ) m1 m3 )( K 2 mK 2 m mm ( KK)( KK)( KK)( KKKK)m )223313212341223563( K 1K 2 )(K 3K 4 )( K 2K 3K 5K 6 )K 2 ( KK 4 )K 2 ( KK 2 )233164a6a 42a2a 00 ;0 ;其中a6m1 m 2m 3; a

46、4( K 1K 2 )m 2m 3( K 3K 4 )m1 m2( K 2K 3K 5K 6 ) m1 m3 ;aK 2 mK 2 m mm ( KK)(KK)(KK)( KKKK ) m ;223313212341223563a 0(K 1K 2 )(K 3K 4 )(K 2K 3K 5K 6 )K 2 (KK 4 )K 2 (KK 2 );2331求解方程 3 得系統(tǒng)固有頻率if i ( m1 , m 2 , m3 , K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6 ),(i1,2,3); 4A5 系統(tǒng)固有振型將系統(tǒng)固有頻率代入系統(tǒng)特征方程2得系統(tǒng)固有振型， 即各階振型

47、之比：A11(1)1,(1)1,(1)A(1)(1)A(1)2233A11(2)1,(2)A1; 5(2)A(2)(2)A(2)2233A11(3)1,(3)A1(3)A(3)(3)A(3)22336 系統(tǒng)振動方程Ax(1)11(2 )A1(3)A1Ax(1)22Ax(1)33sin(1 t1 )(2 )A2A(2 )3sin(2 t2 )(3)A2A(3)3sin(3 t3 ) 6A(1)1(1) A(1)sin(t)( 2)A1( 2) A(2 )sin(t( 3)A1)( 3) A( 3)sin(t)211121222133(1) A(1)( 2) A(2 )( 3) A( 3)3131

48、31在方程 6 中含有 6 個待定常數(shù)：A(1) 、 A (2) 、 A (3 ) 、和。111123它們由初始條件x1 ( 0) 、 x1 ( 0) 、x2 ( 0) 、 x 2 ( 0) 、 x 3 ( 0) 和 x3 ( 0) 確定。3.2 假設(shè) .題中 m 1=m 3 =m ， m 2=2m ，,K1=K 4=K ， K2=K 3=2K ， K5 =K 6 =3K ，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：假設(shè)m 1 =m 3=m ， m 2 =2m ， ,K1 =K 4 =K ， K2 =K 3 =2K ， K5=K 6=3K ，那么a 4(K 1a6K 2 )m2 m3m1m2 m3(

49、K 32m3 ;K 4 )m1m2(K 2K 3K 5K 6 )m1m32m2 ( K6m2 K22m2 K2K )6m2 K;2m 2 ( 2K10m 2 KK )m2 (2K2 K3K3K )aK 2 mK 2 m mm (KK)( KK )(K)( KKKK ) m2233132123412235634K 2 m314K 2 m24K 2 m244mK 218K 2 m30K 2ma 0(K 1K 2 )( K 3K 4 )(K 2K 3K 5K 6 )K 2 (KK 4)K 2 (KK 2 )23(K2K )(2KK )(2 K2 K3K3K )4 K 2 (2KK )4K 2 (K2

50、K )90K 366K 3 ;12K 312K 3系統(tǒng)頻率方程3 成為2m3622m 2 K4( 4K 2 m244K 2 m)266K 30 ;化簡m3611m2 K4(2K 2 m222K 2m)233K 30 ;所以固有頻率：11.328k m21.732k m32.497k m固有振型：111120.618030.618111求圖 3-11所示的三垂擺作微振動的固有頻率和固有振型。解：1 系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖3-11所示的三垂擺系統(tǒng)自由度N=3 ，廣義坐標(biāo)取1 、2 和3 ； 2系統(tǒng)中A 、B、C 三質(zhì)點的坐標(biāo)xAL sin; y AL cos 1 ;xBL sin1L sin; y

51、 BL cos 1L cos2 ;xCL sin1L sin2L sin; yCL cos1L cos2L cos3;l13 統(tǒng)中 A 、B、 C 三質(zhì)點的速度mx AL1 cos1 ; y A1 sin1 ; xBL( 1 cos 12 cos2 ) ;lmyBL(1 sin12 sin2 ) ;l2xCL(1 cos 1cos2cos3 );3yCL(1 sin 1sin2sin3 ) ;圖 3 114 統(tǒng)中 A 、B、 C 三質(zhì)點的動能T1 m(x 2y 2 )1 mL22 ;A2AA21TB1 m( x 2y 2 )1 mL2 (1 cos 12 cos2 ) 2( 1 sin12 s

52、in2 ) 2 ;2BB2CCTC1 m(x 22y 2 )1 mL2 (21 cos 1cos 2cos3 )2( 1 sin 1sin2sin3 ) 2 ;因為對于微振動有sin1, sin2, sin3, cos 11, cos21, cos31 ;T1 mL221 mL221 mL22112123；2225 統(tǒng)中 A 、B、 C 三質(zhì)點的勢能VmgyAmgyBmgyCmgL3cos 12cos2cos 3；(6)L=T-V;根據(jù)拉格朗日定理：dLL0dtii得：3211L2212111330010g02020001307 頻率和固有振型：解得固有頻率：321300221g0200 ；1

53、110012L10.6448gLg21.5147Lg32.5080L固有振型：11111.292120.352931.6450；1.63082.39810.7669兩端由彈簧支撐的剛性均質(zhì)桿，質(zhì)量均為沒，在B 處用鉸鏈連接，如圖3-12所示，如選取 B 點的豎直位移y 和兩桿繞B 點的轉(zhuǎn)角1 ,2 為廣義坐標(biāo)， 試從特征方程出發(fā)，求BCAy2系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。x1kkkx3圖 3-121 AB 桿的動能：2T111 myl11 ml 22；122212AB 桿的勢能：lV1mgy1；22 BC 桿的動能：T1 myl211 ml 22 ；22222212BC 桿的勢能：lV2mgy2；

54、212223三根彈簧的勢能：V3kyl12yl2y；4LT1T2V1V2V3；由拉格朗日方程可得：2mmlml22y3kklkly2mgmlml20klkl 201 mgl；211123 HYPERLINK l _TOC_250001 mlml 22 HYPERLINK l _TOC_250000 kl0kl 220232mmlmlmgl2223kklklmlml 2令M0Kklkl 20；5由 K2 M023mlml 2023kl0kl 2令m212166206k33 ,233k解得：161m,123k222m,33233633k m固有頻率：1.1260k ,1.7321k ,2.1753

55、k ；123mmm固有振型：33 l33 l33111111123試求圖 3-13所示系統(tǒng)的振動方程，并求其固有頻率和固有振型。解：1 以1 ,2 ,3 為廣義坐標(biāo)，K 1K 2K 3建立系統(tǒng)的運動微分方程：系統(tǒng)的動能：I 3I 3I 2圖 3-13T1 I21 I21 I21 1223 3222系統(tǒng)的勢能：V1 K21 K21 K2 ；1 1221332222L=T-V ；由拉格朗日方程得：I 1001K1K 2K 20100I 202K 2K 2K3K 32000I 330K3K 3302 當(dāng)I 1I 2I 3I , K1K 2K 3K 時可得固有頻率：0.4450I,1.2471I,1.

56、8019I123KKK固有振型：11111.80220.44531.2472.2470.8020.555圖 3-14所示的兩均質(zhì)桿是等長的，但具有不同的質(zhì)量，試求系統(tǒng)作微振動的振動方程，假設(shè)m1m2m, k1k2k ，試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型設(shè)選取兩桿的轉(zhuǎn)角1 和2 為廣義坐標(biāo)，其中1 以順時針方向為正，2 以逆時針方向為正 。解：1 系統(tǒng)的動能：3l 4l4T11 m l 221 ( 1 m l 21 m l 2 )211222232 1216122m1l1722m2l2l3l446962系統(tǒng)的勢能：133圖 2-21221111l4l 4l 2lVk1l 1l2k2l2m1gl 1m2

57、 gl22442224建立系統(tǒng)的運動微分方程：由拉格朗日方程dLL0dtqiqi1 m l 23 k l3 l3 l1 m gl0344421111217 m l 23 k l3 l3 l1 k l 21 m gl0484444422112222由條件 m1m2m, k1k2k ，將上述方程整理得：1 ml 209 kl 29 kl 21mgl31161612；07 ml 229 kl 213 kl 221 mgl4816164從系統(tǒng)的特征方程解得固有頻率k10.6505mk22.6145；m固有振型11210.74923.0508試從矩陣方程jKx j2Mx j出發(fā)，左乘1KM，利用正交關(guān)系證明iTxKM1 hjKx0i=1 ， 2 ， n其中 n 為系