高中物理選擇性必修36.2.2排列數

1、6.2.2排列數課標要求素養(yǎng)要求1.能利用計數原理推導排列數公式.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數公式解決簡單的實際問題.通過排列數公式的學習，提升數學抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在上海交通大學建校120年周年之際，有29位曾是交大學子的名人大家，要在慶祝會上逐一介紹，那么這29位大家的排列順序有多少種？這樣的排列順序問題能否用一個公式來表示呢？問題上述情景中的問題能否用一個公式來表示？提示上述問題情景中的問題可以用公式Aeq oal(29,29)來表示1排列數的定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq

2、oal(m,n)表示. 2排列數公式注意排列數公式的特征：m個連續(xù)自然數之積；最大的因數是n，最小的因數是nm1Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn)eq f(n！,（nm）！).3全排列將n個不同的元素全部取出的排列數，等于正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示，于是n個元素的全排列數公式可以寫成：Aeq oal(n,n)n! ，另外規(guī)定，0！1.拓展深化微判斷1排列與排列數的含義相同()提示“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指完成的具體的一件事，其過程要先取后排，它不是一個數；而排列數是指完成具體的一件事的所有方法的種數，即所有排列的

3、個數，它是一個數2從4個不同元素中任取3個元素的排列數為Aeq oal(3,4)24.()微訓練1Aeq oal(3,9)等于()A93 B93C987 D9876543答案C2若Aeq oal(m,10)1095，則m_答案6微思考1排列數Aeq oal(m,n)公式的特點是什么？提示第一個因數是n，后面一個因數比它前面的一個少1，最后一個因數是nm1，共m個因數相乘2從1，2，3，4這4個數字中選出3個能構成多少個無重復數字的3位數？提示43224(個).題型一 排列數公式及應用【例1】(1)用排列數表示(55n)(56n)(69n)(nN*且，n55)；(2)計算eq f(2Aeq oa

4、l(5,8)7Aeq oal(4,8),Aeq oal(8,8)Aeq oal(5,9).(3)證明Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n)mAeq oal(m1,n).(1)解因為55n，56n，69n中的最大數為69n，且共有69n(55n)115(個)元素，所以(55n)(56n)(69n)Aeq oal(15,69n).(2)解eq f(2Aeq oal(5,8)7Aeq oal(4,8),Aeq oal(8,8)Aeq oal(5,9)eq f(28765478765,8765432198765)eq f(8765（87）,8765（249）)1.(3)證明法一因為Aeq

5、oal(m,n1)Aeq oal(m,n)eq f(（n1）！,（n1m）！)eq f(n！,（nm）！)eq f(n！,（nm）！)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n1,n1m)1)eq f(n！,（nm）！)eq f(m,n1m)meq f(n！,（n1m）！)mAeq oal(m1,n)，所以Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n)mAeq oal(m1,n).法二Aeq oal(m,n1)表示從n1個元素中取出m個元素的排列個數，其中不含元素a1的有Aeq oal(m,n)個含有a1的可這樣進行排列：先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m1個元素排在剩下

6、的m1個位置上，有Aeq oal(m1,n)種排法故Aeq oal(m,n1)mAeq oal(m1,n)Aeq oal(m,n)，所以mAeq oal(m1,n)Aeq oal(m,n1)Aeq oal(m,n).規(guī)律方法排列數公式的形式及選擇方法排列數公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數字的排列數的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證時，一般用階乘式【訓練1】不等式Aeq oal(x,8)6Aeq oal(x2,8)的解集為()A2，8 B2，6 C(7，12) D8解析由Aeq oal(x,8)6Aeq oal

7、(x2,8)，得eq f(8！,（8x）！)6eq f(8！,（10 x）！)，化簡得x219x840，解得7x12，又eq blc(avs4alco1(x8，,x20，)所以2x8，由及xN*，得x8.答案D題型二排隊問題【例2】三個女生和五個男生排成一排(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解(1)(捆綁法)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有Aeq oal(6,6

8、)種不同的排法對于其中的每一種排法，三個女生之間又有Aeq oal(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq oal(6,6)Aeq oal(3,3)4 320(種)不同的排法(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于五個男生排成一排有Aeq oal(5,5)種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有Aeq oal(3,6)種排法，因此共有Aeq oal(5,5)A

9、eq oal(3,6)14 400(種)不同的排法(3)法一(位置分析法)因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有Aeq oal(2,5)種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有Aeq oal(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq oal(2,5)Aeq oal(6,6)14 400(種)不同的排法法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq oal(8,8)種不同的排法，從中扣除女生排在首位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排

10、在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq oal(8,8)2Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)14 400(種)不同的排法法三(元素分析法)從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有Aeq oal(3,6)種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有Aeq oal(5,5)種不同的排法，所以共有Aeq oal(3,6)Aeq oal(5,5)14 400(種)不同的排法(4)法一(位置

11、分析法)因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)種不同的排法；如果首位排女生，有Aeq oal(1,3)種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)種不同的排法，因此共有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)36 000(種)不同的排法法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq oal(8,8)種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法Aeq oal(

12、2,3)Aeq oal(6,6)種，就得到兩端不都是女生的排法種數因此共有Aeq oal(8,8)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)36 000(種)不同的排法規(guī)律方法排隊問題的相鄰、不相鄰問題的解題策略排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰等問題(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素視為一個整體進行排列(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決，即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中.【訓練2】分別求出符合下列要求的不同排法的種數(1)6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人

13、排成一排，甲、乙不相鄰解(1)分排與直排一一對應，故排法種數為Aeq oal(6,6)720.(2)甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有Aeq oal(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq oal(5,5)種排法，故排法種數為Aeq oal(1,4)Aeq oal(5,5)480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(2,5)480(種)排法題型三定序問題【例3】五個人排成一排，求滿足下列條件的不同排列各有多少種(1)A，B，C三人左中右順序不變(不一定相鄰)；(2)A在

14、B的左邊且C在D的右邊(可以不相鄰)解(1)首先五個人站成一排，共有Aeq oal(5,5)種排法，其中A，B，C三人的全排列有Aeq oal(3,3)種排法，而A，B，C從左到右的順序只是其中一種，所以滿足條件的排法共eq f(Aeq oal(5,5),Aeq oal(3,3)20(種)(2)同(1)，不過此題中A和B，C和D被指定了順序，則滿足條件的排法共eq f(Aeq oal(5,5),Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)30(種)規(guī)律方法在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰)解決這類問題的基本方法有兩個：(1)整體法，即若有mn個元素排成一列，其中m個

15、元素之間的先后順序確定不變，則先將這mn個元素排成一列，有Aeq oal(mn,mn)種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有Aeq oal(m,m)種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有eq f(Aeq oal(mn,mn),Aeq oal(m,m)種滿足條件的不同排法；(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中【訓練3】(1)7人排成一列，甲必須在乙的后面(可以不相鄰)，有_種不同的排法(2)用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數字的七位

16、數，若1，3，5，7的順序一定，則有_個七位數符合條件解析(1)7人排隊，2人順序固定，共有eq f(Aeq oal(7,7),Aeq oal(2,2)2 520(種)不同的排法(2)若1，3，5，7的順序不定，有Aeq oal(4,4)24(種)排法，故1，3，5，7的順序一定的排法數只占總排法數的eq f(1,24)，故有eq f(1,24)Aeq oal(7,7)210(個)七位數符合條件答案(1)2 520(2)210一、素養(yǎng)落地1通過本節(jié)課的學習，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養(yǎng)2排列數公式有兩種形式，可以根據要求靈活選用3求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優(yōu)

17、先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法二、素養(yǎng)訓練1考生甲填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有()A10種 B60種 C125種 D243種解析依題意，滿足題意的不同的填法共有Aeq oal(3,5)60(種)，選B.答案B2六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排

18、甲，則不同的排法共有()A192種 B216種C240種 D288種解析根據甲、乙的位置要求分為兩類：第一類：甲在最左端，有Aeq oal(5,5)54321120(種)方法；第二類：乙在最左端，有4Aeq oal(4,4)4432196(種)方法所以共有12096216(種)方法答案B36名同學排成一排，其中甲、乙必須排在一起的不同排法共有()A720種 B360種C240種 D120種解析將甲、乙兩人視為1人與其余4人排列，有Aeq oal(5,5)種排列方法，甲、乙兩人可互換位置，所以總的排法有Aeq oal(2,2)Aeq oal(5,5)240(種)答案C4將序號分別為1，2，3，4

19、，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是_解析5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其他號碼各為一組，分給4人，共有4Aeq oal(4,4)96(種)答案965解方程Aeq oal(4,2x1)140Aeq oal(3,x).解根據題意，原方程等價于eq blc(avs4alco1(2x14，,x3，,xN*，,（2x1）2x（2x1）（2x2）140 x（x1）（x2），)即eq blc(avs4alco1(x3，,xN*，,（2x1）（2x1）35（x2），)整理得4

20、x235x690(x3，xN*)，解得x3eq blc(rc)(avs4alco1(xf(23,4)N*，舍去).基礎達標一、選擇題1456(n1)n等于()AAeq oal(4,n) BAeq oal(n4,n)Cn！4! DAeq oal(n3,n)解析因為Aeq oal(m,n)n(n1)(n2)(nm1)，所以Aeq oal(n3,n)n(n1)(n2)n(n3)1n(n1)(n2)654.答案D2A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法有()A60種 B48種 C36種 D24種解析把A，B視為一人，且B排在A的右邊，則本題相當于4人的全排

21、列，故有Aeq oal(4,4)24(種)排法答案D3某班級從A，B，C，D，E，F六名學生中選四人參加4100 m接力比賽，其中第一棒只能在A，B中選一人，第四棒只能在A，C中選一人，則不同的選派方法共有()A24種 B36種 C48種 D72種解析若第一棒選A，則有Aeq oal(2,4)種選派方法；若第一棒選B，則有2Aeq oal(2,4)種選派方法由分類加法計數原理知，共有Aeq oal(2,4)2Aeq oal(2,4)3Aeq oal(2,4)36(種)選派方法答案B4已知Aeq oal(2,n1)Aeq oal(2,n)10，則n的值為()A4 B5 C6 D7解析因為Aeq

22、oal(2,n1)Aeq oal(2,n)10，則(n1)nn(n1)10，整理得2n10，即n5.答案B5由數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50 000的偶數共有()A60個 B48個C36個 D24個解析由數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中偶數共有2Aeq oal(4,4)48，大于50 000的偶數共有2Aeq oal(3,3)12，所以小于50 000的偶數共有481236(個)答案C二、填空題6從班委會的5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有_種(用數字作答)解析文娛委員

23、有3種選法，則安排學習委員、體育委員有Aeq oal(2,4)12(種)方法由分步乘法計數原理知，共有31236(種)選法答案367不等式Aeq oal(2,n)n15的解集為_解析由不等式Aeq oal(2,n)n15，得n(n1)n150，整理得n22n150，解得3n5.又因為n2且nN*，所以n2，3，4.答案eq blcrc(avs4alco1(2，3，4)8用0，1，2，3，4這5個數字組成無重復數字的五位數，其中恰有一個偶數夾在兩個奇數之間的五位數有_種解析分兩類：0夾在1，3之間有Aeq oal(2,2)Aeq oal(3,3)種排法，0不夾在1，3之間又不在首位有Aeq oa

24、l(1,2)Aeq oal(2,2)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)種排法所以一共有Aeq oal(2,2)Aeq oal(3,3)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)28(種)排法答案28三、解答題9一場晚會有5個演唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單(1)3個舞蹈節(jié)目不排在開始和結尾，有多少種排法？(2)前四個節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？解(1)先從5個演唱節(jié)目中選兩個排在首尾兩個位置有Aeq oal(2,5)種排法，再將剩余的3個演唱節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目排在中間6個位置上有Aeq oal(6,6)種排法，故

25、共有不同排法Aeq oal(2,5)Aeq oal(6,6)14 400(種)(2)先不考慮排列要求，有Aeq oal(8,8)種排法，其中前四個節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的情況，可先從5個演唱節(jié)目中選4個節(jié)目排在前四個位置，然后將剩余四個節(jié)目排列在后四個位置，有Aeq oal(4,5)Aeq oal(4,4)種排法，所以前四個節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有Aeq oal(8,8)Aeq oal(4,5)Aeq oal(4,4)37 440(種)104個男同學和3個女同學(其中含甲、乙、丙)站成一排(1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)甲、

26、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？解(1)3個女同學是特殊元素，共有Aeq oal(3,3)種排法；由于3個女同學必須排在一起，則可視排好的女同學為一個整體，再與4個男同學排隊，應有Aeq oal(5,5)種排法由分步乘法計數原理得，有Aeq oal(3,3)Aeq oal(5,5)720(種)不同的排法(2)先將男同學排好，共有Aeq oal(4,4)種排法，再在這4個男同學的中間及兩頭的5個空當中插入3個女同學，則有Aeq oal(3,5)種方法故符合條件的排法共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(3,5)1 440(種)(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有Aeq

27、 oal(4,4)種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有Aeq oal(2,2)種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5個空當中，則有Aeq oal(2,5)種排法所以共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,5)960(種)不同的排法能力提升11旅游體驗師小李受某旅游網站的邀約，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若甲景區(qū)不能最先旅游，乙景區(qū)和丁景區(qū)不能最后旅游，則小李旅游的方法數為()A24 B18 C16 D10解析第一類，甲是最后一個體驗，則有Aeq oal(3,3)種方法；第二類，甲不是最后一個體驗，則有Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)種方法，所以小李旅游的方法共有Aeq oal(3,3)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)10(種)，故選D.答案D127名班委中有A，B，C三人，有7種不同的職務，現對7名班委進行職務具體分工(1)若正、副班長兩職只能從A，B，C三人中選兩人擔任，有多少種分工方案？(2)若正、副班長兩職至少要選A，B，C三人中的一人擔任，有多少種分工方案？解(1)先排正、副班長有Aeq oal(2,3)種方法，再安排其余職務有Aeq oal(5,5)種方法，依分步乘法計數原理，知共有Aeq oal(