移動(dòng)灌溉系統(tǒng)的優(yōu)化模型

1、移動(dòng)灌溉系統(tǒng)的優(yōu)化模型摘要農(nóng)業(yè)灌溉在我國(guó)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)增收中占據(jù)著非常重要的地位，噴灌是一種具有節(jié)水、增產(chǎn)、 節(jié)地、省工等優(yōu)點(diǎn)的先進(jìn)節(jié)水高效灌溉技術(shù)。隨著我國(guó)農(nóng)業(yè)水資源的日益緊缺，噴灌作為 一種現(xiàn)代化的節(jié)水高效灌溉技術(shù)，正被越來越廣泛的運(yùn)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中。而農(nóng)場(chǎng)中的“手 動(dòng)”系統(tǒng)，由于操作過程中耗費(fèi)了大量人力與時(shí)間，從而給實(shí)際生產(chǎn)帶來許多不便，因此 需要設(shè)計(jì)一種管道系統(tǒng)的移動(dòng)方案，以保證灌溉時(shí)間和移動(dòng)次數(shù)盡可能少。針對(duì)此問題，本文運(yùn)用了運(yùn)動(dòng)學(xué)原理和幾何知識(shí)，在比較了各種可能存在的管道系統(tǒng) 的優(yōu)劣后，最終建立了兩套管道系統(tǒng)模型。管道系統(tǒng)I采用2支管4噴頭網(wǎng)狀系統(tǒng)，各噴 頭呈正三角形布置；管道系統(tǒng)II采用

2、單支管3個(gè)噴頭系統(tǒng)。使用這兩套管道系統(tǒng)進(jìn)行灌溉， 共需移動(dòng)16次，只需要66.4470+16C分鐘（C為常數(shù)，是移動(dòng)一次管道系統(tǒng)所需要的時(shí)間） 就可以灌溉完一片面積80 30米的田地。本文在計(jì)算灌溉時(shí)間上通過分別計(jì)算各噴嘴重復(fù)覆蓋部分的灌溉強(qiáng)度不超過7.5毫 米每小時(shí)所需要的時(shí)間以及不重復(fù)覆蓋部分一天總的灌水量不少于5毫米所需要的時(shí)間， 然后取這兩個(gè)時(shí)間所在時(shí)間段中最小的一個(gè)時(shí)間來作為一次灌溉的時(shí)間，較為合理。在模 型檢驗(yàn)中對(duì)各種可能存在的管道系統(tǒng)進(jìn)行了比較，得出了 2支管4噴頭網(wǎng)狀系統(tǒng)在節(jié)省時(shí) 間上是最優(yōu)的模型，從而說明本文模型的建立是比較合理的。關(guān)鍵詞：網(wǎng)狀系統(tǒng)比較檢驗(yàn)法有效覆蓋面積一、問

3、題的重述從先進(jìn)的灌溉系統(tǒng)到周期性灌溉系統(tǒng)，目前有各種各樣用于灌溉的技術(shù)。其中一項(xiàng)用 于小型農(nóng)場(chǎng)灌溉的系統(tǒng)是“手動(dòng)”系統(tǒng)。此種系統(tǒng)可以在田地里鋪設(shè)帶噴嘴的輕鋁制管道， 可定期手動(dòng)的調(diào)節(jié)管道的位置以確保整片田地都得到充分的灌溉。管道系統(tǒng)包括可直線連 接的一定數(shù)量的管道。所有管道最終連接成長(zhǎng)20米的管道系統(tǒng)。已知每個(gè)管道內(nèi)直徑10 厘米，帶有內(nèi)直徑為0.6厘米的旋轉(zhuǎn)噴嘴。系統(tǒng)源頭的水壓為420千帕，流量為150升/分 鐘。由于考慮到防止地表徑流和農(nóng)作物對(duì)水量的需求，所以田地的任何區(qū)域每小時(shí)的灌溉 量都不得超過0.75厘米，且所有區(qū)域每四天灌溉量總和要不少于2厘米。為了確保用最少 的時(shí)間灌溉一片面積為

4、80 30米的田地，需要解決以下問題：1、建立一種模型，確定噴頭的數(shù)量，各噴頭的間距以及管道系統(tǒng)的構(gòu)造形狀。2、確定移動(dòng)的方案，求出最小的時(shí)間。二、問題的分析題目要求使用管道系統(tǒng)在最少的時(shí)間內(nèi)灌溉一片面積80X30米的田地，也就是要我們 安裝一套移動(dòng)管道系統(tǒng)，在滿足題設(shè)所給的總長(zhǎng)20米，田地的任何區(qū)域每小時(shí)的灌溉量都 不得超過0.75厘米和所有區(qū)域每四天的灌溉量不得少于2厘米的條件下，使各噴頭每次同 時(shí)噴灑的有效覆蓋面積最大且一次灌溉時(shí)間最少，這就要求確定好噴頭的射程、個(gè)數(shù)、布 局和支管的間距。因?yàn)橄到y(tǒng)源頭的水壓一定，各噴頭的射程相同。在確定噴頭射程時(shí)，先運(yùn)用沖量定理 求出水噴出時(shí)的速度，再運(yùn)

5、用運(yùn)動(dòng)學(xué)原理求射程。由于仰角不同，射程不同，需要比較在 不同仰角下的射程，選出比較合理的數(shù)據(jù)。一般管道布局有單支管多噴頭和多支管多噴頭管道系統(tǒng)。我們需要比較各種管道系統(tǒng) （包括噴頭可能存在的個(gè)數(shù)）灌溉一次的有效覆蓋面積和灌溉時(shí)間，最終選出覆蓋面積大 且灌溉一次所用時(shí)間最少的模型即為最優(yōu)的模型。在計(jì)算灌溉時(shí)間時(shí)，只要使重復(fù)覆蓋部分的灌溉強(qiáng)度不超過7.5毫米每小時(shí)，便可以 保證所有區(qū)域每小時(shí)的灌溉量不超過7.5毫米，另外，只要使不重復(fù)部分每天的灌水量不 少于5毫米，就可以使任何區(qū)域每四天的灌溉量不少于2毫米。然后針對(duì)這兩個(gè)時(shí)間段取 一個(gè)較小的時(shí)間作為一次灌溉的時(shí)間，最后計(jì)算出灌溉完此地需要移動(dòng)管道

6、系統(tǒng)的次數(shù)， 便可以計(jì)算出總的時(shí)間。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)管道系統(tǒng)鋪設(shè)于地面上農(nóng)作物的縫隙之間，噴頭距離地面有0.3米;2、假設(shè)各噴頭的流量相同，都為| （咬）（n為噴頭的個(gè)數(shù)）；3、假設(shè)使用全圓旋轉(zhuǎn)噴嘴，且旋轉(zhuǎn)速度均勻，各噴頭噴灑的水量是均勻的；4、假設(shè)在無風(fēng)條件下進(jìn)行灌溉；5、假設(shè)水的利用系數(shù)為1。四、符號(hào)的說明Q系統(tǒng)源頭的流量；P系統(tǒng)源頭的水壓；P0大氣壓強(qiáng)；D管道內(nèi)徑；d旋轉(zhuǎn)噴嘴內(nèi)徑；b設(shè)計(jì)灌溉強(qiáng)度；A各噴頭同時(shí)噴灑時(shí)的有效濕潤(rùn)面積；R各噴頭的噴灑的最大半徑，即射程；S兩個(gè)噴頭同時(shí)噴灑時(shí)的重復(fù)覆蓋面積。五、模型的建立由問題的分析可知，要想確定噴頭的個(gè)數(shù)與支管之間的間距，先要求出噴頭的射

7、程。（一）噴頭最優(yōu)射程的求解1、求水噴出時(shí)的速度噴嘴的直徑d = 6X10-3m，故橫截面積S =兀（d/2）2。設(shè)噴出水的質(zhì)量為m，體積為V，由標(biāo)準(zhǔn)情況下水的密度為P=1.0X103kg/m3，得： TOC o 1-5 h z m = p V（ 1）設(shè)水噴出瞬間速度為v，時(shí)間為t，水噴出前水管內(nèi)速度相對(duì)很小，可設(shè)匕=0。水噴出瞬 間運(yùn)動(dòng)位移為討，故有：V = Svt（2）管道系統(tǒng)內(nèi)每處的水壓與系統(tǒng)源頭的水壓相等，水壓P =420千帕；大氣壓強(qiáng)P =101 0千帕（標(biāo)準(zhǔn)情況下）。由沖量定理，可得：（P P）St = mv mv（3）由(1), (2), (3)可得到：v =(P-P0)/p代入

8、數(shù)據(jù)，可得：v = 17.8606 m / s(4)2 .求最大的射程由于種植業(yè)的不同，鋁管的架設(shè)高度不同。這里我們?nèi)′X管的架設(shè)高度h = 0.3m。水從 噴嘴噴出，做類似拋物運(yùn)動(dòng)(空氣阻力不計(jì))。設(shè)噴嘴的仰角為a,則速度可分解到水平方向上和豎直方向上兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，分解到水平方向上速度為v = v cos a，豎直方向上速度為v = v sin a。圖1設(shè)噴頭最大射程為R。a的值不同，求得的R值也不同。運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定理，結(jié)合 圖形，分析運(yùn)動(dòng)過程：(圖1)設(shè)水射到最高點(diǎn)時(shí)，離噴嘴的豎直高度為h，所用時(shí)間為，從最高點(diǎn)落地面經(jīng)過的 時(shí)間為t2。在水平方向上，滿足方程:， Z.mv 2 = mgh

9、1h = gt 22 11 h + h = 2 gt 2在豎直方向上，滿足方程:R = v (t +1 )(6)選擇最優(yōu)射程確定a值，由(4)，(5)，(6)可求出r值。由于選取的a值不同，求得的R值就不同。 因此我們需要找出a值和射程R的關(guān)系。我們選取多組a值，求出對(duì)應(yīng)的R值，比較得出： 在a值小于45。范圍內(nèi)，a值越大，R值越大；在a值大于45范圍內(nèi)，a值增大，R值變小。下面是一部分?jǐn)?shù)據(jù)：（見表1）表1a值與射程R的關(guān)系a值0715304560射程R（m）4. 4196. 7329. 78514. 14716. 31115. 323我們要考慮兩個(gè)方面：移動(dòng)的次數(shù)和一次灌溉時(shí)間。射程大，一次

10、灌溉面積大，移動(dòng)的次 數(shù)少；但灌溉強(qiáng)度小，一次灌溉時(shí)間長(zhǎng)，總的時(shí)間可能會(huì)增大。射程小，一次灌溉面積小， 移動(dòng)的次數(shù)多；但灌溉強(qiáng)度大，一次灌溉時(shí)間短，總的時(shí)間可能會(huì)小一些。在后面的結(jié)果檢驗(yàn)中，我們比較了多級(jí)數(shù)據(jù)，確定最優(yōu)的射程是R = 4.419m。（二）噴頭間距、個(gè)數(shù)以及支管間距的確定1、從實(shí)際情況出發(fā)，為了便于移動(dòng)，又能將地面噴灑完全，噴頭的布置有如下三種 情況：圖2據(jù)可靠資料可得：各噴頭呈正三角形分布，且支管間距為噴頭間距的0.866倍時(shí)，各噴頭同時(shí)噴灑時(shí)地面上的有效濕潤(rùn)面積最大1。針對(duì)本文的限制條件，最優(yōu)管道模型有4個(gè)噴頭。在模型檢驗(yàn)中，本文會(huì)給出詳細(xì)的證明和檢驗(yàn)。鋪設(shè)的管道系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)如下

11、：圖3假設(shè)噴頭間距是射程的n倍：2nR + 0.866nR 20可得：n=1.57。所以噴頭間距為射程的1.57倍，即6.9378米；支管間距為射程的1057*0.866=1.36倍， 即6.0098米。鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)為19.8855米。3此管道系統(tǒng)能夠噴灑地面的有效長(zhǎng)度為：，x R+R*8257米，有效寬度為:21.36x xR+1.36xR=10.0164 米。3因此要灌溉一片面積80X30米的田地，只要將此管道系統(tǒng)沿地寬平行移動(dòng)3次，沿地長(zhǎng)平 行移動(dòng)5次，就可灌溉一片面積74.1285X30的田地，還要灌溉一片面積5.9X30的田地便 可以把此地灌溉完全。2、如果仍用上述管道系統(tǒng)灌溉5.

12、9X30米的田地，浪費(fèi)的水量和時(shí)間將會(huì)很大，所以本文 在此將上述管道系統(tǒng)做了如下調(diào)整：改為用單支管多噴頭的管道系統(tǒng)噴灌：如圖：圖4為了保證它的有效覆蓋面積最大，即重復(fù)覆蓋面積最小，只能使管道系統(tǒng)II的有效寬度為5.9米，由此計(jì)算出噴嘴間距：=R2 -（59）2 =6.5804 米所以灌溉5.9X30米的田地需要噴嘴30/6.5804+1=6個(gè)，而20米長(zhǎng)的管道系統(tǒng)最多能安裝 20/6.5804+1=4個(gè)噴嘴，又考慮到各區(qū)域的總灌溉量必須盡可能一致，我們這里采用只有3 個(gè)噴嘴的管道系統(tǒng)噴灌5.9X30米的田地，可知移動(dòng)1次即可完成灌溉任務(wù)。此時(shí)面積80X30米的田地已經(jīng)灌溉完一次，兩套管道系統(tǒng)總

13、共移動(dòng)了 17次。灌溉簡(jiǎn)圖如下：30 m80m管道系統(tǒng)1管道系統(tǒng)2圖5六、模型的求解1、管道系統(tǒng)I灌溉時(shí)間的計(jì)算圖6兩個(gè)噴嘴重復(fù)覆蓋部分的圓的孤長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為P，則:.p 3 Disin =2 R又P所對(duì)應(yīng)的扇形面積為:P所在三角形面積為:1S = DD2 6 i所以，重復(fù)覆蓋的面積為:S = 2(Si - S2) = 4.4814重復(fù)覆蓋部分的噴頭流量:9sQ =i2 兀 R 2由于一個(gè)噴頭在灌溉區(qū)域的灌溉強(qiáng)度是均勻的，那么重復(fù)覆蓋部分的單位面積灌水量 是其它灌溉部分單位面積灌水量的2倍所以要滿足題設(shè)的任何區(qū)域每小時(shí)灌溉量不得超過 0.75厘米，只需重復(fù)覆蓋部分的灌溉強(qiáng)度不超過0.75厘

14、米/小時(shí)。已知灌溉強(qiáng)度：b = 1000Q (mm)A_有效Q-噴頭的流量(m3 h)A有效一地面的濕潤(rùn)面積(m 2)可得灌溉強(qiáng)度:b=y1 S要滿足每小時(shí)灌溉量不超過7.5mm,只需要：b 7.5代入數(shù)據(jù)，可得：灌溉時(shí)間t1 8.1780 （分鐘）綜合t1, t2，可得：要滿足題設(shè)條件，此灌溉系統(tǒng)每天要灌溉2次，每次要灌溉4.0890 分鐘。所以要用管道系統(tǒng)I灌溉面積74.1285 X 30的田地，需要的時(shí)間為：T = 4.0890*15=61.3350 （分鐘）12、管道系統(tǒng)II灌溉時(shí)間的計(jì)算計(jì)算方法同管道系統(tǒng)I，得出：此灌溉系統(tǒng)每天要灌溉2次，每次灌溉2.5560分鐘。所以要用管道系統(tǒng)I

15、I灌溉面積5.9X30的田地，需要的時(shí)間為：T = 2.5560 x 2=5.1120 （分鐘）所以用這兩套管道系統(tǒng)灌溉一片面積80X30米的田地，所需要的時(shí)間為：T = T1 + T2+15C= 66.4470+15C （分鐘）將面積80X30米的田地灌溉好，需要每天用這兩套管道系統(tǒng)分別灌溉兩次，灌溉四天。七、模型的檢驗(yàn)由實(shí)際生活可知：移動(dòng)管道系統(tǒng)分為：?jiǎn)沃Ч芏鄧婎^噴灌系統(tǒng)和多支管多噴頭噴灌系 統(tǒng)，如圖所示：圖7單支管多噴頭管道系統(tǒng)圖8多支管多噴頭管道系統(tǒng)需要設(shè)計(jì)的管道系統(tǒng)一次灌溉的有針對(duì)此題，要用最少的時(shí)間灌溉面積80X30米的田地，效面積最大，即重復(fù)覆蓋面積最小。因?yàn)橐喔鹊牡赜蚴且?guī)則的

16、矩形，且題目要求各區(qū)域 的總灌溉量必須盡可能一致，所以噴頭之間的間距應(yīng)該是一樣的。1、單支管多噴頭管道系統(tǒng)灌溉的有效面積的計(jì)算有四個(gè)噴頭的單支管圖9把20米均分為3份，將4個(gè)噴頭中間的兩個(gè)中點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)上。如圖，設(shè)兩個(gè)圓心之 間的距離為l，l =3.33米，射程r =4.419。圖中的0滿足:cos(0 ) = l / r一 .、.一2冗 r 201重迭部分面積2(亍- 偵20)故最大的有效面積S = 4兀r2 3S1代入數(shù)據(jù)，S = 186.2659m2由于射程為4.419,若噴頭為1個(gè),2個(gè),3個(gè)遠(yuǎn)不及圖4中有效面積大（噴頭為3個(gè)時(shí)，面積最大為 3兀 r2 =184.0429m2）當(dāng)噴頭為

17、5個(gè)時(shí)，有效面積為228.1643m2。由此可求得重迭時(shí)灌溉強(qiáng)度= 58.682mm/們不重迭時(shí)灌溉強(qiáng)度b2=29.1410mm/h。設(shè)每次灌溉時(shí)間為t，區(qū)域每小時(shí) 的的灌溉量不超過7.5mm / h，則有：bt 2.5（8）由（7），（8）得5.112 t 7.668（2）有五個(gè)噴頭的單支管圖10此模型有效面積為虛線矩形面積，長(zhǎng)為28.838m,寬為7.2876m。在放置此模型時(shí)，由80/28.838=2.774 330/7.2876=4.1166 5故此模型要將矩形灌溉完必須移動(dòng)15次，又因?yàn)樗恳淮喂喔鹊臅r(shí)間5.112 t 7.668，則總的灌溉時(shí)間為T=76.8 2、多支管多噴頭管道系

18、統(tǒng)灌溉的有效面積的計(jì)算（射程都為4.419米）因?yàn)楣艿朗菃沃Ч軙r(shí)管道利用率最高，且單支管上噴頭個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)有效面積最大，所以 管道是多支管時(shí)噴頭的個(gè)數(shù)最多為4個(gè)。（1）噴頭呈正方形布置時(shí)，噴頭間距和支管間距相等。此時(shí)要求噴頭的個(gè)數(shù)為4個(gè)。假設(shè)噴頭間距和支管間距都為射程的n倍：4.419x4n 20,解得：n=1.1315R2R兩個(gè)噴嘴重復(fù)覆蓋部分的圓的弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為P，則:Pcos =2又P所對(duì)應(yīng)的扇形面積為:P所在三角形面積為:重復(fù)覆蓋的面積為：S = 2（S1 -S2）= 20.9140所以，此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4-R2 -4S = 161.7346。（2）噴頭呈正三角形布置由模型的求解可得：兩個(gè)噴頭的重復(fù)覆蓋的面積為：S = 2-S= 4.4814所以：此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4- R2 -5S =222.9836。（3）噴頭呈矩形布置時(shí)，噴頭間距等于噴頭的射程。假設(shè)支管間距為射程的n倍:2R+2Rn S1 = 20.4492所以，此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4-R2 -4S = 204.4922。因?yàn)槊總€(gè)噴頭噴出的水都相且均勻分布的，當(dāng)噴頭個(gè)數(shù)一定時(shí)，這三種多支管管道系統(tǒng)每 次的灌溉時(shí)間是一樣的。所以灌溉完整片地的時(shí)間只與移動(dòng)管道系統(tǒng)的次數(shù)有關(guān)：管道系 統(tǒng)的有效覆蓋面積越大，移動(dòng)次數(shù)越少，所用總的灌溉時(shí)間越少；反之亦然。由以上的計(jì)算