2022年一元二次方程根的分布情況歸納

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納設方程ax 2bxc1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情形ax 2bxc0,方程的0a0的不等兩根為x x 且x 1x ,相應的二次函數(shù)為fx根即為二次函數(shù)圖象與x 軸的交點,它們的分布情形見下面各表（每種情形對應的均是充要條件）表一：（兩根與 0 的大小比較即根的正負情形）a分 布 情 況0兩個負根即兩根都小于0 兩個正根即兩根都大于0 一正根一負根即一個根小于0,x 10,x 20 x 10,x 20一個大于 0 x 10 x 2大 致 圖 象（）a得 出000f00b0b0的 結 論2a2af00f00大 致 圖 象（）00f00得 出

2、的b 2 a0b 2 a0結 論f00f00綜b000ab000af00合 結 論（不 討 論 a2a2aa f0f0）表二：（兩根與 k 的大小比較）a分 布 情 況0兩根都小于k即k兩根都大于k即一個根小于 k ,一個大于k即x 1k,x2kx1k,x2kx 1kx2大 致0kk圖 象（）0得 出 的 結 論b 2 akb 2 akfk0fk0f k0a大 致 圖 象（0）得fb0kfb0kfk0出 的 結 論2a2 ak0k0綜b0k0ab0k0afk0合 結 論（不 討 論 a2a2 aa fkfk）表三：（根在區(qū)間上的分布）a分 布 情 況0兩根都在0m,n內兩根有且僅有一根在m,n

3、內一根在m,n內,另一根在p,q內,mpqn（圖象有兩種情形,只畫了一種）大 致 圖 象（fm0）a得 出 的 結0mfm0nfmfn0fn0或fmfn0fn0fp0fpfq0bfq0論大 致 圖 象（2a）得 出 的 結 論mf00nfmfn0fm0或fmfn0mfn0fn0fp0fpfq0bfq02a綜 合mfnn0 x 1fm2fn0結 論（不 討 論 afm,外,即在區(qū)間兩側fpfq0）m xn ,（圖形分別如下）需滿根在區(qū)間上的分布仍有一種情形：兩根分別在區(qū)間足的條件是（1）a0時,fm0；（2）a0時,fm0fn0fn0對以上的根的分布表中一些特別情形作說明：（1）兩根有且僅有一根

4、在m,n內有以下特別情形：2m 或 n ,可以如fm0或fn0,就此時f mgf n0不成立,但對于這種情形是知道了方程有一根為求出另外一根,然后可以依據(jù)另一根在區(qū)間m,n內,從而可以求出參數(shù)的值；如方程2 mxmx20在區(qū)間1,3 上有一根, 由于f10,所以2 mxm2x2x1mx2,另一根為2,由123得2 3m2mm即為所求；方程有且只有一根,且這個根在區(qū)間 m, n 內,即 0,此時由 0可以求出參數(shù)的值,然后再將參數(shù)的值帶2入方程,求出相應的根,檢驗根是否在給定的區(qū)間內,如如不在,舍去相應的參數(shù)；如方程 x 4 mx 2 m 6 0 有且一根在區(qū)間 3,0 內,求 m 的取值范疇；

5、 分析：由 f 3 fg 0 0 即 14 m 15 m 3 0 得出 3 m 15；14由 0即 16 m 24 2 m 6 0 得出 m 1 或 m 3,當 m 1 時,根 x 2 3,0,即 m 1 滿意題意；2當 m 3時,根 x 3 3,0,故 m 3不滿意題意；綜上分析,得出 3 m 15或 m 12 2 14根的分布練習題例 1、已知二次方程2 m1x22 mxm10有一正根和一負根,求實數(shù)m 的取值范疇；解：由2 m1g f00即2 m1m10,從而得1m1即為所求的范疇；2例 2、已知方程2x2m1xm0有兩個不等正實根,求實數(shù)m 的取值范疇；解：由0m32 2或00m128

6、 m0m32 2或m32 21,求實數(shù) mm1m12 2m0m00f0即為所求的范疇；m32 2x22 m4x3 m3與 x 軸有兩個交點,一個大于1,一個小于例 3、已知二次函數(shù)ym2的取值范疇；解：由m2fg10即m2g2 m102m1即為所求的范疇；2例 4、已知二次方程2 mx2 m3x40只有一個正根且這個根小于1,求實數(shù) m 的取值范疇；解：由題意有方程在區(qū)間0,1 上只有一個正根, 就f0g f104 3 m10m1即為所求范疇；3（注：此題對于可能顯現(xiàn)的特別情形方程有且只有一根且這個根在0,1 內,由0運算檢驗,均不復合題意,計算量稍大）例 1、當關于 x 的方程的根滿意以下條

7、件時,求實數(shù) a 的取值范疇：（1）方程x2axa270的兩個根一個大于2,另一個小于2；m 的取值范疇（2）方程7x2a13xa2a20的一個根在區(qū)間0,1 上,另一根在區(qū)間1,2 上；（3）方程x2ax220的兩根都小于0；4ax2 2 2 a0的兩根都小于1 1,3 上；變題：方程x a（4）方程x2x5 a30的兩根都在區(qū)間（5）方程x2ax40在區(qū)間（1,1）上有且只有一解；例 2、已知方程x2mx240在區(qū)間 1,1上有解,求實數(shù)m 的取值范疇m3 x1的圖像與 x 軸的交點至少有一個在原點右側,求實數(shù)例 3、已知函數(shù)f xmx檢測反饋：1如二次函數(shù)f x x2a1 x5在區(qū)間1,

8、1上是增函數(shù),就f2的取值范疇是 _22如、是關于 x 的方程x22 kxk60的兩個實根 , 就1 21 2的最小值為3如關于 x 的方程x2m2x2m10只有一根在 0,1 內,就 m_ _4對于關于 x 的方程 x 2+2m 1x+4 2m=0 求滿意以下條件的 m 的取值范疇：（1）有兩個負根（ 2） 兩個根都小于 1 （3）一個根大于 2,一個根小于 2 （4） 兩個根都在（ 0 ,2）內（5）一個根在 2,0內,另一個根在 1,3內（6）一個根小于 2,一個根大于 4 （7） 在（ 0, 2）內 有根（8） 一個正根,一個負根且正根肯定值較大5已知函數(shù)fxmx2x1的圖像與 x 軸

9、的交點至少有一個在原點的右側,求實數(shù)m 的取值范疇；2、二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n上的最大、最小值問題探討設fxax2bxc0a0,就二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n上的最大、最小值有如下的分布情形：mnbbm ,nbmnmbn即2a2 a2 a2 a圖象最fxmaxfmfxmaxmaxfn,fmfxmaxfn大、最 小 值fxminfnfxminfbfxminfm2 a對于開口向下的情形,爭論類似；其實無論開口向上仍是向下,都只有以下兩種結論：（1）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fb,fn,fxminminfm,fb,fn；2a2 a2 a（2）如bm ,n,就fxmaxmaxfm,fn,fxmi

10、nminfm,fn2ax 軸越遠,就對應的函數(shù)值越大；反過來,當二次函數(shù)開口向下另外,當二次函數(shù)開口向上時,自變量的取值離開時,自變量的取值離開x 軸越遠,就對應的函數(shù)值越??；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值,爭論的情形無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間,以下三個例題各代表一種情形；例 1、函數(shù)fxax22 ax2b a0在 2,3 上有最大值5 和最小值 2,求a b 的值；fa1 0；6 a解：對稱軸x 012,3,故函數(shù)fx 在區(qū)間2,3 上單調；xmaxf33 ab25x 在區(qū)間 2,3 上是增函數(shù),故f f（1）當a0時,函數(shù) fxminf22b2

11、b（2）當a0時,函數(shù) fx在區(qū)間2,3上是減函數(shù),故f fxmaxf2b25a1xminf33 ab22b3例 2、求函數(shù)fxx22 ax1,x1,3的最小值；f a12 a ；（3）當a3時,y min310解：對稱軸0 xa122a（2）當 1a3時,y min（1）當a1時,yminf改： 1此題如修改為求函數(shù)的最大值,過程又如何？解：（1）當a2時,fxmaxf31026 a ；（2）當a2時,fxmaxf12a ；2此題如修改為求函數(shù)的最值,爭論又該怎樣進行？解：（1）當 a 1 時,f x max f 3 10 6 a ,f x min f 1 2 2 a ；（ 2）當 1 a

12、2 時,f x max f 3 10 6 a ,f x min f a 1 a ；22（ 3）當 2 a 3 時,f x max f 1 2 2 a ,f x min f a 1 a ；（ 4）當 a 3 時,f x max f 1 2 2 a ,f x min f 3 10 6 a ；2例 3、求函數(shù) y x 4 x 3 在區(qū)間 t t 1 上的最小值；解：對稱軸 x 0 2（1）當 2 t 即 t 2 時,y min f t t 24 t 3；（2）當 t 2 t 1 即 1 t 2 時,y min f 2 1；2（3）當 2 t 1 即 t 1 時,y min f t 1 t 2 t例 4、爭論函數(shù) f x x 2x a 1 的最小值；解：f x