三角學(xué)的發(fā)展歷史

1、-. z.三角學(xué)的開展歷史摘要：三角學(xué)是現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教育容的重要局部，作為未來的中學(xué)教育工作者，了解三角學(xué)的開展史，是中學(xué)數(shù)學(xué)教教師應(yīng)具備的素養(yǎng)。本文從三角學(xué)的興起，希臘學(xué)者由于天文學(xué)研究的需要確定三角形邊與角的準(zhǔn)確關(guān)系；三角學(xué)的開展與改良過程這一局部主要介紹了阿拉伯地區(qū)三角學(xué)的開展與改良；文藝復(fù)興以后三角學(xué)更加完善并且深化。這幾局部所涉及的三角學(xué)容與當(dāng)今中學(xué)課程標(biāo)相關(guān)，本文探討中學(xué)的三角學(xué)的教育存在的問題并提出解決的方法。關(guān)鍵詞：三角學(xué)開展史教育三角學(xué)的興起1.1古希臘天文學(xué)中的三角學(xué)古希臘天文學(xué)家們?yōu)榱俗龀鲆环萏祗w運行位置以及日月食的詳細記錄，需要對天體的距離和角度十分熟悉。他們采用日晷儀

2、指針。一種通過垂直桿的影長顯示時間的簡單裝置，實質(zhì)上是一種類似計算余切函數(shù)的裝置。如圖1，表示桿的高度，表示它影子的長度，當(dāng)太陽與地平線成 QUOTE 角時， QUOTE ,然而創(chuàng)造該指針的古人對余切函數(shù)沒有研究，只是將其作為時間計時器。但是這種投影計算被古代學(xué)者得到良好的應(yīng)用，這可稱作三角學(xué)比例的先驅(qū)。后來，這種簡單的方法被成功的運用于測量地球的大小，以及行星之間的距離。后來希臘人創(chuàng)立了一門知識來預(yù)報天體的運行路線和位置以幫助報時，計算日歷、航海和研究地理。希帕霍斯和三角學(xué)的興起三角學(xué)的興起的標(biāo)志性人物是古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家希帕霍斯。他在愛琴海的羅德島建造了一座天文臺，應(yīng)用自己創(chuàng)造的儀器進

3、展天文觀測。由于天文研究的需要，希帕霍斯對球面上的角度和距離進展計算，制作了一個和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的弦表，即在固定的圓，不同的圓心角所對應(yīng)的弦長相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍的表。為了定出數(shù)值，他采用了巴比倫人的60進制。對于一定度數(shù)的圓弧，可以得到相應(yīng)弦的長度數(shù)。在希帕霍斯的三角學(xué)中，一個根本元素為單位圓中弧或中心角所對的弦，這里 QUOTE 表示弧長， QUOTE 表示對應(yīng)的弧長，如圖2因為角度和弧度的度量單位是度或分，為了統(tǒng)一單位希帕霍斯將圓半徑的度量單位也轉(zhuǎn)換成度或分。單位圓的周長為 QUOTE ,取 QUOTE 的六十進制近似值為3；8,30，他算得近似到最接近整數(shù)的半徑R的度

4、數(shù)為： QUOTE ，則在該圓中任意角的度數(shù)其對應(yīng)的圓弧長除以圓的半徑等于它對應(yīng)的弧長的度數(shù)。為了制作弦表，希帕霍斯從 QUOTE 角所對應(yīng)的弦長等于半徑值，即。而 QUOTE 角所對應(yīng)的弦長。為了計算其他角度的對弦，他利用兩個幾何結(jié)果，如圖3， QUOTE 因為 QUOTE ，而且 QUOTE 角所對的弦與其正弦之間有下述關(guān)系： QUOTE 所以(1)的結(jié)果就相當(dāng)于 QUOTE 其次，希帕霍斯利用一種半角公式算出了 QUOTE ,得出半角公式的過程如下：假設(shè)角 QUOTE 被OD平分。如圖3為了用 QUOTE 來表達 QUOTE ,在AC上選一點E，使得AE=AB.則與全等，從而,而。如果從

5、D作EC的垂線DF，則有 QUOTE .但由于與 QUOTE DCF相似，因而 QUOTE ,因此 QUOTE ,將上式用現(xiàn)代符號表示即得: QUOTE ,如果用 QUOTE 代替 QUOTE 得： QUOTE ，這便是標(biāo)準(zhǔn)的半角公式。希帕霍斯在運算過程中得到的三角學(xué)公式不僅是以上兩個，還包括 QUOTE ，這些三角形角與邊之間關(guān)系公式都是用純粹的幾何學(xué)知識推導(dǎo)而得。用這樣的方法算出來的弦表雖然所含元素數(shù)量有限，但足以使希帕霍斯在求三角形問題上取得一定進展，并利用他們完成天體模型。以上的 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 這三個公式是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的容，多數(shù)教師沒有對公示的推

6、導(dǎo)進展展示，僅僅只是教學(xué)生記憶公式，如果按照公式的推導(dǎo)進展講解，學(xué)生會更加容易記住公式，為學(xué)生減負。托勒密和弦表的計算希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家克勞蒂烏斯.托勒密，長期居住在亞歷山大，并在那里進展大量的天文觀測。托勒密最享盛名的著作是大成，書中對希臘人的宇宙模型給出了完整的數(shù)學(xué)描述，包括有太陽、月亮和行星的各種運動參數(shù)。給出了計算行星位置所必需的相關(guān)平面三角學(xué)與球面三角學(xué)的數(shù)學(xué)知識。托勒密創(chuàng)造出比希帕霍斯弦表更完整的弦表，托勒密列出從 QUOTE 到 QUOTE ，且以 QUOTE 為間隔的弦表，并且找出了能在兩個值之間的插值方法，同時考慮到原來的 QUOTE 在計算中很不方便，他采用了 QUOTE

7、 。這是六十進制中的單位值。托勒密弦表的計算大體可以分為三局部，首先他根據(jù)歐幾里得原本中的定理計算出一些根本弦值；其次根據(jù)前人的三角學(xué)公式的方法，如希帕霍斯的半角公式計算出一局部弦值；最后，他證明了一個新定理并根據(jù)從中推出來的和角與差角公式完成了他的弦表。首先托勒密計算了 QUOTE 的對弦，即圓接十邊行的邊長，如圖4AC是以D為圓心的圓的直徑，BD垂直于ADC，E平分DC，取點F使得EF=EB.根據(jù)原本得，所以 QUOTE ，從而D以黃金分割比分割CF，又根據(jù)原本，假設(shè)將同一個圓的接正六邊形和正十邊行的邊排成一直線，則其交接點分割這條直線段成黃金分割比。因為半徑CD與圓的接正六邊形的邊長相等

8、，因此托勒密證明了DF是正十邊行的邊長，也就是 QUOTE ；且再根據(jù)原本，正五邊行的邊長的平方等于正十邊行的邊長的平方與正六邊形的邊長的平方之和，又因為 QUOTE 因此 QUOTE 由于存在公式 QUOTE ,因而對于任何一個其對弦值的角度，托勒密也能算出其補角的對弦值。接下來的弦表制作過程中除了借鑒希帕霍斯的三角學(xué)公式外，托勒密還運用了托勒密定理。定理的容是：給定一個圓接四邊形，對角線的乘積等于兩對邊乘積之和。如圖5.應(yīng)用三角形相似和等式的變換，易得出定理對的證明，為了推導(dǎo)兩條弧長 QUOTE 之差對弦公式，托勒密在上述定理中令 QUOTE ,將定理的結(jié)論應(yīng)用于四邊形ABCD有：由于 Q

9、UOTE 則1式變?yōu)?QUOTE 又由于公式crd QUOTE 與 QUOTE 則2式變?yōu)?QUOTE .令，即得到差角正弦公式： QUOTE 類似可以證明和角余弦公式： QUOTE 弦表方便與三角計算，推動三角學(xué)的開展。托勒密定理是幾何學(xué)上偉大的定理，在此為幾何學(xué)和三角學(xué)搭建了橋梁，差角正弦公式、和角余弦公式并不是簡單的公式而已，它是三角學(xué)開展的產(chǎn)物。托勒密定理在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中是不做要求的，但是差角正弦公式和和角余弦公式均是在托勒密定理的根底上推導(dǎo)出來的，所以應(yīng)該向?qū)W生介紹托勒密定理，以便于講解差角正弦公式和和角余弦公式。2.三角學(xué)的開展與改良如同希臘和印度三角學(xué)的開展情形一樣，阿拉伯地

10、區(qū)也是嚴(yán)密與天文學(xué)聯(lián)接在一起，三角學(xué)的容總存在于天文學(xué)著作的*個章節(jié)中。而且阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)家十分熱衷于解球面三角形，因為伊斯蘭法律要求穆斯林在祈禱時必須面向麥加的方向。這就需要在地球這個球面上解三角形，并且平面和球面三角形的解對于確定禱告者的正確時刻也十分重要。比魯尼曾到印度考察，整理和總結(jié)了這個國家的科學(xué)成就，特別是數(shù)學(xué)方面的成果，并分別研究過平面三角學(xué)和球面三角學(xué)。比魯尼在他的測影通論中對正、余切和正、余割函數(shù)進展討論。正影子余切的一個例子是：設(shè)A為太陽，BG為垂直于EG的日晷指針，EG平行水平面，而ABE為通過頂頭的日光光線，EG就是那個被稱作正影子的線段，他的基點為G而尾端為E。連接

11、影子與指針頂端的直線EB是這個影子的斜邊余割。比魯尼說明了三角函數(shù)之間的各種關(guān)系。他指出指針與斜邊之比同于高的正弦與正弦之比。比魯尼說的總正弦是指 QUOTE 弧的正弦即取的那個圓的半徑，則此公式可以翻譯成 QUOTE 這里表示指針的長度，或者表示為 QUOTE (1)比魯尼進一步指出，如果我們在*時刻的影子，而想要求在那個時刻的太陽高度，我們將影長的等量又將指針乘以它的等量并取和的平方根，他就是余割。然后以它去除指針長和總弦的乘積，便得到高度的正弦。再由正弦表查出它對應(yīng)的弧，就得到了在影子的那個時刻太陽的高度。比魯尼用了以下關(guān)系式：這個公式與前面的公式1確定了以特定半徑值R的正弦函數(shù)，然后參

12、照正弦表從逆向定出 QUOTE ，類似的比魯尼給出了等價于以下兩個公式的規(guī)則：并且比魯尼還制作了一正切和余切表，在表中它使用了關(guān)系 QUOTE 。3.文藝復(fù)興以后三角學(xué)的完善和深化文藝復(fù)興以后，人類擺脫了中世紀(jì)束縛思想的精神枷鎖，迎接一個新時代的到來，各方面科學(xué)文化都取得了突破性進展，三角學(xué)也隨之開展成相當(dāng)成熟的科目。法國數(shù)學(xué)家韋達首先在平面三角和球面三角中使用了6個三角函數(shù)，他的第一本三角學(xué)著作是應(yīng)用三角形的數(shù)學(xué)定理，是較系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一，其中第一部列出6種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔，書中給出準(zhǔn)確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)表，還整理了了解平面直角和斜三角行的公式，還附

13、有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等。第二局部給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運算公式。除總結(jié)前人的成果外，還補充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式。如正切定律、和差化積公式等等。他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出*些量后，可以從表中得出未知量的值。1951年韋達得到多倍角關(guān)系式，對球面三角形，韋達介紹了一套完整公式及其記憶方法，他還提出涉及球面鈍角三角形的余弦定律：以及他首次發(fā)現(xiàn)的正切定理：由于韋達等人的工作，三角學(xué)從天文學(xué)中別離出來，成為數(shù)學(xué)的一個分支，并獲得獨立的開展。這門科學(xué)在天文、航海、測量等方面發(fā)揮了越來越大的作用。3.2三角學(xué)的分析化哥白尼提出的地動學(xué)說后，他的弟子雷蒂庫斯見到當(dāng)

14、時天文觀測日益精細，推算詳細的三角函數(shù)以為刻不容緩的事，于是令半徑等于，做出每隔的正弦、正切及正割表。這項工作全靠手算，花了12年的時間，知道雷蒂庫斯死后才由其弟子奧托于1596年完成刊行于世。1613年皮蒂楚斯加以修訂，從新出版。至此為止，三角數(shù)表已精細的算出，但他的效用和必要性知道對數(shù)的發(fā)現(xiàn)之后才完全顯露出來。17世紀(jì)，數(shù)學(xué)從運動的研究中引出了一個根本概念，在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，三角函數(shù)變得越來越系統(tǒng)化，牛頓和萊布尼茨給出了三角函數(shù)的級數(shù)展開式。約翰.伯努利等人在和差公式的根底上推導(dǎo)了解析三角的一般恒等式。歐拉的無窮小分析引論是一部劃時代的著作，即使僅就

15、三角學(xué)來說也是這樣。歐拉在他的著作中把三角學(xué)解析的表達，并從不多的幾個根本公式推導(dǎo)出全部三角公式。歐拉提出的三角函數(shù)是對應(yīng)的函數(shù)線與圓半徑的比值，這種數(shù)學(xué)思想是他的重要功績之一。他還令圓的半徑等于1，并引入弧度制，從而使三角公式的計算大為簡化。他認為如果半徑是一個單位，則半圓周的長就是 QUOTE ，所對圓心角的正弦是0，即 QUOTE 。同樣圓周的長是；所對圓心角的正弦值等于1，計作。歐拉指出：展開式它使三角學(xué)從靜態(tài)的只是研究三角形的狹隘天地中解放出來，可以去描述現(xiàn)實世界中一切能用三角函數(shù)反映的運動或變化，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析學(xué)的分支，歐拉在1748-1749年推廣了棣莫弗

16、定理 n是實數(shù)。19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)相當(dāng)廣闊的一類函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)：這一發(fā)現(xiàn)，使得三角函數(shù)成為表示一般函數(shù)的根底。此后的傅里葉積分，傅里葉變換，調(diào)和分析等學(xué)科相繼開展起來?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中，傅里葉分析的價值越發(fā)凸現(xiàn)。4.三角學(xué)的教育4.三角已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成局部，是一門根底性學(xué)科，與其他知識的聯(lián)系非常嚴(yán)密，應(yīng)用及其廣泛，因此三角學(xué)具有十分重要的教學(xué)意義。了解三角學(xué)的教學(xué)容，以及教學(xué)中存在的問題十分必要，進而才能夠從問題的出發(fā)點找到更有效的教學(xué)方法，更完善的教學(xué)思路。三角函數(shù)相關(guān)知識其中包括三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像，三角函數(shù)式的恒等變換和角三角行等等，這些構(gòu)成了現(xiàn)代中學(xué)三角學(xué)的

17、主要容。三角學(xué)知識，主要以三角函數(shù)形式表示，是我國現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)的重點，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)的必備根底。在歷年高考中，解答題的三角題要么獨立成題，要么與其他知識如向量、不等式、數(shù)列等容綜合，且主要考察三角知識，作為一名教師，掌握一定教學(xué)教學(xué)技能并做好三角學(xué)知識的教學(xué)工作極其重要。4.2三角學(xué)教學(xué)容與存在的問題根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，高中知識從三角比定義擴展開場，導(dǎo)出大量的三角恒等變化公式，公式多，記憶強度大，變形靈活。這一局部知識很少有實際背景支持，完全在抽象的數(shù)學(xué)符號層面展開。而且三角比恒等變換只是為后續(xù)的三角函數(shù)、微積分做準(zhǔn)備，一時無法領(lǐng)略它的重要作用，所以許多學(xué)生感到枯燥，難以理解，缺乏學(xué)習(xí)動力。學(xué)生記不住公式的原因歸咎為以下幾點：首先是學(xué)生不注重公式推導(dǎo)，一味的硬記公式。公式讀起來不順口，看上去冷冰冰，一串符號而已，感覺就是枯燥，不生動，很難激起學(xué)生的興趣。其次是學(xué)生缺乏一定量的習(xí)題訓(xùn)練