余弦定理、正弦定理的應用 同步習題 高中數學新蘇教版必修第二冊(2022年)_第1頁
余弦定理、正弦定理的應用 同步習題 高中數學新蘇教版必修第二冊(2022年)_第2頁
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1、11.3 余弦定理、正弦定理的應用一、單選題1(2021全國高二單元測試)在中,若,則形狀為( )A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化邊為角求出的值,再結合,以及三角形的內角和即可求出,進而可得正確選項.【詳解】由正弦定理知:,則可化為:.因為 所以,所以,可得或,又因為,所以所以,所以為等邊三角形.故選:C.2(2021江蘇高一課時練習)學校體育館的人字形屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,A30,則其跨度AB的長為( )A12 mB8 mC2mD4 m【答案】D【分析】利用余弦定理求得.【詳解】由于三角形是等腰三角形,所以,且

2、,由余弦定理得.故選:D3(2021安徽高三一模(文)如圖,在ABC中,BAC=,點D在線段BC上,ADAC,則sinC=( )ABCD【答案】B【分析】在中利用正弦定理得結合平方關系求解即可【詳解】在中,解得又 所以故選:B.4(2021江蘇高一課時練習)從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30,看正南方向一只船俯角為45,則此時兩船間的距離為( )A2h米Bh米Ch米D2h米【答案】A【分析】由圖可得,進而可得結果【詳解】如圖所示,故答案為:A5(2021江蘇高一課時練習)如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15,向山頂前進100 m到達B

3、處,又測得C對于山坡的斜度為45,若CD50 m,山坡對于地平面的坡度為,則cos 等于( )ABC1D1【答案】C【分析】在ABC中,由正弦定理得AC100,再在ADC中,由正弦定理得解.【詳解】在ABC中,由正弦定理得,AC100在ADC中,cos sin(90).故選:C【點睛】結論點睛:解一個三角形需要已知三個幾何元素(邊和角),且至少有一個為邊長,對于未知的幾何元素,放到其它三角形中求解.6(2021陜西榆林市高三二模(文)我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作數書九章卷五“田域類”里有一個題目:“問有沙田一段,有三斜其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何”題意

4、是有一個三角形的沙田,其三邊長分別為13里、14里、15里、1里為300步,設6尺為1步,1尺0.231米,則該沙田的面積約為( )(結果精確到0.1,參考數據:)A15.6平方千米B152平方千米C14.8平方千米D14.5平方千米【答案】D【分析】根據由海倫公式即可得到沙田面積.【詳解】由海倫公式其中,分別為三角形三邊長,可得:該沙田的面積平方米14.5平方千米,故選:D7(2021全國高一課時練習)如圖,設A,B兩點在河的兩岸,要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為m,BAC,ACB,則A,B兩點間的距離為( )ABCD【答案】C【分析】在AB

5、C中,由已知的條件直接利用正定理求解即可【詳解】在ABC中,ACm,BAC,BCA.ABC.sin ABCsin ()sin ()由正弦定理,得.故選:C8(2021全國高一課時練習)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則ABC是( )A直角三角形B銳角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【答案】A【分析】用降冪公式變形后利用余弦定理得邊的關系,從而判斷出三角形形狀【詳解】在ABC中,因為,所以,所以cos A.由余弦定理,知,所以b2c2a22b2,即a2b2c2,所以ABC是直角三角形.故選:A二、多選題9(2020全國高三專題練習)在銳角中,邊長,則邊長c可能的取值是( )

6、AB2CD【答案】BD【分析】根據c邊最大邊或最大邊,利用余弦定理的變形形式即可求解.【詳解】若c邊為最大邊,則,若邊為最大邊,則,所以,所以邊長c可能的取值是2、.故選:BD【點睛】本題考查了余弦定理的應用,考查了基本運算求解能力,屬于基礎題.10(2020河北張家口市高三月考)在中,角、的對邊分別是、下面四個結論正確的是( )A,則的外接圓半徑是4B若,則C若,則一定是鈍角三角形D若,則【答案】BC【分析】根據正弦定理可求出外接圓半徑判斷A,由條件及正弦定理可求出,可判斷B,由余弦定理可判斷C,取特殊角可判斷D.【詳解】由正弦定理知,所以外接圓半徑是2,故A錯誤;由正弦定理及可得,即,由,

7、知,故B正確;因為,所以C為鈍角,一定是鈍角三角形,故C正確;若,顯然,故D錯誤.故選:BC11(2020全國高三專題練習)已知的三個角,的對邊分別為,若,則該三角形的形狀是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】D【分析】在中,根據,利用正弦定理得,然后變形為求解.【詳解】在中,因為,由正弦定理得,所以,即,所以或,解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故選: D.【點睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.12(2020江蘇南京市高二月考)如圖,ABC的三個內角A,B,C對應的三條邊長分別是a,b,c,ABC為鈍角,B

8、DAB,c=2,則下列結論正確的有( )ABBD=2CDCBD的面積為【答案】AC【分析】由已知利用二倍角的余弦函數公式可求的值,利用余弦定理求得的值,再計算,由同角的三角函數關系求出,根據直角三角形邊角關系求出,的值,再計算的面積從而得解【詳解】解:由,得:,又角為鈍角,解得:,由余弦定理,得:,解得,可知為等腰三角形,即,所以,解得,故正確,可得,在中,得,可得,故錯誤,可得,可得,故正確,所以的面積為,故錯誤故選:AC【點睛】利用正弦、余弦定理解三角形,利用求三角形的面積三、填空題13(2019上海嘉定區(qū))如圖,某學生社團在校園內測量遠處某棟樓的高度,為樓頂,線段的長度為,在處測得,在處

9、測得,且此時看樓頂的仰角,已知樓底和、在同一水平面上,則此樓高度_m(精確到)【答案】【分析】先由正弦定理求得AB和BD,根據RtBCD中因為,可得CDBD150212【詳解】在ABD中,由正弦定理,得:,由AB600,得:BD300,在RtBCD中,因為,所以CDBD150212,故答案為.【點睛】此題考查正弦定理,熟練掌握正弦定理即可,屬于簡單題目14(2021江蘇高一課時練習)如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內,B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75,30,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60,AC0.1 km若ABBD,則B,D間

10、距離為_km【答案】【分析】在ABC中,應用正弦定理求,由BDAB,即知B,D間距離.【詳解】在ABC中,BCA60,ABC756015,AC0.1 km,由正弦定理,得:, (km),又BDAB,km故答案為:15(2021全國高一課時練習)如圖,某海輪以60海里/小時的速度航行,在A點測得海面上油井P在南偏東60方向,向北航行40分鐘后到達B點,測得油井P在南偏東30方向,海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達C點,則P,C間的距離為_海里【答案】40【分析】由等腰三角形得,然后用余弦定理求得,再用勾股定理求得【詳解】因為AB40,BAP120,ABP30,所以APB30,所以AP40

11、,所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023,所以BP40.又PBC90,BC80,所以PC2BP2BC2(40)280211 200,所以PC40 海里故答案為:16(2021山東濰坊市高三一模)某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻的先進單位,制作了一批獎杯,獎杯的剖面圖形如圖所示,其中扇形的半徑為,若按此方案設計,工藝制造廠發(fā)現,當最長時,該獎杯比較美觀,此時_【答案】【分析】作交于,交于,且,設,求出、,設,作交于,交于,可得出,由勾股定理可得然后求最值可得答案.【詳解】作交于,交于,且,設,則,設,作交于,交于,因為,所以,所以,所以,即,所以,因為

12、,所以當即時最大,也就是最長時.故答案為:.【點睛】本題考查了用三角函數解決幾何問題,關鍵點是作出輔助線利用勾股定理求出,考查了學生分析問題、解決問題的能力.四、解答題17(2020陜西漢中市高二月考)在中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且()求角A的大小;()若,試判斷的形狀【答案】();()等邊三角形.【分析】(1)由已知三邊關系,結合余弦定理即可求角A;(2)由正弦定理的邊角互化,應用兩角和正弦公式可得,結合(1)的結論即可知的形狀【詳解】(),整理得, ()由正弦定理,得,而,即,為等邊三角形【點睛】本題考查了正余弦定理,根據三邊關系應用余弦定理求角,由正弦定理的邊角互化、兩角

13、和正弦公式判斷三角形形狀,屬于基礎題.18(2020江蘇蘇州市南京師大蘇州實驗學校高三月考)如圖,一條東西流向的筆直河流,現利用監(jiān)控船D監(jiān)控河流南岸相距150米的A、B兩處(A在B的正西側).監(jiān)控中心C在河流北岸,測得,監(jiān)控過程中,保證監(jiān)控船D觀測A和監(jiān)控中心C的視角為.A,B,C,D視為在同一個平面上,記的面積為S,.(1)求的長度;(2)試用表示S,并求S的最大值.【答案】(1)240m;(2),.【分析】(1)在中,利用正弦定理解三角形即可得.(2)由(1)知的長度,利用正弦定理求的長度,結合,利用面積公式即可.【詳解】(1)在中,所以.因為,所以,由正弦定理得,所以; (2)在中,設,

14、則,由正弦定理得. 所以.所以. 因為.所以當時,S取到最大值. 答:的長度為,S取到最大值.【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形,三角形的面積公式,屬于基礎題.19(2021廣東湛江市高三一模)如圖,在平面四邊形ABCD中,ADCD, BAD=,2AB=BD=4.(1)求cosADB;(2)若BC=,求CD.【答案】(1);(2)【分析】(1)中,利用正弦定理可得,進而得出答案;(2)中,利用余弦定理可得【詳解】(1)中,即,解得,故;(2)中,即,化簡得,解得20(2021全國高二單元測試)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路北側一山頂D在北偏西45的方向上,仰角為

15、,行駛300米后到達B處,測得此山頂在北偏西15的方向上,仰角為,若=45,則此山的高度CD和仰角的正切值【答案】300,【分析】設山的高度CD=x,在ABC中,利用正弦定理求得CB,AC,在RtBCD中,由CBD=45得CD=CB=300,然后在RtACD中,由求解.【詳解】設山的高度CD=x米,由題可得CAB=45,ABC=105,AB=300米,CBD=45在ABC中,得:ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得,所以,在RtBCD中,由CBD=45得CD=CB=300,在RtACD中可得21(2021上海高一)已知平行四邊形ABCD,證明【答案】證明見解析【分析】在三角形和

16、三角形中,分別用余弦定理求出和,再相加可證結論.【詳解】在平行四邊形ABCD中,在三角形中,由余弦定理得,在三角形中,由余弦定理得,所以.22(2021全國高三專題練習)如圖,一個湖的邊界是圓心為的圓,湖的一側有一條直線型公路,湖上有橋(是圓的直徑)規(guī)劃在公路上選兩個點、,并修建兩段直線型道路、規(guī)劃要求:線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑已知點、到直線的距離分別為和(、為垂足),測得,(單位:百米)(1)若道路與橋垂直,求道路的長;(2)在規(guī)劃要求下,和中能否有一個點選在處?并說明理由.【答案】(1)(百米);(2)和均不能選在處,理由見解析.【分析】(1)過作,垂足為,求出、的值,進而可求得的長,即為所求;(2)分點在處和點在處兩種情況討論,分析出兩種情況下線段、上均存在點到點的距離小于圓的半徑,由此可得出結論.【詳解】(1)過作,垂足為.由已知條件得,四邊形為矩形,則,. 因此道路的長為(百米);(2)若在處,

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