無(wú)窮大與無(wú)窮小

1、復(fù)習(xí) 數(shù)列、函數(shù)的極限1. 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義1局部有界性唯一性保序性單調(diào)性2. 函數(shù)極限的性質(zhì)21-4 無(wú)窮大與無(wú)窮小一、 無(wú)窮小 三、 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 二、 無(wú)窮大 定義，與函數(shù)極限的關(guān)系，運(yùn)算法則 3當(dāng)一、 無(wú)窮小1.定義 若時(shí) , 函數(shù)則稱函數(shù)例如 :函數(shù) 當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù) 時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù) 當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小 .時(shí)為無(wú)窮小.（極限為0的變量）4注：1).稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的變化過程；2).無(wú)窮小是（極限為0的）變量,不能與很小的數(shù)混淆;3).0是可以作為無(wú)窮小的唯一的（常）數(shù).4).實(shí)際應(yīng)用：P67 課本例子：幾何，物理5其中 為時(shí)的無(wú)窮小量 . 2. 無(wú)窮小與函數(shù)極

2、限的關(guān)系證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證 .6意義1).將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無(wú)窮小);7時(shí), 有3. 無(wú)窮小運(yùn)算法則（同一變化過程）定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小 .證: 考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和 .取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量 .8注：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小 .9定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 證: 設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí), 有取則當(dāng)時(shí) , 就有故即是時(shí)的無(wú)窮小 .10例1:例2:定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 11推論1 無(wú)窮小乘以有極限的函數(shù)仍是無(wú)窮?。?無(wú)窮小除以極限不為0的函數(shù)仍

3、是無(wú)窮小.推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小注： 有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積是無(wú)窮小；但商未必，可能是無(wú)窮小、無(wú)窮大或確定值.析：有極限必有界（必要條件） 極限不為0的函數(shù)的倒數(shù)有極限析：常數(shù)是有界函數(shù)的特例定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 12例. 求解: 利用定理 2 可知說(shuō)明 : y = 0 是的水平漸近線 .定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 13二、 無(wú)窮大定義 . 若任給 M 0 ,一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大, 使對(duì)若在定義中將 式改為則記作(正數(shù) X ) ,記作總存在（絕對(duì)值無(wú)限增大

4、的變量）14注:2. 無(wú)窮大不是很大的數(shù), 描述函數(shù)的一種變化狀態(tài).例如, 函數(shù)當(dāng)所以時(shí) ,3. 函數(shù)在 內(nèi)無(wú)界是 的必要條件15證16三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4 在同一過程中,1）無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;2）恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證17意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.定理4 在同一過程中,2）恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.18注： 無(wú)窮大沒有對(duì)應(yīng)無(wú)窮小那樣的運(yùn)算性質(zhì)例如：無(wú)窮大乘以有界函數(shù)不一定是無(wú)窮大反例：取有界函數(shù)為無(wú)窮小，則乘積要看無(wú)窮大與無(wú)窮小的趨近快慢19小 結(jié)一、 無(wú)窮小 （極限為零的變量）三、 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 二、 無(wú)窮大（極限為無(wú)窮大的變量）與函數(shù)極限的關(guān)系1. 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小 .運(yùn)算法則：2. 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 在同一過程中，1）