數(shù)字信號(hào)處理：第三章 圖像變換

1、講解內(nèi)容 1. 圖像變換的目的、要求和應(yīng)用 2. 一維、二維連續(xù)、離散傅立葉變換定義、 性質(zhì)及其應(yīng)用目的 1. 熟悉二維傅立葉變換定義、性質(zhì)及其應(yīng)用； 2. 掌握一維傅立葉變換算法及頻譜分析方法第三章 圖像變換第三章 圖像變換圖像變換的目的在于：使圖像處理問題簡(jiǎn)化；有利于圖像特征提取；有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解。圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：正交變換必須是可逆的；正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理。因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分

2、析等方面。頻率通常是指某個(gè)一維物理量隨時(shí)間變化快慢程度的度量。例如交流電頻率為5060Hz（交流電壓）中波某電臺(tái)1026kHz（無(wú)線電波）第三章 圖像變換圖像是二維信號(hào)，其坐標(biāo)軸是二維空間坐標(biāo)軸，圖像本身所在的域稱為空間域（Space Domain）。圖像灰度值隨空間坐標(biāo)變化的快慢也用頻率來度量，稱為頻率域（Spatial Frequency Domain）。第三章 圖像變換第3章 圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換 傅立葉變換 余弦變換 正弦變換 圖像變換 哈達(dá)瑪變換 沃爾什變換 K-L變換 小波變換本章討論常用的傅立葉變換 。3.2 傅立葉變換 在學(xué)習(xí)傅立葉級(jí)數(shù)的時(shí)候，

3、一個(gè)周期為T的函數(shù)f(t)在-T/2,T/2上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在-T/2,T/2可以展成傅立葉級(jí)數(shù) 其復(fù)數(shù)形式為 其中 可見，傅立葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析與處理。 3.2.1 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 1. 一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為 若已知F(u)，則傅立葉反變換為 兩式稱為傅立葉變換對(duì)。這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下： 傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率

4、變量。 例：矩形函數(shù)的傅立葉變換函數(shù) ： f(x) = A 0=x= (u)= +- (x)e j2utdx= 0 A e j2utdx=(-A/j2u)(e-j2u -1) = (A/j2u)(eju -e-ju ) e-ju = (A/u)sin(u)(e -ju)|(u)|=(A/u)|sin(u) (e- ju) | = A | sin(u) / (u) |* e jax dx= e jax /ja +c sin(x)=(e jx - e jx )/2j=(1- e j2x) e -jx /2jsin (u) = 0 (u=1/時(shí) ) |e ju|=| cos( u)-jsin (u)

5、|=1 sinx2+cosx2=1 2. 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x，y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維傅立葉變換對(duì)為 二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為 |F(u，v)=R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (3.211) (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (3.212) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (3.213) 二維連續(xù)函數(shù) f(x,y) 的傅立葉變換 (a)矩形函數(shù) (b)圖像表示 (c)傅立葉譜一些二維函數(shù)及其傅立葉譜 3.2.2 離散函數(shù)的傅立葉變換1.一維離散函數(shù)的傅立葉變換 假定

6、取間隔x單位的抽樣方法將一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個(gè)序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如圖3.2.3所示。 將序列表示成 f(x)=f(x0+xx)即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為 F(u)= 式中u=0，1，2，N1。反變換為 f(x)= 式中x=0，1，2，N-1。例 f(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，x=0,1,2,3時(shí)，分別取樣得到 f(0)=2, f(1)=3, f(2)=4, f(3)=4由公式：(u)=(1/M) f(x)cos2 ux/M-jsin2 ux /

7、M 3得F(0)=1/4* f(x)exp-j20X /M /所有取樣點(diǎn)都貢獻(xiàn) x=0 /u=0, exp-j20X /M =1 =1/4* f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3.25 3 F(1)=1/4* f(x)exp-j2X /M /u=1 x=0 = 1/4* (2exp0 +3*exp- j/2+4* exp- j+ 4*exp- j3/2) = 1/4-2+j /按歐拉公式算得F(2)= 1/4* (2exp0 +3*exp- j+4* exp- j2+ 4*exp- j3) = -1/4*1+j0F(3)= 1/4* (2exp0 +3exp- j3/2+ 4exp- j

8、3+ 4*exp- j9/2) = 1/42+j|F0|= 3.25|F1|=(2/4)2+(1/4)21/2=( 5)/4|F2|=(1/4)2+(0/4)21/2=1/4|F3|=(2/4)2+(1/4)21/2=( 5)/42.二維離散函數(shù)的傅立葉變換在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為 F(u，v) = (3.220)式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。 f(x，y)= (3.221) 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來說，對(duì)一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換

9、運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計(jì)算。現(xiàn)在都采用傅立葉變換快速算法，這樣可大大減少計(jì)算量。為提高傅立葉變換算法的速度，從軟件角度來講，要不斷改進(jìn)算法；另一種途徑為硬件化，它不但體積小且速度快。 原圖離散傅立葉變換后的頻域圖例如 數(shù)字圖像的傅立葉變換3.2.3 二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。 1周期性和共軛對(duì)稱性 若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為N，則有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) 傅立葉變換存在共軛對(duì)稱性 F(u，v)=F*(-u，-v) 這種周期性和共軛對(duì)稱性對(duì)圖像的頻譜分析和顯示帶來很大益處。 2.分離性 一個(gè)二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次一維傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)。xyxvxv1-D離散傅立葉變換用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT 3.旋轉(zhuǎn)性質(zhì) 平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式： 做代換有： 如果 被旋轉(zhuǎn) ,則 被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對(duì)：4.卷積定理3.2.5 傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅立葉變換在圖像處理中是一個(gè)最基本的數(shù)學(xué)工具。利用這個(gè)工具，可以對(duì)圖像的頻譜進(jìn)行各種各樣的處理，如濾波、降噪、