內切球與外接球習題講義教師版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)立體幾何中的“內切”與“外接”問題的探究1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題. 球與正方體如圖1所示，正方體,設正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心。常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形和其內切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則

2、.通過這三種類型可以發(fā)現，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題 。例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內有一個半徑為1的球，任意擺動此

3、長方體，則球經過的空間部分的體積為( ) A.eq f(10,3)B.4C.eq f(8,3)D.eq f(7,3) 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構造直角三角形法。設正三棱柱的高為，底面邊長為，如圖2所示，和分別為上下底面的中心。根據幾何體的特點，球心必落在高的中點，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾

4、何體的體積或者表面積等相關問題.2.1 球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關系。如圖4，設正四面體的棱長為，內切球半徑為，外接球的半徑為，取的中點為，為在底面的射影，連接為正四面體的高。在截面三角形,作一個與邊和相切，圓心在高上的圓，即為內切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內切球的球心同為。此時， 則有解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數量關系，可為解題帶來極大的方便.例4 將半

5、徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合，設，則。二是如果三棱錐的三條側棱互相垂直

6、且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，（為長方體的體對角線長）。例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側棱,則正三棱錐外接球的表面積是 。2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側棱PA與底面

7、ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法、等進行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置。如圖8，三棱錐,滿足面，取的中點為，由直角三角形的性質可得：,所以點為三棱錐的外接球的球心,則. 例7 矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球對個多個小球結合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當的處理手段，如準確確定各個小球

8、的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解.例8 在半徑為的球內放入大小相等的4個小球，則小球的半徑的最大值為（）4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）A. B. C. D. 綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來

9、解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數形結合進行轉化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結論直接求解,此時結論的記憶必須準確.外接球內切球問題1. （陜西理）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外

10、接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 3正三棱柱內接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案 84.表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A B C D答案 A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.（山東卷）正方體的內切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C7.（海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面已知該六棱柱的頂

11、點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為答案 8. （天津理）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為答案 9.（全國理）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.答案 ABCPDEF10.（遼寧）如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是_答案 11.（遼寧省撫順一中）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .答案 12.（棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD以上都不對答案C13.(吉林省吉林市