數(shù)學(xué)新課程理念創(chuàng)新

1、-PAGE . z數(shù)學(xué)新課程理念與創(chuàng)新第一節(jié) 數(shù)學(xué)課程標準的制定和實施一、根底教育改革的背景 1990年左右，國際上形成了面向21世紀教育改革的熱潮，1989年與1990年美國國家研究委員會先后發(fā)表了人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來及振興美國數(shù)學(xué)-90年代的方案等兩篇研究報告，提出了美國面向21世紀的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育改革的綱領(lǐng)性文件。 我國根底教育改革的一系列行動與步驟： 1998年國務(wù)院面向21世紀教育振興行動方案 1999年中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進素質(zhì)教育的決定 2001年國務(wù)院關(guān)于根底教育改革與開展的決定 2001年教育部國家根底教育課程改革指導(dǎo)綱要 2001年國家十五規(guī)劃重點課題

2、國家根底教育課程的研究、實驗與推廣2001-2005 2001年9月在全國38個國家實驗區(qū)(18省)。2002實驗擴大到每縣區(qū)。2004年7月，最早的實驗區(qū)完成初中一個循環(huán)的新課程實驗，同時2004年9月高中新課程實驗實在省、省、省、自治區(qū)等4省分開場。 根據(jù)教育部副部長王湛建立具有中國特色的根底教育體系的報告，新課改立足與解決以下主要問題： 1、明確區(qū)分義務(wù)教育與非義務(wù)教育，建立合理的課程構(gòu)造，更新課程容。 義務(wù)教育面向每一個學(xué)生，課程標準應(yīng)是絕大多數(shù)學(xué)生都能夠到達的教學(xué)目標。課程容應(yīng)是根底性的，不應(yīng)被任意擴大、拔高。 2、突出學(xué)生的開展，科學(xué)制定課程標準。 傳統(tǒng)的教學(xué)大綱以學(xué)科的容體系來表

3、述課程的知識點和教學(xué)要求。對能力要求往往采用了解、理解、掌握、運用等抽象的表述方法，這樣，使得教師對于如何具體把握學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中應(yīng)到達什么程度缺乏明確的要求。 課程標準不但對于知識容、技能和能力有具體要求，而且對于學(xué)生學(xué)習(xí)課程的情感態(tài)度、價值觀、教學(xué)的過程方法等方面也都有明確要求。 此次課改力圖通過制定課程標準的形式，初步建立我國根底教育的課程標準體系，并到達以下具體目標。第一，在課程目標上，要求從知識與技能、過程與方情感態(tài)度與價值觀等方面設(shè)計課程；第二，在容上，注重密切聯(lián)系學(xué)生的生活和經(jīng)歷以及社會、科技開展的現(xiàn)實，強調(diào)學(xué)生的經(jīng)歷、學(xué)科知識和社會開展三方面容的整合；第三，在課程要求上，課程標

4、準不僅結(jié)合知識點明確具體的結(jié)果性目標、體驗性目標，以期學(xué)生在獲得知識的同時學(xué)會學(xué)習(xí)，并形成正確的價值觀。課程標準還對教學(xué)過程、教材編寫和學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的評估明確了具體的要求。 3、加強學(xué)生思想品德教育的針對性和實效性。 課程中滲透德育，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義精神、對科學(xué)熱愛和不斷追求的精神。 4、以創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)為重點，建立新的教學(xué)方式，促進新的學(xué)習(xí)方式的變革。 新課程強調(diào)教學(xué)過程中師生互動，正確處理知識傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系。注重培養(yǎng)學(xué)生自主性和獨立性，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、調(diào)查、探究，采用自主生動的學(xué)習(xí)方式。 5、建立促進學(xué)生開展、教師提高的課程評價體系。 評價功能從注重甄別與選拔轉(zhuǎn)向鼓勵、反應(yīng)

5、與調(diào)整；評價容從過分注重學(xué)業(yè)成績轉(zhuǎn)向注重多方面開展的潛能；評價技術(shù)從過分強調(diào)量化轉(zhuǎn)向更家重視質(zhì)的分析；評價主體從單一轉(zhuǎn)向多元；評價角度從終結(jié)性轉(zhuǎn)向過程性、開展性，更加關(guān)注學(xué)生的個別差異；評價方式更多地采取諸如觀察、面談、調(diào)查、作品展示、工程活動報告等開放的并多樣的方式，而不僅僅依靠筆試的結(jié)果；更多地關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)狀、潛力和開展趨勢。探求新的評價方式，使得這些方式更具有可操作性、方法簡明易行，第一線教師容易便于使用。 6、建立國家、地方、學(xué)校三級課程管理模式，提高課程的適應(yīng)性，滿足不同的地方、學(xué)校和學(xué)生的需要。繼續(xù)完善根底教育由地方負責(zé)、分級管理的體制。二、關(guān)于數(shù)學(xué)課程標準的歷史回憶我國數(shù)學(xué)研究與

6、數(shù)學(xué)教學(xué)具有悠久的歷史。九章算術(shù)既是我國最早的數(shù)學(xué)研究著作，也是我國最早的數(shù)學(xué)教科書。公元七世紀初，隋朝開場在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)，這是我國數(shù)學(xué)?？平逃恼厥?。唐朝設(shè)立明算科，唐高宗親自下令整理數(shù)學(xué)著作，數(shù)學(xué)家淳風(fēng)604-672于公元656年整理編篡成我國第一部標準的數(shù)學(xué)教科書合集算經(jīng)十書，十書包括：周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、子算經(jīng)、丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、五算經(jīng)、五經(jīng)算經(jīng)、綴術(shù)、緝古算經(jīng)。 清朝末年，開場出現(xiàn)近代形式的學(xué)校教育制度，1904年公布了近代中國第一個學(xué)校制度癸卯學(xué)制1903年為夏歷癸卯年，其中包含相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程標準。1940年公布了我國第一個中學(xué)數(shù)學(xué)課程標準。 新中國成立后，1950

7、年教育部公布了數(shù)學(xué)教材精簡綱要，出版了第一套全國統(tǒng)編數(shù)學(xué)教材。此后，分別于1952、1963、1978、1982、1986、1988、1992、1996、2000、2002年由教育部制定或修訂了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱。 2001年公布了全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準實驗稿，2003年公布了普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗。三、對我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)狀況的分析在研究和討論數(shù)學(xué)新課程之前，首先我們對我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)狀況進展客觀全面的分析，這樣有助于我們在新課程新課程標準的實驗和實施過程中，既能保持和發(fā)揮我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢，又能在數(shù)學(xué)教育中吸收國外先進的教育思想方法，吸收數(shù)學(xué)與教育研究的新成果，與時俱進，使數(shù)學(xué)教育改

8、革收到良好效果。 新課標研制組于1999年對我國局部地區(qū)進展調(diào)查，教育部根底教育司提供了九年義務(wù)教育課程方案實施狀況調(diào)查，根據(jù)這些調(diào)查報告作出以下分析歸納。 我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢： 1重視數(shù)學(xué)理論，重視根底知識的掌握。所謂雙基是我國數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)和優(yōu)勢。雙基指根底理論與根本技能。 1963年制定的全日制數(shù)學(xué)教學(xué)大綱草案提出培養(yǎng)學(xué)生三大能力，即計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力。 1986年，國家教委按照降低難度、減輕學(xué)生負擔(dān)的原則下制定了新的全日制數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，正式把雙基和三大能力作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標的核心容。 2計算常規(guī)技能熟練。我國學(xué)生在常規(guī)測試中能夠獲得高分。我國留學(xué)生與其他國家學(xué)生

9、相比，考試成績大多數(shù)都是優(yōu)秀的。從一些重要的國際測試與評價例如TIMSS等的結(jié)果以及一些中外數(shù)學(xué)教育比擬研究的論文都肯定了一上以上的結(jié)論。 3我國設(shè)立的各級教研機構(gòu)，指導(dǎo)和規(guī)教師的教學(xué)和教學(xué)研究活動，從整體上保證了我國數(shù)學(xué)教育有一個較高的水平。 我國數(shù)學(xué)課程的缺乏與問題： 1課程的單一性。無論是課程設(shè)置、容目標還是評價方式都較為單一。 課程設(shè)置單一，缺乏選擇性。除文理區(qū)分之外，其他沒有任何區(qū)分，所有的課程對應(yīng)與所有的學(xué)生，無論優(yōu)秀學(xué)生還是學(xué)習(xí)缺乏興趣的學(xué)生，全部學(xué)習(xí)一樣的課程。 課程容單一，缺少與學(xué)生的生活經(jīng)歷、社會實際之間的聯(lián)系，缺少數(shù)學(xué)各分支之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系，沒有很好表達數(shù)學(xué)

10、的背景和應(yīng)用、表達時代開展和科技進步與數(shù)學(xué)之間的自然聯(lián)系。學(xué)習(xí)容掐頭去尾燒中段，學(xué)生看不到數(shù)學(xué)從那里來，也看不到數(shù)學(xué)有什么用，造成許多學(xué)生對數(shù)學(xué)沒有興趣。以為考試是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一目的，因此早造成我國學(xué)生只善于做常規(guī)練習(xí)題，而缺乏數(shù)學(xué)探究和應(yīng)用能力的一個重要原因。 2無視數(shù)學(xué)課程的教育價值。 數(shù)學(xué)課程不僅使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的根底知識、根本技能、根本思想，同時也應(yīng)該使學(xué)生適應(yīng)數(shù)學(xué)的思維方式、清晰有條理的表達方法、實事的科學(xué)精神。這些都是數(shù)學(xué)課程在教育方面的廣泛、重要的價值取向。但過去我們對此缺乏應(yīng)有的重視。 3無視對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識和理解，存在過度形式化傾向。 數(shù)學(xué)課程過度形式化，使得學(xué)生死記硬背概念定

11、義，生搬硬套公式、方法與步驟，難以到達對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。 例如，函數(shù)的教學(xué)。對函數(shù)概念三要素的認識本來應(yīng)是高中代數(shù)課程中的一個重要容。但是，在以往的教學(xué)中，對函數(shù)的定義域和值域，認為地設(shè)置了大量的煩瑣、難度反復(fù)迭加的訓(xùn)練，而對函數(shù)的本質(zhì)探索理解和函數(shù)的實際應(yīng)用都很不夠。 4教研活動缺乏活力。 我國各級教研指導(dǎo)機構(gòu)對教研活動的組織管理過于行政化，容單調(diào)，形式單一。要求教師模仿和學(xué)習(xí)單一的教學(xué)模式，很多公開課帶有表演性質(zhì)，對深層的教學(xué)規(guī)律缺乏廣泛的研究和討論。缺乏長期有效的教師培訓(xùn)進修制度和高效、針對性強的教師職后培訓(xùn)容，使得教學(xué)容、教學(xué)模式一成不變。數(shù)學(xué)新課程理念與創(chuàng)新第二節(jié) 數(shù)學(xué)新課標的教學(xué)理

12、念一、課程設(shè)置的根本目標義務(wù)教育階段的課程根本目標是：突出課程的根底性、普及性和開展性，使數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生。實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必要的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展。 高中數(shù)學(xué)課程的根本目標是：構(gòu)建共同的根底，提供開展平臺。在義務(wù)教育階段之后，為使學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來的開展提供更高水平的數(shù)學(xué)根底，使他們獲得更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中階段的數(shù)學(xué)將為學(xué)生提供多樣的課程，適應(yīng)個性選擇，為學(xué)生提供更廣泛的開展空間。 課程設(shè)置總目標的中心點是：突出課程的根底性，把中小學(xué)數(shù)學(xué)課程作為各種人才開展的根底準備和根本訓(xùn)練。把中小學(xué)數(shù)學(xué)知識和能力作為一種社會文化、作為現(xiàn)代社會公民必備的科學(xué)素質(zhì)

13、而普及到每一個學(xué)生。 這樣的數(shù)學(xué)課程應(yīng)是一種群眾數(shù)學(xué)，課程容的覆蓋面、難度、要求等都應(yīng)該控制在一個恰當(dāng)?shù)某潭取?課程設(shè)置總目標一方面要適應(yīng)社會開展的要求，另一方面要適應(yīng)數(shù)學(xué)科學(xué)自身開展的要求。 20世紀60年代以來，我們已經(jīng)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中刪除了不合時代的煩瑣容，如算術(shù)中的雞兔同籠問題，幾何中的九點圓定理等。雞兔同籠問題采取立方程的解決方法既簡便又明了。初中平面幾何也有了較大幅度的容縮減，比擬煩瑣困難的九點圓定理已經(jīng)不再成為平面幾何的中心容，而中學(xué)幾何中增加了較多的解析幾何、向量運算、圖形變換等容。 但是80年以來，數(shù)學(xué)課程在應(yīng)試教育的社會氣氛之下又增加了大量的偏、難、怪、異的訓(xùn)練容和練習(xí)題

14、。 下面的問題摘自一本高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)書金牌之路，2000年出版，作者來自武鋼三中等國知名學(xué)校。 案例11、f(*)=(m-1)*2+1-lg(m)*+1是偶函數(shù)，求f(10)、f(-3.1)、f(2)的大小順序。2、f(*)=a*2+b*+c(a0)對任意*都有f(2-*)=f(2+*),求解不等式flg1/2(*2+*+1/2)flg1/2(2*2-*+5/8)。3、設(shè)函數(shù)y=1-2a-2a cos*-2sin2*的最小值為f(a)。 1求f(a)的表達式。2假設(shè)f(a)=1/2,求a并對此a求y的最大值。 解 y=1-2a-2a cos*-2(1-cos2*)=2(cos*-a/2)2

15、- a2/2-2a-1 案例分析：以上的練習(xí)題是典型的應(yīng)試教育的成果，將簡單的函數(shù)作反復(fù)的迭加和復(fù)合，制造人為的困難和障礙。這樣的題形不符合新課標的目標要求。 下面一個案例選自人教版2002年九年義務(wù)制教育三年制初中教科書代數(shù)第三冊。 案例2一個圓臺形物體的上底面積是下底面積的1/4，如果該物體放置在桌面上，下底面與桌面接觸，則物體對桌面的壓強是200帕。假設(shè)把物體翻轉(zhuǎn)過來，上底面朝下與桌面接觸，問物體對桌面的壓強是多少. 案例分析：我們認為作為函數(shù)性質(zhì)的練習(xí)題，這是一道構(gòu)思很好的習(xí)題，它好在以下三個方面： 1、題目條件中沒有明顯地給出函數(shù)關(guān)系，但是要求學(xué)生首先判斷所要求的變量桌面壓強y應(yīng)是接

16、觸面積*的函數(shù)。 2、利用幾何中求體積的知識，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)物體的重量此時的重量實際上是由體積決定的不變時，桌面壓強y與接觸面積*成反比，因此y是*的反比例函數(shù)。 3、此題可以補充下面的問題：問桌面壓強y作為接觸面積*的函數(shù)，與物體的形狀是否相關(guān)，也就是說如果物體并不是規(guī)則的圓臺時，此題的結(jié)論是否還成立。這樣的問題可以進一步啟發(fā)學(xué)生對函數(shù)的本質(zhì)有更加深入的認識。 4、把案例2與案例1比照不難看到同為函數(shù)方面的聯(lián)系題，案例1中的函數(shù)都是一些人工制造出來的很不自然的函數(shù)，煩瑣迭加使得形式非常困難，但是實質(zhì)上在做題是并不要求絲毫的創(chuàng)造性思想，是一種只有形式、沒有思想的練習(xí)題。而案例2比擬生動形象，與

17、學(xué)生的實際生活有一定的關(guān)系，解題過程既要求一定的想象力，又要求對函數(shù)概念有比擬深入的理解。新課程要求這樣貼近學(xué)生生活與知識面的學(xué)習(xí)容。 二、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準實驗稿要求：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些容有利于學(xué)生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。 普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗要求：倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造過程。同時高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等學(xué)習(xí)

18、活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣。 在學(xué)生學(xué)習(xí)方式上，義務(wù)階段與高中階段的新課標要求根本一樣，最根本的一點是倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，但是教師怎樣引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中主動探索呢.根本理念是簡單的，沒有爭議的。但具體做法卻并不簡單，對教師的教學(xué)水平具有較高的要求。下面我們以例說明。 案例3 乘法公式教學(xué)下面的教學(xué)設(shè)計摘自人教版2002年九年義務(wù)制教育三年制初中教科書代數(shù)第一冊下第7.6節(jié)。 7.6 平方差公式 導(dǎo)引語：對于*些有特殊形式的多項式乘法，我們可以把結(jié)果寫成公式并加以熟憶，

19、這樣在遇到一樣形式的多項式相乘時，就可以直接運用公式寫出結(jié)果。 我們來計算 于是有公式這就是說，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做乘法的平方差公式。以下是公式的假設(shè)干應(yīng)用舉例 案例4下面關(guān)于平方差公式的教學(xué)設(shè)計摘自全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準實驗稿解讀第二篇第二章第6節(jié)。 平方差公式的教學(xué)可設(shè)置如下的問題串：1計算并觀察以下每組算式 2 則3你能舉出一個類似的例子嗎. 4從上述過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律.你能用語言表達這個規(guī)律嗎.你能用代數(shù)式表示這個規(guī)律嗎. 5你能證明自己所得到的規(guī)律嗎. 案例評述：我認為案例3與案例4根本代表了兩種比擬極端的、不同的教學(xué)方式，案例3是比

20、擬典型的傳統(tǒng)的教學(xué)模式，對平方差公式的導(dǎo)引性解釋以及公式的推導(dǎo)都比擬直接，比擬注重知識傳授和學(xué)生對公式的應(yīng)用技能方面的訓(xùn)練。整個教學(xué)設(shè)計都比擬簡明扼要。數(shù)學(xué)新課程理念與創(chuàng)新第二節(jié) 數(shù)學(xué)新課標的教學(xué)理念案例4代表了另一個比擬極端的教學(xué)方式，注重通過學(xué)生的自主觀察、探究，自主猜測出平方差公式。但是，案例4中的教學(xué)設(shè)計存在一個重要的缺陷。設(shè)計者本來是想讓學(xué)生通過對特例的觀察而到達自主發(fā)現(xiàn)平方差公式的目的。但是，想一想，如果不是教師事先精心選取如此特定的實例，學(xué)生真正依靠自主探究是不大可能到達發(fā)現(xiàn)平方差公式的。看看這些特例的精心組合，人們不禁產(chǎn)生這樣的疑問：一個事先并不知道平方差公式的人，怎么會發(fā)現(xiàn)諸

21、如55-46=1這樣的奇特的現(xiàn)象呢.事實上教師也是因為事先已經(jīng)知道了平方差公式，才能夠通過公式而非常有針對性地告訴學(xué)生存在上面一系列數(shù)字乘法的實例。發(fā)現(xiàn)形如55-46=1的數(shù)字等式并不比發(fā)現(xiàn)平方差的一般性公式更容易。雖然具體數(shù)字的運算看起來簡單一些，但是這些數(shù)字的組合決不是一種純粹偶然的組合。上面的問題在新課程改革中已經(jīng)成為一個普遍的問題。因為新課程提倡發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，提倡學(xué)生自主探究，不少教材編寫者及教師就簡單地認為，發(fā)現(xiàn)就是讓學(xué)生觀察事先準備好的一串?dāng)?shù)據(jù)，企圖通過對數(shù)據(jù)的觀察，推斷出一般的公式或法則。把本來并不簡單的發(fā)現(xiàn)，人為地簡單化。 不少新教材講多面體歐拉公式都采取立圖表的方法，在一長方

22、形的表格里列出各種不同的多面體的頂點數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)，然后要求學(xué)生算一算，是否有公式V+F=E+2。我們難以設(shè)想這種簡單化的驗證法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真正途徑。 更有甚者，在一些小學(xué)的課堂里，教師在黑板上列出一串?dāng)?shù)字： 2，4，*，12，24。問*=.數(shù)學(xué)家也難以解決這樣的問題。 什么是發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)方式.我們的看法是：并不是所有的發(fā)現(xiàn)都是從特例到一般。真正的發(fā)現(xiàn)不存在一個一成不變的、刻板的、統(tǒng)一規(guī)的模式。因此，發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)方式必須要根據(jù)具體問題，采取靈活的有針對性的方式方法。 下面提出我們對于平方差公式的教學(xué)設(shè)計，我們所提出的方案既結(jié)合人教版的傳統(tǒng)方法，又兼顧新課程的根本理念，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生作必要的自主探

23、究。 案例5 平方差公式探究式教學(xué)象整數(shù)的算術(shù)演算中存在*些縮算法一樣，代數(shù)式的演算中同樣存在縮算法，而這些縮算法依賴一些形式簡便的乘法公式，這些乘法公式由來簡單，但是靈活運用它們，可能會使復(fù)雜的代數(shù)式運算變得簡單快捷。通過直接的計算，同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)下面的等式： 根據(jù)全面所表達的理由，我們把上面這些等式稱為乘法公式。如果要問：是否除了上面這些公式之外另外還存在其它更多的乘法公式呢.只要能夠在實際中使用方便，我們并不排除還存在其它乘法公式的可能。例如：下面是一些應(yīng)用舉例省略，其中既包括代數(shù)式乘法的應(yīng)用，也包括數(shù)字乘法的應(yīng)用。例如： 98102=10000-1=9999數(shù)字乘法的應(yīng)用說明乘法公式的

24、使用確實與整數(shù)的縮算法有共同之處。 下面介紹一則有關(guān)平方差公式的故事：美國北卡羅萊納大學(xué)教授Carl Pomerance是一位當(dāng)代著名的計算數(shù)論家。Pomerance回憶中學(xué)時代曾經(jīng)參加一次普通的數(shù)學(xué)競賽，其中有一道題是分解整數(shù)8051。Pomerance沒有采用常規(guī)的因數(shù)檢驗法，從小到大逐個驗證，由2到的素數(shù)，哪些能夠整除8051。其實這樣做并不困難。象所有愛動腦筋孩子一樣，Pomerance力圖尋找一個簡便算法，更快捷地發(fā)現(xiàn)8051的因數(shù)，但是他沒有能夠在規(guī)定的時間之完成任務(wù)，他失敗了。 事實上，存在簡捷的分解方法： 5014=8100-49=902-72但是，失敗并沒有使這位未來的數(shù)論家

25、放棄對問題的進一步思考。事后Pomerance向自己提出下面一個非常有趣的問題。 Pomerance問題：是否一個能夠分解的整數(shù)必定是兩個整數(shù)的平方差. 上面問題的答案是肯定的，也就是說，我們有下面的定理。 定理 每個奇合數(shù)必定能用平方差的方式分解為兩個大于1的整數(shù)之積。案例5評述：在本案例中，我們既沒有象現(xiàn)在大多數(shù)新課程中所采用的形式主義的觀察發(fā)現(xiàn)、歸納猜測那樣，列出事先設(shè)計好的一串代數(shù)等式或一串精心組織的數(shù)字等式，然后讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，并在此長長的過程之后，再引出乘法公式。我們的觀點恰恰相反，我們認為乘法公式與普通的代數(shù)式乘法并無太多的差異，能否把一個特定的代數(shù)式乘法等式稱為乘法公式，這僅僅

26、根據(jù)它的具體可應(yīng)用性。我們成認，除了我們所列出的乘法公式之外，可能還存在其它方便應(yīng)用的乘法公式，例如： 事實上，我們把上面的等式稱為歐拉恒等式，歐拉恒等式還有更多、更復(fù)雜的形式。這樣，我們把學(xué)習(xí)乘法公式的重點不是放在概念來源以及公式本身的推導(dǎo)上，而是把學(xué)習(xí)重點放在公式的可應(yīng)用性上。 本案例中的自主探究是以一位數(shù)學(xué)家真實的故事而引出的，故事之后，我們介紹了與乘法公式密切相關(guān)的Pomerance問題，并通過數(shù)學(xué)家Pomerance之口，導(dǎo)出了一個多少有些使人感到意外的數(shù)學(xué)結(jié)果定理。我們認為，這樣的結(jié)果對學(xué)生的啟發(fā)性遠遠勝過案例4中所列的一串?dāng)?shù)字運算等式。自主探究應(yīng)當(dāng)采用生動活潑、真正發(fā)人深思的形式

27、，教師與教材編寫者應(yīng)該不斷研究、不斷改良教學(xué)的思想方法，創(chuàng)立富有個性特點的發(fā)現(xiàn)法教學(xué)方法。 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準實驗稿要求：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知開展水平和已有的知識經(jīng)歷根底之上。教師應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的時機，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握根本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學(xué)新課程理念與創(chuàng)新第二節(jié) 數(shù)學(xué)新課標的教學(xué)理念三、全日制義務(wù)教育普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗要求：一方面保持我國重視根底知識教學(xué)、根本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。另一方面

28、，隨著時代的開展，特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計算機技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的開展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實施應(yīng)重新審視根底知識、根本技能和能力的涵，形成符合時代要求的新的雙基。例如，高中數(shù)學(xué)課程增加算法容，把最根本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計知識等作為新的數(shù)學(xué)根底知識和根本技能。同時，應(yīng)刪減煩瑣的計算、人為的技巧化難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的容，克制雙基異化的傾向。強調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，注意適度形式化。數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，需要學(xué)習(xí)嚴格的、形式化的邏輯推理方式。但是數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅限于形式化數(shù)學(xué)，學(xué)生還必須接觸到生動活潑、靈活多變的數(shù)學(xué)思維過程。要讓學(xué)生追尋數(shù)學(xué)開展的歷史足跡，體念數(shù)學(xué)的形成過程和數(shù)學(xué)中的思想方法。教師應(yīng)該把高度嚴格的學(xué)術(shù)形

29、態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生樂于思考的、興趣盎然的教學(xué)形態(tài)。對新課標中有關(guān)教學(xué)觀的論述，我們從以下兩個方面談?wù)勎覀冏约旱恼J識和理解。第一，關(guān)于雙基和雙基異化問題。我們已經(jīng)在第一章分析了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的優(yōu)勢和存在問題。長期以來，我們在數(shù)學(xué)課程中充分重視雙基，使得我國學(xué)生的數(shù)學(xué)根底理論知識比擬扎實，對數(shù)學(xué)概念的一般性理解比擬恰當(dāng)，解答常規(guī)數(shù)學(xué)問題的能力比擬強，計算能力比擬強。所有這些雙基能力都是進一步深入學(xué)習(xí)其他學(xué)科領(lǐng)域的重要根底，也是進一步開展數(shù)學(xué)能力的重要保證。這樣的優(yōu)勢和教學(xué)傳統(tǒng)理所當(dāng)然應(yīng)該得到繼承和發(fā)揮，而不應(yīng)該在新課程改革中隨意地放棄和拋棄。因此雙基傳統(tǒng)本身是優(yōu)勢而不是問題，問題發(fā)生在雙基異

30、化上，社會功利主義的應(yīng)試教育使得原有的雙基傳統(tǒng)產(chǎn)生了變化，教師過度地灌輸，學(xué)生過度地依賴，教學(xué)目標過度地集中在考試應(yīng)試結(jié)果，教學(xué)過程過度地注重細枝末節(jié)的解題技巧，學(xué)生在學(xué)習(xí)中過度地注重機械地記憶。我們把所有這些現(xiàn)象簡稱為雙基異化。我們目前所面臨的問題是由于要否認雙基異化，而造成從根本上完全否認了雙基傳統(tǒng)。目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了新課程中過度地強調(diào)觀察發(fā)現(xiàn)、動手操作、合作學(xué)習(xí)，而否認了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是需要獨立思考、模仿練習(xí)。新課程中過多地講數(shù)學(xué)的來龍去脈，過多地講數(shù)學(xué)歷史，過多地講數(shù)學(xué)文化，而削弱了數(shù)學(xué)本身的容，使得本末倒置，美籍華人數(shù)學(xué)家項武義把新課程中的這一問題稱為去數(shù)學(xué)化。項武義教授在華東師大的一次

31、談話中指出：最近，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，出現(xiàn)了一種去數(shù)學(xué)化的傾向。一堂數(shù)學(xué)課是否成功，主要應(yīng)該看是否到達了數(shù)學(xué)教學(xué)目標，首先是學(xué)生是否理解和掌握了數(shù)學(xué)知識容，包括對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；數(shù)學(xué)知識的掌握；數(shù)學(xué)能力的形成。但是，現(xiàn)在的評課標準是：創(chuàng)設(shè)了日常生活情景嗎.學(xué)生進展了活動嗎.分小組進展合作嗎.用了多媒體嗎.，教學(xué)是否有工作單進展探究.等等。教育手段的運用應(yīng)當(dāng)研究，但是不可游離于數(shù)學(xué)本身。還有一種奇談怪論：結(jié)果不是最重要的，重要的在于參與；知識不是最重要的，重要的在于過程。課堂教學(xué)不能任意浪費學(xué)生的時間，不能走過場，徒有形式而缺乏容。第二，關(guān)于適度形式化問題。形式化推理是數(shù)學(xué)推理的一個重要特點，這

32、樣的推理模式是早在2300年前歐幾里德幾何原本中就已經(jīng)形成了的。公理化數(shù)學(xué)力圖把推理的依據(jù)用公理系統(tǒng)的形式固定下來，也就是說，每一步推理或者歸結(jié)于*一條公理，或者歸結(jié)于由公理所推出的定理，或者歸結(jié)于很少的幾條邏輯法則。如果找不到這樣的推理依據(jù)，推理就無法進展下去。人們通常把這樣的推理模式稱為演繹推理。平面幾何證題法就是一種典型的演繹推理的方法。因此，數(shù)學(xué)是離不開形式化推理方法的。但是，形式化推理無法解釋所要證明的命題是怎樣產(chǎn)生的。演繹推理不能解決數(shù)學(xué)真理的由來問題。我們能夠利用同位角相等推出錯角相等，甚至還能推出三角形角和定理，但是，我們無法知道利用同位角相等這樣的公理還可以推出其它什么樣的定

33、理來.因此，對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力來講，完全限制在形式化數(shù)學(xué)的圍里，這樣的教學(xué)目標是難以實現(xiàn)的。我們還將在后面的章節(jié)里詳細論述形式數(shù)學(xué)與非形式數(shù)學(xué)的關(guān)系問題。這里我們指出，數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的重要問題不僅僅是教會學(xué)生怎樣利用事先由教師設(shè)計好的方法解答數(shù)學(xué)難題，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的精神才是在重要的。但是，我們再一次以例說明教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生自主探索規(guī)律是一項要求很高的教學(xué)目標，對教學(xué)設(shè)計有較高的要求。這項教學(xué)目標也是新課程探索中最困難的一個環(huán)節(jié)。 案例6 關(guān)于代數(shù)式的教學(xué)說明：本案例取自北師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書七年級上冊。 教學(xué)準備：教師上課前準備假設(shè)干正方體小木塊，每個小木塊6個面上都分別寫上一

34、個三位數(shù)。 教學(xué)方式：合作學(xué)習(xí)，每小組6人，每組預(yù)備一個計算器。 教學(xué)過程：教師給每小組分別發(fā)5個小木塊。小組利用木塊作記數(shù)游戲。小組一位同學(xué)將5個小木塊隨意撒開， 5個小木塊的6個面分別顯示出以下數(shù)據(jù)。 木塊1：483，285，780，186，384，681 木塊2：642，174，840，543，741，345 木塊3：558，657，855，459，756，954 木塊4：168，663，960，366，564，267 木塊5：971，377，179，872，773，278 教師要求每個小組盡可能快速地利用計算器計算出5個小木塊朝上的面上顯示出以下數(shù)字的和。每個小組氣氛熱烈，都在忙碌地利

35、用計算器進展計算。教師走到各小組觀察，教師僅僅心算就能夠很快算出答案來。 課堂討論：能否觀察出計數(shù)的規(guī)律，有同學(xué)答復(fù)，算出的和分別是：2327，2228，1535，4505，3614，3713，2723， 因此，存在如下規(guī)律：求出的和都是一個4位數(shù)，4位數(shù)的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字之和是50。這樣的新課程確實與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程存在很多不同的地方，請讀者分析這樣的課程是否能夠表達課程標準的教學(xué)理念.或者說象這樣形式化地翻新數(shù)學(xué)課程的教學(xué)形式和隨意地修改教學(xué)容是否有助于到達數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標. 四、數(shù)學(xué)課程的評價 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準實驗稿要求：應(yīng)建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系。對數(shù)學(xué)

36、學(xué)習(xí)的評價既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們的學(xué)習(xí)過程；既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認識自我，建立信心。 普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗要求：過程性評價應(yīng)關(guān)注學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想等實際過程，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)地提出問題、分析、解決問題等過程，與別人合作的態(tài)度、表達與交流的意識和探索的精神。對于數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等學(xué)習(xí)活動，也要建立相應(yīng)的過程評價。 下面我們選擇一個以過程性評價為主要目標的課堂案例，它完全不同于以結(jié)果為主要評價目標的傳統(tǒng)課堂教學(xué)。 案例6關(guān)于大數(shù)實際感受：100萬有多大. 說明：本案例取自北師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書七年級上

37、冊。案例編入孔凡哲：新課程典型課案例與點評，東北師大學(xué)2003年出版。 授課班級：昌吉市英語特色班，學(xué)生整體根底好，思維活潑，積極思考，勇于探索。 教學(xué)目標：要求學(xué)生根據(jù)自己的文化與生活背景，從各種不同的角度自己對100萬以上的大數(shù)的實際感受。 課前作業(yè)：教師要求學(xué)生在課前收集生活與學(xué)習(xí)中所接觸到的大數(shù)，并向全班報告自己的理解和感受。 教學(xué)過程：教師首先提出本節(jié)課的要求。我們在現(xiàn)代生活中經(jīng)常遇到大數(shù)，在當(dāng)今的信息社會，百萬以上的數(shù)據(jù)常常進入我們視野。但是怎樣認識和理解百萬、千萬、億萬這樣巨大的數(shù)字呢.怎樣把如此巨大的數(shù)字與我們能夠感知的其他有價值的信息結(jié)合起來呢.本節(jié)課以小組為單位，要求每個同

38、學(xué)匯報自己所收集到的數(shù)據(jù)，并談?wù)勛约旱睦斫夂透惺堋?學(xué)生1：我們收集到以下數(shù)據(jù)：我國現(xiàn)有150多萬種動物；30萬種植物；全世界共有人口約60億；光線如果從銀河系距離地球最遠的一端出發(fā)，需要經(jīng)過100萬光年才能到球。 教師：請本組其他同學(xué)作補充。 學(xué)生2：中國國家圖書館藏書約2億冊；光速約為每秒1千萬米；大約在38億年前地球上開場出現(xiàn)生命。 學(xué)生3：近11年來，共有200多萬人參加了護綠活動，共植樹6千萬株；今年我國全國保險金額達1000億元；1999年全年植樹造林共計480萬公頃；昌吉市全市人口38萬。 教師：現(xiàn)在我們來看看百萬以上的大數(shù)終究有多大. 學(xué)生4：我只知道1百萬是一個很大的數(shù)，但到底有多大，說不清。 學(xué)生5：我們只能作比擬，例如：生長在我國上的動物種類是植物種類的5倍；我國的人口是全世界人口的4.6倍；今年我國全國保險金額達1000億元，因此，人均保險金額77元，等等。 學(xué)生6：我們難以設(shè)想38億年有多長，但是，據(jù)資料說地球誕生共40億年。如果把40億年比作一晝夜，地球誕生在午