數(shù)模型培訓(xùn)概念

1、數(shù)學(xué)模型的基本概念 本節(jié)將介紹什么是數(shù)學(xué)模型及建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟。 在日常生活和工作中，經(jīng)常會(huì)遇到或用到模型，如飛機(jī)模型、坦克模型、火箭模型、水壩模型等各種實(shí)物模型。用文字、符號(hào)、圖表、公式等描述客觀事物的某些特征和內(nèi)在聯(lián)系的模型，如模擬模型、數(shù)學(xué)模型等抽象模型。1 模型是人們所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，因而應(yīng)具有如下的特點(diǎn)。 （1）它是客觀事物的一種模擬或抽象；它的一個(gè)重要作用就是加深人們對(duì)客觀事物如何運(yùn)行的理解，為了使模型成為幫助人們合理進(jìn)行思考的一種工具，因此要用一種簡化的方式來表現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)或現(xiàn)象。2 （2）為了能協(xié)助人們解決問題，

2、模型必須具有所研究系統(tǒng)的基本特征或要素。此外，還應(yīng)包括決定其原因和效果的各個(gè)要素之間的相互關(guān)系。有了這樣的一個(gè)模型，人們就可以在模型內(nèi)實(shí)際處理一個(gè)系統(tǒng)的所有要素，并觀察它們的效果。 那末如何給數(shù)學(xué)模型下一個(gè)具體的定義呢？數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。3 具體說來，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式以及圖表、圖形、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。 由于各個(gè)人所站角度不同，可以給出不同的定義，故我們沒有必要去追求精確的定義，那不是我們的目的。4二、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟1調(diào)查研究 在建模前應(yīng)對(duì)

3、實(shí)際問題的歷史背景和內(nèi)在機(jī)理要有深刻的了解，必須對(duì)該問題進(jìn)行全面的、深入細(xì)致的調(diào)查和研究。首先要明確所解決問題的目的要求和著手收集數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)是為建立模型而收集的，因此，如果在調(diào)查研究時(shí)對(duì)建立什么樣的模型有所考慮的話，那么我們就按模型的需要更有目的地，更合理地來收集有關(guān)數(shù)據(jù)。5 收集數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)注意精度的要求，在對(duì)實(shí)際問題作深入了解時(shí)，應(yīng)向有關(guān)專家或從事實(shí)際工作的人員請(qǐng)教，將使你對(duì)問題的了解更快和走捷徑。 2現(xiàn)實(shí)問題的理想化 現(xiàn)實(shí)問題錯(cuò)綜復(fù)雜，涉及面非常之廣。因此要想建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來反映一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題面面俱到、無所不包是不可能的，也是沒有必要的。一個(gè)模型，只要能反映我們所需要的某一個(gè)側(cè)面就行了，或

4、者在此基礎(chǔ)之上進(jìn)一步提高。6 建模前必須先將問題理想化，簡單化，即首先抓住主要因素，暫不考慮次要因素。在相對(duì)比較簡單的情況下，理清變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的模型（在三級(jí)火箭模型和人口模型中會(huì)有所體會(huì)）。 為此對(duì)所給問題給予必要的假設(shè)，不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型。這一步是建立模型的關(guān)鍵。7 如果假設(shè)合理，則模型與實(shí)際問題比較吻合；如果假設(shè)不合理或過于簡單（即過多地忽略了一些因素），則模型與實(shí)際情況不吻合，或部分吻合，就要修改假設(shè)，修改模型。3建立模型 在已有假設(shè)的基礎(chǔ)上，可以著手建立數(shù)學(xué)模型，建模時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：8（1）分清變量類型恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具。 如果實(shí)際問題中的變量是確定性變量，建模時(shí)數(shù)

5、學(xué)工具多用微積分、微分方程、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)、確定性存貯論等數(shù)學(xué)方法。 如果變量是隨機(jī)變量，建模時(shí)數(shù)學(xué)工具多用概率、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)性存貯論、排隊(duì)論、對(duì)策論、決策論、隨機(jī)微分方程等數(shù)學(xué)方法。 9 由于數(shù)學(xué)分支很多，又加之相互交叉滲透，派生出許多分支，建模具體用什么分支好，一是因問題而異，二是因人而異，應(yīng)看自己對(duì)哪門學(xué)科比較熟悉精通，盡量發(fā)揮自己的特長?？傊瑢?duì)變量進(jìn)行分析是建立模型的基礎(chǔ)。 （2）抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系。 因?yàn)槟Ｐ瓦^于復(fù)雜，則無法求解或求解困難，就不能反映客觀實(shí)際。因此應(yīng)盡可能用簡單的模型如線性化，均勻化等來描述客觀實(shí)際。10 建模的原則是：模型盡可能簡單、明了

6、，思路清晰，能不采用則盡量不用高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，不要追求模型技術(shù)的完美，側(cè)重于實(shí)際應(yīng)用。只要問題能解決，模型越簡單越能被決策者所采用。 （3）建模要有嚴(yán)密推理。 在已定的假設(shè)下，建模過程中推理一定要嚴(yán)密，以保證模型的正確性，否則會(huì)造成模型錯(cuò)誤，前功盡棄。11（4）建模要有足夠的精確度。 由于實(shí)際問題常對(duì)精度有所要求，建模時(shí)和收集資料時(shí)要予以充分考慮。但同時(shí)實(shí)際問題又非常復(fù)雜，作假設(shè)時(shí)又要去掉非本質(zhì)的東西，把本質(zhì)的東西和關(guān)系反映進(jìn)去，因而要掌握好這個(gè)尺度，有時(shí)要有一個(gè)反復(fù)摸索的過程。124模型求解 不同的模型要用到不同的數(shù)學(xué)工具求解。這就要求從事實(shí)際工作者對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)分支知識(shí)有一定的了解。當(dāng)然，由

7、于計(jì)算機(jī)的廣泛使用，利用已有的許多計(jì)算機(jī)軟件為我們求解帶來方便。因而盡可能地掌握已有的軟件，使你解決問題省力不少。 135模型分析 對(duì)模型求出的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有助于對(duì)實(shí)際問題的解決。分析時(shí)，有時(shí)要根據(jù)問題的要求對(duì)變量間的依賴關(guān)系進(jìn)行分析和對(duì)解的結(jié)果穩(wěn)定性進(jìn)行分析。有時(shí)根據(jù)求出的解對(duì)實(shí)際問題的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，為決策者提供最優(yōu)決策方案。除此之外，常常需要進(jìn)行誤差分析，模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析和靈敏度分析等。146模型檢驗(yàn) 一個(gè)模型是否反映了客觀實(shí)際，可用已有的數(shù)據(jù)去驗(yàn)證。如果由模型計(jì)算出來的理論數(shù)值與實(shí)際數(shù)值比較吻合，則模型是成功的（至少是在過去的一段時(shí)間內(nèi)是成功的）。如果理論數(shù)值與實(shí)際數(shù)值

8、部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。如果理論數(shù)值與實(shí)際數(shù)值差別太大，則模型是失敗的。如果模型用于預(yù)測，模型計(jì)算的理論預(yù)測值與經(jīng)驗(yàn)推算比較相差太大，也可推知模型存在問題，必須修改。15 當(dāng)然，并非所有的模型都要驗(yàn)證，如核武器競賽模型等。 7模型的修改 實(shí)際問題比較復(fù)雜，但由于理想化后拋棄了一些次要因素，因此建立的模型與實(shí)際問題就不完全吻合了。 此時(shí)，要分析假設(shè)的合理性，將合理部分保留，不合理部分去掉或修改，對(duì)實(shí)際問題中的主次因素再次分析。 16 如果某一因素因被忽略而使前面模型失敗或部分失敗，則再建立模型時(shí)把它考慮進(jìn)去。修改時(shí)可能去掉（或增加）一些變量，有時(shí)要改變一些變量的性質(zhì)，如把變量看

9、成常量，常量看成變量，連續(xù)變量看成離散變量，離散變量看成連續(xù)變量，或改變變量之間的函數(shù)關(guān)系，如線性改為非線性或非線性改為線性。17 修改模型時(shí)對(duì)約束條件也要重新考慮，增加、減少或修改約束條件。8模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)模型應(yīng)用非常廣泛，可以說已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，而且越來越滲透到社會(huì)學(xué)科、生命學(xué)科、環(huán)境學(xué)科等。由于建模是預(yù)測的基礎(chǔ)，而預(yù)測又是決策與控制的前提。因此用數(shù)學(xué)模型對(duì)許多部門的實(shí)際工作進(jìn)行指導(dǎo)，可節(jié)省開支、減少浪費(fèi)，增加收入。特別是對(duì)未來可以預(yù)測和估計(jì)，這對(duì)促進(jìn)科學(xué)技術(shù)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展具有更大的意義。18建立數(shù)學(xué)模型的步驟由圖1.5所示。19三、模型的分類 數(shù)學(xué)模型可以按照問題本身所處的領(lǐng)域和解

10、決問題的辦法，以及按照人們的各種不同意愿有各種不同的方式分類，下面介紹幾種分類方法。1按變量性質(zhì)分 根據(jù)變量是確定的還是隨機(jī)的可分為確定性模型和隨機(jī)性模型。 根據(jù)變量是連續(xù)的還是離散的可分為連續(xù)模型和離散模型。202按時(shí)間關(guān)系分 考慮模型是否因時(shí)間關(guān)系而變化可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。3按所用研究方法分 有初等模型、幾何模型、微分方程模型、運(yùn)籌學(xué)模型、概率模型、統(tǒng)計(jì)模型、層次分析法模型、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型、灰色系統(tǒng)模型等。214按研究對(duì)象所在領(lǐng)域分 有經(jīng)濟(jì)模型、生態(tài)模型、人口模型、交通模型、戰(zhàn)爭模型、資源模型、環(huán)境模型、大氣污染模型、水污染模型、氣象模型、地震模型等。5按建模目的分 有分析模型、預(yù)測

11、模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。226按對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能的了解程度分 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。 把研究對(duì)象當(dāng)作一只箱子，如果所研究的對(duì)象的機(jī)理比較清楚，稱為白箱。如力學(xué)、電學(xué)等一些學(xué)科中研究的問題機(jī)理相當(dāng)清楚以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，不必再研究模型構(gòu)造，只是設(shè)計(jì)問題。23 如果對(duì)所研究對(duì)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能的信息完全不知或知之甚少，稱其為黑箱。如生命學(xué)科和社會(huì)學(xué)科中許多機(jī)理很不清楚的現(xiàn)象。 如果所研究對(duì)象內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能中既有已知的又有許多未知的非確定的信息，稱其為灰箱。如經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、氣象、管理、社會(huì)、生命等系統(tǒng)中的許多現(xiàn)象。 當(dāng)然白箱、灰箱和黑箱之間沒有確切的界限，由于科學(xué)

12、技術(shù)的發(fā)展和人們對(duì)該問題研究的深入，許多黑箱問題逐漸變灰，灰箱問題逐漸變白。24 灰箱問題、黑箱問題往往機(jī)理復(fù)雜，所知信息較少，因而建立模型困難更大。由于在這些領(lǐng)域，人們過去作的研究少，而這些領(lǐng)域又與人類休戚相關(guān)，因此我們應(yīng)投入更多的精力去研究這些領(lǐng)域內(nèi)的問題。華中理工大學(xué)鄧聚龍教授等在解決灰箱問題方向作了不少工作。在國際上首先提出了解決灰箱問題的新的基本理論并用于實(shí)際取得了許多可喜的成果。 25 黑箱問題過去作定性研究的多，但研究逐漸往定量化方向發(fā)展。定性因素?cái)?shù)量化，是人類認(rèn)識(shí)社會(huì)的需要，只有這樣對(duì)生命現(xiàn)象和社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域的認(rèn)識(shí)才能深刻。定性因素?cái)?shù)量化可用模糊數(shù)學(xué)方法、優(yōu)度法、比較矩陣法

13、外，還可用文獻(xiàn)5中所提供的各種方法。26玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型27模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征28你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x =20y =5求解29航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為

14、常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。30數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模311.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)

15、域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。32數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼33 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分

16、析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.3 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟34 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問題35模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟36模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟37數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐381.4 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類