專題三 第2講 用“不動點法”求數(shù)列的通項公式

1、3/3第2講用“不動點法”求數(shù)列的通項公式對于一個函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)m的值xm稱為函數(shù)f(x)的“不動點”利用“不動點法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式例(1)在數(shù)列an中，a11, an1eq f(1,2)an1，求數(shù)列an的通項公式解設(shè)f(x)eq f(1,2)x1，令f(x)x，即eq f(1,2)x1x，得x2，x2是函數(shù)f(x)eq f(1,2)x1的不動點，an12eq f(1,2)(an2)，數(shù)列an2是以1為首項，以eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列，an21eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1，an2eq blc(rc)(avs4alco

2、1(f(1,2)n1，nN*.(2)已知數(shù)列an滿足a13，an1eq f(7an2,an4)，求該數(shù)列的通項公式解由方程xeq f(7x2,x4)，得數(shù)列an的不動點為1和2，eq f(an11,an12)eq f(f(7an2,an4)1,f(7an2,an4)2)eq f(7an2an4,7an22an4)eq f(6,5)eq f(an1,an2)，所以eq blcrc(avs4alco1(f(an1,an2)是首項為eq f(a11,a12)2，公比為eq f(6,5)的等比數(shù)列，所以eq f(an1,an2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)n1，解得aneq

3、 f(1,2blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)n11)2eq f(46n15n1,26n15n1)，nN*. (1)若f(x)axb(a0,1)，p是f(x)的不動點數(shù)列an滿足an1f(an)，則an1pa(anp)，即anp是公比為a的等比數(shù)列(2)設(shè)f(x)eq f(axb,cxd)(c0，adbc0)，數(shù)列an滿足an1f(an)，a1f(a1)若f(x)有兩個相異的不動點p，q，則eq f(an1p,an1q)keq f(anp,anq)eq blc(rc)(avs4alco1(此處kf(apc,aqc).1已知數(shù)列an滿足an1eq f(1,3)an2，a14，求數(shù)列

4、an的通項公式解設(shè)f(x)eq f(1,3)x2，由f(x)x，得xeq f(3,2).an1eq f(3,2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(anf(3,2)，又a14，eq blcrc(avs4alco1(anf(3,2)是以eq f(11,2)為首項，以eq f(1,3)為公比的等比數(shù)列，aneq f(3,2)eq f(11,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，aneq f(3,2)eq f(11,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，nN*.2已知數(shù)列an滿足a12，aneq f(an12,2an11)(

5、n2)，求數(shù)列an的通項公式解解方程xeq f(x2,2x1)，化簡得2x220，解得x11，x21，令eq f(an11,an11)ceq f(an1,an1)，由a12，得a2eq f(4,5)，可得ceq f(1,3)，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an1,an1)是以eq f(a11,a11)eq f(1,3)為首項，以eq f(1,3)為公比的等比數(shù)列，eq f(an1,an1)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，aneq f(3n1n,3n1n).3設(shè)數(shù)列an滿足8an1an16an12an50(n1，nN*)，且a11，記bneq f(1,anf(1,2)(n1)求數(shù)列bn的通項公式解由已知得an1eq f(2an5,168an)，由方程xeq f(2x5,168x)，得不動點x1eq f(1,2)，x2eq f(5,4).所以eq f(an1f(1,2),an1f(5,4)eq f(f(2an5,168an)f(1,2),f(2an5,168an)f(5,4)eq f(1,2)eq f(anf(1,2),anf(5,4)，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(anf(1,2),anf(5,4)是首項為2，公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列，所以eq f(anf(1,2),anf(5,4)